中科院数学家带你认识数学
中国科学院数学家联力打造的一套数学科普丛书
席南华、周正一、刘晓东、张波、张建路、陈旭瑾、常向科、胡星标、何煦、李辉、陈鸽、李文林、王崧、胡永泉、张志涛、郑伟英、崔涛、胡晓东、何凯、薛文超、吴刘臻、黄祥娣、袁亚湘、刘歆、许志强、陈绍示、李向东、冯秀涛、徐圣源等。
01
在第一卷中，您可以找到这些问题的答案：数学里面最有名的问题黎曼猜想是什么，它的由来是怎样的？什么是克莱因瓶，卡拉比-丘流形?凭声音能听出鼓的形状吗？三体问题是什么？哥尼斯堡七桥问题，环游世界的路线存在吗？地图染色用四色够了么？孤立波、孤立子、可积系统是什么？女士品茶问题——她能够品尝出奶茶的调制过程是先加奶还是先加茶？星座能预测诺贝尔文学奖么？
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02
在第二卷中，您可以找到这些问题的答案：费马大定理是什么？朗兰兹纲领是什么？300多年前的一个数学公开挑战问题——最速降线问题；光为什么可以在真空中传播？触摸屏手机是什么原理？在干燥的环境下，接触化纤类衣物什么会有“针扎”的感觉？醉汉凌乱的脚步是否能把他带回家？
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03
在第三卷中，您可以看到这些问题：悖论是什么？七个千禧年问题之一——Navier-Stocks方程是否有整体光滑解；瞎子爬山问题；压缩感知应用在CT成像、核磁共振成像、天文观测、雷达等领域；算法的祖先——辗转相除法；熵；密码问题；怎么看数学史。
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在信息时代, 数学发挥着日益重要的作用, 国家和社会对数学也是特别的重视. 在这样的背景下, 社会对数学科普的需求是巨大的. 中国科学院数学与系统科学研究院作为国家最高的数学与系统科学研究机构, 有责任参与数学的科普工作. 实际上, 在科普领域, 该研究机构有优良的传统,华罗庚、吴文俊、王元、林群等人的科普作品广泛传播, 脍炙人口.
《认识数学》将是一个系列丛书. 本次出版该丛书的前三卷, 主要是我的一些同事写的科普文章. 这些文章都写得十分有趣, 可读性强, 富有数学内涵, 读后对认识数学、理解数学的思维、感受数学的无处不在和数学的威力等方面都会是很有益的. 这三卷书还包括李文林先生写的数学史方面的两篇文章, 以及韦伊 (A. Weil) 关于数学史的文章的译文.也包括三篇本人的文章, 有两篇是以前已经发表了, 有一篇是专为本系列丛书而写的. 这些写文章的同事中有些认为写科普文章不是他们的工作, 有其他的人做此事, 我感到他们是瞎扯, 有那么点糊涂劲儿, 写完后他们都很喜欢自己的文章.
第一卷的主题有黎曼猜想——引无数英雄竞折腰, 三角往事, 凭声音能听出鼓的形状吗, 三体问题 —— 天体运动的数学一瞥, 图论就在我们身边, 孤立子背后的数学, 真的吗？如何检验？群体运动中的数学问题, 剑桥分析学派, 数学的意义等.
第二卷的主题有费马大定理, 朗兰兹纲领简介, 最速降线问题, 生活中的电磁和数学, 最短距离中的一些数学问题, 醉汉凌乱的脚步能否把他带回家？自己能抗干扰的控制方法, 莫斯科数学学派, 基础数学的一些过去和现状等.
第三卷的主题有悖论、逻辑和不完全性定理, 流体的奥秘——流体力学方程, 寻找最优, 压缩感知的数学原理, 辗转相除法——算法的祖先, 熵助我们理解混乱与无序, 密码与数学, 数学史: 为什么, 怎么看等.这些文章涉及的主题的多样性能让读者窥见数学的丰富和引人入胜.
