全国大学生数学竞赛考试大纲（数学专业类）

全国大学生数学竞赛考试内容按照数学专业类和非数学专业类划分.

数学专业类

全国大学生数学竞赛数学专业类考试科目涉及数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程、实变函数、复变函数、抽象代数、数值分析、微分几何和概率论, 其考试内容覆盖大学本科数学专业相应课程的教学内容, 具体如下:

(一）数学分析

1.      集合与函数

（1）实数集、有理数与无理数的稠密性, 实数集的界与确界.

（2）n 维 Euclid 空间的基本概念与性质: 例如 Rn 上的距离、邻域、聚点、孤立点、内点、外点、边界点、内部、外部、边界、开集、闭集、闭包、有界 (无界) 集、基本点列等.

（3）实数系基本定理及其在 n 维 Euclid 空间中的对应定理: 确界存在定理、单调有界收敛定理、闭区间套定理 (闭区域套定理/闭集套定理) 、Cauchy 准则、Bolzano- Weierstrass 定理 (致密性定理) 、聚点定理、有限覆盖定理等.

（4）函数、映射、变换及其几何意义, 隐函数, 反函数与逆变换, 反函数存在定理, 初等函数及相关的性质.

2.      极限与连续

（1）Rn 中点列极限、收敛列的基本性质: (极限) 唯一性、有界性、 (数列) 保号性、保序性等.

（2）夹逼准则、子列极限.

（3）函数极限及其基本性质: 唯一性、局部有界性、保号性、保序性等, Heine 定理 (归结原则) , 两个重要极限, 无穷小量与无穷大量、阶的比较, 重极限、累次极限、方向极限基本性质及相互关系.

（4）函数的连续与间断、左连续右连续、 (有界闭集上) 连续函数的性质: 有界性、最值定理、介值定理、一致连续性等.

（5）上极限、下极限.

3.      一元函数微分学

（1）导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法, 微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.

（2）微分中值定理与 Taylor 公式: Fermat 定理, Rolle 定理, Lagrange 中值定理, Cauchy中值定理, (带 Peano 型余项、带 Lagrange 型余项、带积分型余项的) Taylor 公式.

（3）一元微分学的应用: 函数单调性、极值、最大值和最小值、凹凸函数、 Jensen 不等式、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象、 L’Hospital 法则、 Stolz 定理、近似计算.

4.      多元函数微分学

（1）偏导数、全微分及其几何意义, 可微、偏导存在、连续之间的关系, 复合函数的偏导数与全微分, 一阶微分形式不变性, 方向导数与梯度, 高阶偏导数, 多元函数中值定理与Taylor 公式.

（2）多元复合函数的可微性和求导、隐函数 (组) 存在定理、隐函数 (组) 求导方法、多元向量值函数的反函数.

（3）几何应用: 平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线等.

（4）极值问题, 条件极值与 Lagrange 乘数法.

5.      一元函数积分学

（1）原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法 (直接积分法、换元法、分部积分法) 、有理函数积分等.

（2）定积分 (Riemann 积分) 及其几何意义、 Riemann 和、 Darboux 和、上积分、下积分、可积条件 (必要条件、充要条件) .

（3）定积分的性质: 区间可加性、单调性、绝对可积性、积分第一中值定理、变上限积分、微积分基本定理 (Newton-Leibniz 公式) 、定积分计算、积分第二中值定理.

（4）无限区间上的广义积分及无界函数广义积分: Cauchy 收敛准则、绝对收敛与条件收敛、被积函数非负时的收敛性判别法 (比较原则、 Cauchy 判别法) 、 Abel 判别法、Dirichlet 判别法、 Euler 积分 (Beta 函数与 Gamma 函数).

（5）微元法、几何应用 (平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积) 及其他应用 (注: 本部分可视为重积分曲线曲面积分的特例) .

6.      多元函数积分学

（1）积分 (尤其是二重三重积分) 及其几何意义、计算 (累次积分、变换代换 (广义极坐标变换、广义柱面坐标变换、广义球面坐标变换等) ) .

（2）重积分的应用 (体积、曲面面积、重心、转动惯量等) .

（3）含参量常义积分及其连续性、可微性、可积性等. 含参量广义积分的一致收敛性及其判别法, 含参量广义积分的连续性、可微性、可积性等.

