如果没有反例，这个猜想将成为定理！

分圆多项式的系数:

x^2-1=(-1+x)(1+x)

x^3-1=(-1+x)(1+x+x^2)

x^4-1=(-1+x)(1+x)(1+x^2)

...

x^30-1=(-1+x)(1+x)(1-x+x^2)(1+x+x^2)(1-x+x^2-x^3+x^4)(1+x+x^2+x^3+x^4)(1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8)(1+x-x^3-x^4-x^5+x^7+x^8)

...

把x^n-1分解因式,等号右边这些因式就是分圆多项式,有人猜测是不是分圆多项式每一项的系数都是0, 1或-1.

第一个反例出现在n=105时:

x^105-1=

(-1+x)(1+x+x^2)(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)(1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8)(1-x+x^3-x^4+x^6-x^8+x^9-x^11+x^12)(1-x+x^5-x^6+x^7-x^8+x^10-x^11+x^12-x^13+x^14-x^16+x^17-x^18+x^19-x^23+x^24)(1+x+x^2-x^5-x^6-2x^7-x^8-x^9+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17-x^20-x^22-x^24-x^26-x^28+x^31+x^32+x^33+x^34+x^35+x^36-x^39-x^40-2x^41-x^42-x^43+x^46+x^47+x^48)

系数里出现了-2.

如果用计算机计算很大的分圆多项式, 会发现当n很大的时候, 分圆多项式里最大的系数竟然还是指数增长的 !

以上文章观点仅代表文章作者，仅供参考，以抛砖引玉！

END

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