第一卷到第三卷共有三篇数学史方面的文章, 其中两篇的主题分别是莫斯科数学学派和剑桥分析学派. 这两个学派的兴起与发展的过程对我们都有很多的启示. 前者是在落后的局面发展起来的, 后者是曾经兴旺, 由于保守僵化而落后, 然后再兴起的.
韦伊关于数学史的文章对数学史的价值有自己独到深刻的观点, 其深邃流畅的思维让人赞叹, 这是一篇很有影响的数学史文章.
在阅读本书的过程中, 有些地方可能需要读者做一些思考, 从而对相关的内容能有更好的理解. 书中的文章都是可以多读几遍的, 那样会有更深的理解.
读者也可能对某些地方的符号和细节不太明白, 但不必在意那些不太明白的内容, 因为忽略这些仍可以继续阅读, 并从中受益.
刚开始挑着看一些段落或内容阅读也是一个可以采用的阅读方式,应该也会被内容触动而有所思考, 提升认识等.
十分感谢巩馥洲研究员在本书的组稿过程中给予的帮助. 特别感谢刘伟冬先生的团队为本书设计了意蕴丰富让人心动的封面, 这个封面似乎要把人带到神奇的数学世界.
席南华
主编简介
席南华，数学家，中国科学院院士，中国科学院数学与系统科学研究院研究员、博士生导师、院长。上海科技大学副校长。
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三角往事
三角形内角和的故事是出人意料的曲折、有趣和深刻. 首先让我们一起穿越回两百多年前.
1763 年 4 月 16 日, 大西洋, 天气晴.
接近正午, 梅德厄普大副走上甲板, 手里握着一个金属仪器, 在阳光下闪着金光. 黄铜的仪器制作得很漂亮, 像一面扇子, 边缘标记着密密麻麻的刻度. 上头还带一个望远镜, 还有好些个玻璃镜片, 其中有一块镜片的一半还镀着银. 那闪闪的银光一下抓住了小伙菲克的眼睛.
只见梅德厄普大副拿起那仪器指向远方, 眼睛对着望远镜, 开始慢慢调节活动臂. 大副眼中的太阳开始慢慢落下, 虽然还是正午耀眼的太阳, 却已经落在了海平面上. 梅德厄普看了看刻度盘, 飞快地记录下一串数字, 并掏出航海钟记录下时间. 稍作休息后, 又反复如此操作了好几次, 直到太阳已经明显越过了最高点. 他掏出一本小册子, 上面密密麻麻地填满了数字.
船长探出船舱, 喊道：“大副, 汇报纬度和经度！”.
梅德厄普的手指在那小册子上扫过, 大概是在寻找什么. 突然他大喊：“报告船长, 北纬 16 度 35 分 37 秒, 西经 42 度 26 分 11 秒！” 然后收起册子和仪器准备回身.
“那是个什么仪器？” 菲克问道.
“六分仪, 用来测太阳的角度, 怎么, 你想试试？” 说着, 大副把六分仪递给菲克, “这可是精密的玩意儿. ”
菲克小心翼翼地接过来, 一面仔细地打量着, 一面喃喃道：“这是怎么测太阳角度的呢 · · · · · · ”
2021 年 11 月 8 日, 北京, 雪后天气晴.