（4）第一型曲线积分、曲面积分.

（5）第二型曲线积分、曲面积分, 两类线积分、两类面积分之间的关系.

（6）Green 公式、 Ostrogradsky-Gauss 公式、 Stokes 公式, 曲线积分与路径无关性、循环常数、场论初步等.

7.      无穷级数

（1）数项级数  正项级数收敛性: 基本定理 (正项级数收敛的充分必要条件) 、比较判别法、比值判别法、根值判别法以及其极限形式、 Cauchy 判别法 (积分判别法) ; 一般项级数的收敛性: 收敛的必要条件, Cauchy 准则, 绝对收敛性、条件收敛性、 Abel 判别法、 Dirichlet 判别法.

（2）函数列与函数项级数: 一致收敛性判别法 (Cauchy 准则、 Weierstrass 判别法/ M-判别法、 Abel 判别法、 Dirichlet 判别法、 Dini 定理) 、一致收敛函数列/函数项级数的性质及其应用、级数求和、 Weierstrass 逼近定理.

（3）幂级数: Abel 第一第二定理、收敛半径与收敛域, 幂级数的一致收敛性, 幂级数的连续性、逐项可积性、可微性及其应用, 函数的幂级数展开、 Taylor 级数、 MacLaurin 级数.

（4）Fourier 级数: 三角级数、三角函数系的正交性、以 2π (一般地, 2l) 为周期的函数的Fourier 级数展开、 Riemanm-Lebesgue 定理; Fourier 级数的收敛性: Fejer 积分/核、Dirichlet 积分/核、 Dirichlet-Jordan 判别法、 Dini-Lipchitz 判别法; 最佳均方逼近, Bessel 不等式、 Parseval 等式; Fourier 级数的逐项可积性、 (利用) Fourier 级数求和.

注: 除非试题特别要求, 答题时可在 Lebesgue 积分意义下讨论问题. 可使用关于 Riemann积分可积的Lebesgue 判据, 可以使用 Arzela有界收敛定理、 Lebesgue 控制收敛定理.

（二）高等代数

1.      多项式

（1）数域与一元多项式: 数域与一元多项式的概念和基本性质; 多项式整除与带余除法; 最大公因式及辗转相除法.

（2）因式分解定理: 互素、不可约多项式的定义及性质, 因式分解及唯一性定理; 标准分解、重因式及重根的定义, 重因式存在的判定方法; 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质等; 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.

（3）有理系数多项式: 本原多项式、高斯 (Gauss) 引理、有理系数多项式的因式分解、爱森斯坦 (Eisenstein) 判别法、有理数域上多项式的有理根等.

（4）多元多项式及对称多项式、韦达 (Vieta) 定理.

2.      行列式

（1）行列式的定义: 2 阶、 3 阶行列式的定义及对角线法则, 排列与逆序数, n 级行列式的定义等.

（2）行列式的性质.

（3）行列式的计算: 根据定义计算行列式, 利用行列式性质计算行列式, 行列式按行 (列) 展开, 拉普拉斯 (Laplace) 展开定理等.

（4）克拉默 (Cramer) 法则.

3.      线性方程组

（1）高斯 (Gauss) 消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.

（2）向量与向量组  向量: n 维向量的运算, 向量空间的定义及性质; 向量组: 向量组的定义与等价, 向量的线性组合、线性相关与线性无关、向量组的极大无关组、向量组的秩, 向量空间的基与维数等.

（3）矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.

（4）线性方程组求解: 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数; 线性方程组有解判别定理, 线性方程组解唯一判别定理, 线性方程组求解方法, 线性方程组解的结构等.

4.      矩阵

（1）矩阵的概念、矩阵的运算 (加法、数乘、乘法、转置等运算) 及其运算律.

（2）矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.

（3）矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件, 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形及逆矩阵的求取等.

（4）分块矩阵: 分块矩阵及其运算与性质, 分块初等矩阵、分块初等变换及其应用等.

5.      双线性函数与二次型

（1）双线性函数、对偶空间.

（2）二次型: 二次型及其矩阵表示, 矩阵的合同; 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、合同变换法等; 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理等.

（3）正定、半正定、负定、半负定二次型及正定、半正定矩阵, 负定、半负定矩阵的性质与判定.

6.      线性空间

（1）线性空间的定义与简单性质.

