全国大学生数学竞赛考试大纲（非数学专业类）

非数学专业类

全国大学生数学竞赛非数学专业类考试科目涉及高等数学和线性代数, 其考试内容覆盖大学本科理工科专业相应课程的教学内容, 具体如下:

• 高等数学

1.      函数 极限连续

（1） 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.

（2）函数的性质: 有界性、单调性、周期性和奇偶性.

（3）复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.

（4）数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.

（5）无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.

（6）极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.

（7）函数的连续性 (含左连续与右连续) 、函数间断点的类型.

（8）连续函数的性质和初等函数的连续性.

（9）闭区间上连续函数的性质 (有界性、最大值和最小值定理、介值定理) .

2.      一元函数微分学

（1）导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.

（2）基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.

（3）复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.

（4）高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的 n 阶导数.

（5）微分中值定理, 包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理等.

（6）洛必达 (L’Hospital) 法则与求未定式极限.

（7）函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线  (水平、铅直和斜渐近线) 、函数图形的描绘.

（8）函数最大值和最小值及其简单应用.

（9）弧微分、曲率、曲率半径.

3.      一元函数积分学

（1）原函数和不定积分的概念.

（2）不定积分的基本性质、基本积分公式.

（3）定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨 (Newton-Leibniz) 公式.

（4）不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.

（5）有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.

（6）广义积分.

（7）定积分的应用: 平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值等.

4.      常微分方程

（1）常微分方程的基本概念: 微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.

（2）变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利 (Bernoulli)  方程、全微分方程.

（3）可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程.

（4）线性微分方程解的性质及解的结构定理.

（5）二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.

（6）简单的二阶常系数非齐次线性微分方程: 自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积等.

（7）欧拉 (Euler) 方程.

（8）微分方程的简单应用

5.      向量代数和空间解析几何

（1）向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.

（2）两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.

（3）向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.

（4）曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.

（5）平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.

（6）球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.

（7）空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.

6.      多元函数微分学

（1）多元函数的概念、二元函数的几何意义.

（2）二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.

（3）多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.

（4）多元复合函数、隐函数的求导法.

（5）二阶偏导数、方向导数和梯度.

（6）空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.

（7）二元函数的二阶泰勒公式.

（8）多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.

7.      多元函数积分学

（1）二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算 (直角坐标、极坐标) 、三重积分的计算 (直角坐标、柱面坐标、球面坐标) .

（2）两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.

（3）格林 (Green) 公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.

（4）两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.

（5）高斯 (Gauss) 公式、斯托克斯 (Stokes) 公式、散度和旋度的概念及计算.

（6）重积分、曲线积分和曲面积分的应用 (平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等).

8.      无穷级数

（1）常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.

（2）几何级数与 p 级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz) 判别法.

（3）任意项级数的绝对收敛与条件收敛.

（4）函数项级数的收敛域与和函数的概念.

（5）幂级数及其收敛半径、收敛区间 (指开区间) 、收敛域与和函数.

（6）幂级数在其收敛区间内的基本性质 (和函数的连续性、逐项求导和逐项积分) 、简单幂级数的和函数的求法.

（7）初等函数的幂级数展开式.

（8）函数的傅里叶 (Fourier) 系数与傅里叶级数、狄利克雷 (Dirichlet) 定理、函数在 [−l, l]上的傅里叶级数、函数在 [0, l] 上的正弦级数和余弦级数.

• 线性代数

1.      行列式

（1）行列式的概念和基本性质.

（2）行列式按行 (列) 展开定理.

（3）范德蒙德 (Vandermonde) 行列式, 行列式的乘法规则.

2.      矩阵

（1）矩阵的概念, 单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质.

（2）矩阵的线性运算、矩阵乘法、矩阵转置以及它们的运算规律, 方阵的乘方与方阵乘积的行列式及其性质.

（3）逆矩阵的概念与性质、矩阵可逆的充分必要条件, 可逆矩阵与伴随矩阵的关系.

（4）矩阵的初等变换、初等矩阵的性质、矩阵的等价、矩阵的秩, 用初等变换求矩阵的秩和求逆矩阵的方法.

（5）分块矩阵及其运算.

3.      向量

（1）n维向量、向量的线性组合与线性表示.

（2）向量组线性相关与线性无关的概念、性质及判别方法.

（3）向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念, 求向量组的极大线性无关组, 求向量组的秩.

（4）向量组的等价, 矩阵的秩与其行 (列) 向量组的秩之间的关系.

（5）n维向量空间、子空间、基底、维数、向量的坐标.

（6）基变换与坐标变换, 过渡矩阵.

（7）内积的概念, 线性无关向量组正交规范化的施密特 (Schmidt) 方法.

（8）规范正交基、正交矩阵的概念与性质.

4.      线性方程组

（1）求解线性方程组的克拉默 (Cramer) 法则.

（2）齐次线性方程组有非零解的充分必要条件,   非齐次线性方程组有解的充分必要条件,线性方程组解的性质和解的结构.

（3）齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间, 求齐次线性方程组的基础解系和通解.

（4）非齐次线性方程组解的结构及通解.

（5）用初等行变换求解线性方程组.

5.      矩阵的特征值和特征向量

（1）矩阵的特征值和特征向量的概念及性质, 求矩阵的特征值和特征向量.

（2）相似矩阵的概念与性质, 矩阵可相似对角化的充分必要条件, 将矩阵化为相似对角矩阵的方法.

（3）实对称矩阵的特征值和特征向量的性质, 主轴定理.

6.      二次型

（1）二次型及其矩阵表示, 二次型的秩, 合同变换与合同矩阵, 二次型的标准形与规范形,惯性定理.

（2）用正交变换与配方法化二次型为标准形.

（3）正定二次型、正定矩阵及其判别法.

注：以上内容摘选自佘志坤主编、全国大学生数学竞赛命题组编的《全国大学生数学竞赛参赛指南》。关于该书，介绍如下：

更多教学服务

关注微信公众号“科学EDU”

近期文章：