今天是小菲的数学期中考试, 可是第一道大题就把小菲给卡住了：如果我们有如图 1 中的三根直线 AB, BC 和 CD. 已知 AB 和 BC 的夹角是 120◦, BC 和 CD 的夹角是 60◦, 那么 AB 和 CD 的夹角是多少？
小菲很困惑, 明明老师刚刚讲完三角形的知识, 可却怎么出了一道没有任何三角形的题目. 正在苦思的时候, 小菲看见窗户里射进的阳光,光束若隐若现. 顿时灵感闪现, 拿起直尺把 AB 延长, 直到它和 CD 相交. 小菲飞速地写下：“不妨假设 AB 和 CD 的交点就是 D. 因为 ABD构成一条直线, 我们知道 BC 和 BD 的夹角是 60 度. 因为三角形 BCD内角和是 180 度, 那么 AB 和 CD 的夹角是 180 − 60 − 60, 等于 60度！” 接着第二问：
如果 BE 和 CF 分别是两根角平分线, 那么 BE 和 CF 的夹角是多少？
这可已经难不倒学会套路的小菲了, 他延长 BE 和 CF 直到它们相交在 G 点. 然后利用三角形 BCG 内角和是 180 度, 迅速解出 BE 和CF 的夹角是 30 度 (图 2). 紧接着最后一问：
如果 AB 和 BC, BC 和 CD 的夹角任意给定, 但后者小于前者. 证明 BE 和 CF 的夹角是 AB 和 CD 的夹角的一半.
按着前面的经验, 小菲很快写下了证明. 突破了第一个障碍, 小菲一路开挂, 很快答完了整张卷子. 第二天, 数学老师讲解完试卷, 下课的铃声已经响了. 老师似乎意犹未尽, 继续说到,
“虽然第一大题是很简单, 但却解释了六分仪的数学原理. ”
“六分仪是 18 世纪到 20 世纪重要的航海工具. 在题目里, 我们在B 点和 C 点各放一面镜子. 想象 A 点是太阳, D 点是眼睛. 那么通过调整 B 处镜子的角度, 直到太阳和水平面重合, 此时太阳和水平面的夹角就是两面镜子垂线的夹角的两倍. 为了知道太阳的角度, 就只要测量镜子间的夹角就行了. ”(图 3)
“一旦知道了太阳的角度, 加上时间, 就可以确定我们所处的纬度和经度了. 在还没有 GPS 的年代里, 这可是我们航海人员重要的定位工具.”
“虽然六分仪的原理要到牛顿才提出来, 真正制造出来更已经是 18世纪 30 年代的事了. 可它的数学原理, 就是我们上周学的三角形内角和是 180 度. 这可是两千多年前希腊人就已经证明的定理啊. 所以说呀,数学是很重要且神奇有趣的学科, 偶尔的拖堂也是必要的. ”
小菲听得津津有味, 虽然他不喜欢老师拖堂, 但这次好像一个心里藏了很久的困惑解开了.
凭声音能听出鼓的形状吗？
如果我说 “凭声音能听出鼓的形状吗” 是一个数学问题, 你可能会吃惊地看着我, 露出不相信的眼神. 的确, 是难以置信. 不过数学是强大的, 也是神奇的, 很多看似与数学无关的问题, 最后发现实质是数学问题.
“凭声音能听出鼓的形状吗” 不仅是一个数学问题, 还是引起很多大数学家关注的一个问题. 对这个问题的研究产生了很丰富的成果, 有些情形到现在都还没解决. 该问题是数学中 “反问题” 这一领域的一个缩影, 后者在医学成像、无损探测、石油勘探、雷达与声呐等众多领域有广泛的应用.
书中将简要讨论这一问题蕴含的物理原理和数学表述, 并顺便介绍一下相关的 “反问题” 这一数学领域的内涵和它的应用价值.
哥尼斯堡七桥问题
18 世纪, 哥尼斯堡(Königsberg) 市是东普鲁士的首都, 坐落在普雷格尔河两岸. 除了两岸陆地外, 城市还包括河中两个岛——克尼福夫岛和洛姆塞岛. 河上建有七座桥, 将两个岛以及城市的河岸部分连接起来(如图1 所示).
人们闲暇时经常在城里散步. 有人提出一个有趣的问题: 能不能找出一条散步的路线, 使得正好只经过每座桥一次, 最后又回到出发原地？
这和游客在陌生城市设计理想观光路线经常有的想法十分相似.