（2）维数, 基与坐标.

（3）基变换与坐标变换.

（4）线性子空间.

（5）子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.

7.      线性变换

（1）线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.

（2）特征值与特征向量: 线性变换和矩阵的特征值与特征向量、可对角化线性变换和矩阵的性质与判定, 相似矩阵、相似不变量、哈密顿-凯莱 (Hamilton-Caley) 定理等.

（3）线性变换的值域与核、不变子空间、线性空间的分解与同构.

8.      若当标准形

（1）λ- 矩阵: λ- 矩阵、λ- 矩阵在初等变换下的标准形, 行列式因子、不变因子、初等因子, 矩阵相似的条件等.

（2）若当 (Jordan) 矩阵、若当 (Jordan) 标准形、有理标准形.

9.      欧氏空间

（1）定义与基本性质: 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵, 标准正交基、正交矩阵、施密特 (Schmidt) 正交化方法等.

（2）欧氏空间的同构, 正交变换、子空间的正交补, 对称变换、实对称矩阵的标准形.

（3）主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.

（4）酉空间.

（三）解析几何

1.      向量与坐标

（1）向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.

（2）坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.

（3）向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.

（4）向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.

（5）应用向量求解一些几何、三角问题.

2.      轨迹与方程

（1）曲面方程的定义: 普通方程、参数方程 (向量式与坐标式之间的互化)及其关系.

（2）空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.

（3）建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.

（4）球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.

3.      平面与空间直线

（1）平面方程、直线方程的各种形式, 方程中各有关字母的意义.

（2）从决定平面和直线的几何条件出发, 选用适当方法建立平面、直线方程.

（3）根据平面和直线的方程, 判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.

（4）根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等; 求两异面直线的公垂线方程.

4.      二次曲面

（1）柱面、锥面、旋转曲面的定义, 求柱面、锥面、旋转曲面的方程.

（2）椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质, 根据不同条件建立二次曲面的标准方程.

（3）单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.

（4）根据给定直线族求出它表示的直纹面方程, 求动直线和动曲线的轨迹问题.

5.      二次曲线的一般理论

（1）二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.

（2）二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.

（3）二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.

（4）二次曲线的主轴、主方向, 特征方程、特征根.

（5）化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.

（四）常微分方程

1.       一阶微分方程的初等解法

可分离变量型及通过变量代换可化为分离变量型的方程, 常数变异法, 恰当方程与积分因子, 隐式微分方程等.

2.       一阶微分方程解的存在唯一性定理

李普希茨条件下解的局部存在唯一性定理及皮卡逐步逼近方法, 解的延拓定理, 解对初值的连续性和可微性定理, 皮亚诺存在定理, 比较定理, 奇解等.

3.       高阶微分方程

齐次线性微分方程解的性质与结构, 非齐次线性微分方程与常数变易法, 常系数线性微分方程, 高阶微分方程的降阶和幂级数解法等.

4.       线性微分方程组

存在唯一性定理, 线性微分方程组的一般理论, 常系数线性微分方程组等.

5.       非线性微分方程

稳定性, Lyapunov 函数方法, 奇点, 极限环等.

（五）实变函数

1.        集合与点集

集合及其运算, 集合的对等及其基数, 可数集与不可数集; n 维欧氏空间中的点集: n 维欧氏空间, 聚点、内点、边界点、孤立点, 开集、闭集、完备集、 Cantor 集, 直线上的开集、闭集及完备集的构造等.

2.        Lebesgue 测度

Lebesgue 内外测度及其性质, Lebesgue 可测集及其性质, 可测集类及不可测集的存在性等.

3.        可测函数

可测函数及其性质, 可测函数与连续函数及可测函数的结构定理, 可测函数列的各种收敛性等.

4.        Lebesgue 积分

 Lebesgue 积分及其性质, 积分的极限定理, 乘积测度及富比尼定理,有界变差函数和单调函数的可微性, 不定积分与绝对连续函数等.

（六）复变函数

1.        复数与复变函数

复数及其集合表示, 复平面的拓扑, 解析函数的概念, Cauchy- Riemann 方程, 初等解析函数等.

2.        复积分

Cauchy 定理, 变上限积分确定的函数, Cauchy 公式, Morera 定理与 Liouville定理, 最大模原理与 Schwarz 引理等.

