2022年IMO中国国家集训队测试（第一、二天）

试题来源：数学竞赛吧

第一天

1. 圆内接凸六边形，与交于点，与交于点，、为、的外心．证明：、、三线共点．
2. 为素数，为无穷整数集，证明：存在的元子集，中任意个元素的算术平均数不在中．
3. 、、、、、是正整数，、、，．在中放上枚棋子（一个点上可以放上多枚棋子），并可执行下面三类操作：
   (1)在上拿掉枚棋子，在上放一枚棋子；
   (2)在上拿掉枚棋子，在上放一枚棋子；
   (3)在上拿掉枚棋子，在上放一枚棋子．
   求最小的，使得无论如何放棋子，总可以适当操作，使得最后有一枚棋子．

第二天

1. 锐角内接于圆，，的内心为，关于的对称点为，延长线与延长线交于点，过作与平行的直线交圆中劣弧于（），过作与平行的直线与直线交于．证明：若，则．
2. 为单位圆，、、、为单位圆上的个复数（可以相同）．满足如下两个条件：
   (1)对任意长为的开弧，至多有个()在上；
   (2)对任意长为的开弧，至多有个()在上．
   求的最大值．
3. 、、、为有限集的个子集（可以相同），对任意的子集，()的并集元素个数．证明：可以将的元素适当染为黑白二色，使得每个()既包含黑色元素，又包含白色元素．