这个问题看上去很简单, 然而人们尝试了各种各样的走法, 都没有成功. 为什么找不到这样一条路线呢？这让人困惑. 1736 年, 有人请教了瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler). 欧拉认识到陆地的大小和形状是无关紧要的, 在陆地上行走的路线也是无关紧要的. 于是, 他把四块陆地分别看作四个点, 把桥看作是连接点的线, 从而图1 就简化为图2.
问题变为: 在这个图上, 从一个端点出发, 不重复不遗漏地历经所有的连线, 并最终回到起点.
虽然这个图很简单, 但你会发现尝试所有可能的走法依然是很烦琐的事情, 尽管这是可能的. 欧拉是这样思考的: 如果有这样的走法, 那么对于任何一个端点, 每次走进该点的连线和走出该点的连线是不同的,从而进去的连线和出来的连线是成对出现的, 这意味着和每个端点连接的线(即连接每块陆地的桥) 的数量都是偶数. 在图2 中, 我们一眼就可以看出, 连接每个端点的线的数量都是奇数: 端点1，2，4的连线数都是 3, 端点3的连线数是 5. 现在我们知道哥尼斯堡的市民找不到那样的一条路线是不奇怪的, 它不存在！
欧拉(图3) 关于哥尼斯堡七桥问题的工作是图论这个数学分支的起点, 欧拉则被誉为图论之父.
我们可以把欧拉关于哥尼斯堡七桥问题的思考和结论总结为两个定理. 为此我们先引入一些术语. 对于像图2 那种图, 端点以后被称为顶点, 端点之间的连线被称为边. 在图论中: 每一个图都是由若干顶点和若干连接顶点的边组成的, 两个顶点之间的边可能有多条, 1 条或0条. 我们今后考虑的图都默认是这样的.给了一个图, 在图中连接一个顶点的边的数量被称为这个顶点的度(degree), 比如图 2 中顶点3的度是 5.
哥尼斯堡七桥问题更一般的形式是: 给了一个图, 能否从某个顶点出发, 连续地不重复不遗漏地历经所有的边, 并最终回到起点. 这就是著名的欧拉环游问题. 这样的遍历所有边路线称为欧拉环游(Eulertour). 欧拉关于哥尼斯堡七桥问题的思考实际上导出了如下定理.
欧拉-希尔霍尔泽定理(1736, 1873) 一个图具有欧拉环游当且仅当它是连通的(即任意图中两个顶点都可通过一系列首尾相接的边连接起来) 且每个顶点的度是偶数.具有欧拉环游的图, 即连通且顶点的度均是偶数的图, 被称为欧拉图(Euler graph). 任给欧拉图, 德国数学家卡尔·希尔霍尔泽(Carl Hierholzer) 告诉我们如何快速找出它的一个欧拉环游, 也即理想的游历路线. 和欧拉环游问题密切相关的一个问题是一笔画问题: 给了一个图,能否从某个顶点出发, 连续地不重复不遗漏地历经所有的边, 也即将这个图一笔画出来. 一笔画问题和欧拉环游问题的差别在于一笔画问题不要求最后回到起点.略微多思考一会儿, 就会发现欧拉的工作还解决了一笔画问题:
“一笔画” 定理如果一个图是连通的, 而且度为奇数的顶点至多有两个, 那么这个图可以一笔画出来, 并且当有两个度为奇数的顶点时, 它们一定分别是一笔画路线的起点和终点. 反过来的结论也是对的: 如果一个图可以一笔画出来, 那么它是连通的, 而且度为奇数的顶点至多有两个.图2 是无法一笔画出的, 因为它的4 个顶点的度都是奇数. 你不妨试一试, 如果将这个图中的任意一条边去掉以后, 那么它就只剩下2 个奇度顶点了, 这时非常容易把图一笔画出来.
对一个图, 一笔画出来的轨迹是欧拉环游的推广, 称为欧拉迹(Eulerian trail). 欧拉迹有很多实际应用. 例如, 在生物信息学中, 用它来从DNA 的片段中重建DNA 序列; CMOS 电路设计用它寻找最佳的逻辑门排序; 不少网络优化算法依赖欧拉迹作基础.