3.        复级数

函数项级数, 幂级数与 Taylor 级数, Laurent 级数与 Laurent 展式, 整函数与亚纯函数等.

4.        留数定理及应用

留数定理, 留数的计算, 应用留数计算函数的定积分, 幅角原理与Rouche定理等.

5.        保形映射

单叶函数的映射性质, 分式线性变换, Riemann 存在定理与边界对应定理,多角形共形映射等.

6.        解析开拓与调和函数初步

解析开拓的概念, 幂级数的解析开拓, 对称原理, 单值性定理, 调和函数及其性质, Dirichlet 问题等.

（七）抽象代数

1.        预备知识

集合, Cartesian 积, 等价关系与分类, 映射与置换集合, 二元运算, 偏序与Zorn 引理等.

2.        群论

群的概念和性质, 子群, 正规子群与商群, 群的同态与同构, 循环群与单群结构, 群的直积与直和, 群对集合的作用, 西罗 (Sylow) 定理及应用, 有限交换群结构与性质等.

3.        环论

环的概念和性质, 无零因子环及其性质, 理想与商环, 环的同态与同构, 极大理想与素理想, 整环的分式化, 唯一分解整环及几类特殊的唯一分解环, 多项式环的因子分解等.

4.        域论

域的扩张, 单扩张, 有限扩张与代数扩张, 分裂域和正规扩张, 域的超越扩张, 有限域等.

(八) 数值分析

1.        非线性方程求解

二分法、牛顿法、割线法、不动点法等的算法设计与收敛性分析, 多项式方程求根等.

2.        线性方程组求解

LU 分解、 Cholesky 分解、 Gauss 消元法, 最速下降与共枙梯度法, Jacobi 迭代、 Gauss-Seidel 迭代、超松弛迭代的设计与收敛性分析等.

3.        矩阵分解与特征值

矩阵的 QR 分解、 SVD 分解, 求特征值的幂法、反幂法、 Jacobi法、 QR 分解法等.

4.        函数逼近

拉格朗日插值、牛顿插值、 Hermite 插值、三角多项式插值、样条插值与逼近、最佳逼近、正交多项式等.

5.        数值微分与积分

数值微分与 Richardson 外插、基于多项式插值的数值积分、高斯积分、 Romberg 积分等.

6.  常微分方程数值解

泰勒级数法、 Runge-Kutta 法、预估校正法、多步法、稳定性分析、边值问题求解等.

7.        偏微分方程数值方法

有限差分、显示格式、隐式格式、有限元法等.

 (九) 微分几何

1.        空间曲线

正则曲线, 曲线的弧长, 以弧长为参数的曲线, 曲线的切线, 主法线, 次法线, 曲线的曲率和绕率, 曲线的 Frenet  标架和Frenet  公式, 空间曲线基本定理, 平面曲线的相对曲率, 平面曲线的整体性质等.

2.        曲面论

正则曲面, 参数变换, 曲面的切平面, 曲面的向量场, 曲面的第一基本形式, 曲面的面积, 曲面的法向量, 曲面的 Gauss 映射, 曲面的第二基本形式, 曲面的主曲率和主方向, 曲面的曲率线网, 法曲率和 Euler 公式, 直纹面, 旋转面和极小曲面, 曲面的Gauss 方程和 Codazzi 方程, 曲面论基本定理等.

3.        曲面的内蕴几何

Gauss 曲率, Gauss 定理, 曲面上曲线的测地曲率和测地绕率, 曲面上的测地线, 曲面间的等距变换, 曲面的 Gauss-Bonnet 公式等.

 (十) 概率论

1.        事件与概率

事件与概率, 古典概型, 几何概率, 概率的运算, 条件概率与事件的独立性等.

2.        随机变量及其分布

离散型和连续型随机变量及其分布, 随机向量, 边际分布, 随机变量的独立性, 条件分布, 随机变量的函数及其分布, 随机向量的变换等.

3.        数字特征

数学期望, 方差, 协方差, 相关系数, 条件数学期望等.

4.        极限定理

依分布收敛, 依概率收敛, 特征函数, 大数定律, 中心极限定理等.

注：以上内容摘选自佘志坤主编、全国大学生数学竞赛命题组编的《全国大学生数学竞赛参赛指南》。关于该书，介绍如下：

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