欧拉关于七桥问题的思考不仅是图论的起点, 也蕴含了拓扑学的思想: 七桥问题的关键是桥的数量及其所连接的陆地标号, 而不是它们的确切位置、形状、大小等因素. 欧拉将他对七桥问题的研究作为位置几何(geometria situs) 的示例. 而在19 世纪下半叶, 拓扑学研究被称为
位置分析. 所以七桥问题的研究也可以看作是拓扑学的一个起源.
女士品茶问题
在数理统计界有一个广为流传的女士品茶的故事. 这个故事给数理统计的发展史增加了很多的趣味.
那是20 世纪20 年代后期, 英国剑桥, 一个夏日的午后, 一些学者和他们的夫人们, 还有一些访问学者, 聚在户外, 享受着下午茶时光. 英国人喜欢在茶中加入牛奶, 自然, 这个下午的茶也多是加入牛奶的. 在饮茶的过程中, 一位女士说她能品尝出一杯奶茶的调制过程是先加奶还是先加茶.
不用说, 在场的学者们对女士的这个说法不以为然, 他们几乎所有的人都不相信仅仅因为加茶加奶的顺序不同, 茶和奶之间就会发生不同的化学反应. 不过, 在场的一位身材矮小、戴着厚眼镜、蓄着短尖胡须的先生却有不同寻常的敏锐. 他认为这里隐藏着十分有趣的问题.他兴奋地提议: 让我们来检验这位女士的说法吧, 并设计了一个实验. 在这个实验中, 这位先生把女士的说法看作是需要检验的假设问题.
如果只是给女士一杯茶, 即便她没有辨识能力, 仍有50% 的机会猜对.如果是给两杯茶, 在没有辨识能力的情况下, 她仍有可能全猜对.
他提出了一种实验设计方案: 先秘密地调制八杯奶茶, 其中四杯先放奶后加入茶, 另外四杯先放茶后加入奶. 然后由女士品尝所有八杯奶茶, 并回答哪四杯先加入的是奶. 这位先生认为, 只有当女士完全判断正确时, 他才有理由相信女士不是瞎猜的.
理由如下: 从八杯中选出四杯共有
种选择方法. 假设女士是完全瞎猜的, 那么女士给出的答案会等可能地成为70 种选择中的一种. 由于只有一种选择是完全正确的, 女士碰巧完全猜对的概率(即几率, 就是可能性) 只有70 分之1, 也就是1.4％左右. 这个概率确实太小了！虽然理论上这样小概率的事件也有发生的可能性.
这位先生认为, 如果在“女士是完全瞎猜的” 这个假定下概率小于5% 的事件发生了, 那么就有理由认为是假定出了问题. 此时, 我们应该舍弃原有的假设À. 也就是说, 女士至少具有一定程度地品鉴出奶茶添加顺序的能力, 而这说明两种添加顺序下的奶茶味道确有不同.
如果女士没有完全答对, 那么我们又能做出什么结论呢？用x 来表示女士判断正确的杯数. 由于女士总是将四杯奶茶鉴定为先加入的是奶, 每当她将一杯先加入的是奶的奶茶判断为先加入的是茶, 她会同时将一杯先加入的是茶的奶茶判断为先加入的是奶. 因此, x 只能取偶数值. 我们计算出了x 的分布, 即x 取各种值的概率, 见下表.
根据计算可知, 女士答对6 杯以上的概率是16/70 + 1/70 ≈ 24.3%.这个概率远大于5%, 也就是说, 不是个小概率. 此时, 我们无法舍弃“女士是完全瞎猜的” 的假设, 只能保留它Á. 因此, 如果女士答对6 杯, 我们仍然有理由怀疑女士是瞎猜的. 换句话说, 只有8 杯全部答对才能验证女士的能力.
（本期编辑：王芳）
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