“学生”晋级为“学者”，少不了联想！椭圆到卡西尼卵形，你敢猜吗？

开篇

先给大家两个图欣赏欣赏，请看下面这两张图：

图一

图二

第一张图为椭圆的画法，我们很熟悉，第二张图这个是啥？没见过。不像爱情，却像极了生物书上的细胞分裂

也有点像小时候这个“圈地的场景”。不吃饭的小孩，总喜欢用筷子在淮山汤上面戳油，那个油圈圈。这是属于90后无聊打发时间的游戏。

说正题，上面提到的这个不熟悉的曲线，就是大名鼎鼎的卡西尼卵形。更加不可思议的是，高中椭圆简简单单的变式思考就可以得到，请随我来~

1.椭圆讲起

高中数学老师问："如果某个动点M到两个定点F,G的距离之和等于定长，那么图形是什么?"想必你已经快速反应过来：“椭圆！！！”因为|MF|+|MG|=2a>|FG|，即可得到M的轨迹是椭圆轨迹！

多说无益，看图吧：

如此简单，所有人开始疯狂练习椭圆。但有人则会猜想，你上面的距离之和几个字，能否修改呢？

2.双曲线来了

其实按照教学进度，过不了两三天，数学老师就开新课，问了下面的问题："如果某个动点M到两个定点F,G的距离之差等于定长，那么图形是什么?"想必你已经快速反应过来：“双曲线！！！”因为||MF|-|MG||=2a<|FG|，即可得到M的轨迹是双曲线轨迹！

说人话，请看图（不证明了，大家翻翻书吧~）：

如此简单，大部分人开始沉浸在圆锥曲线的做题“乐趣”当中！

但是，却有人会想到，距离之差这几个字能不能改一改呢？和有了，差有了，难道不能有商吗？

3.阿波罗尼斯圆

是的，你猜对了，没过几天的周测试题，并没有考椭圆和双曲线，而是出了这样一道题："如果某个动点M到两个定点F(-1,0),G(1,0)的距离之商等于b，那么图形是什么?"

数学总是这么虐，授之以鱼，考之以“鱽鱾鲀鱿鲃鲂鲉鲌鲄鲆鲅鲇鲏鲊鲋鲐鲈鲍鲎鲝鲘鲙鲗鲓鲖鲞鲛鲒鲚鲜鲟鲔鲕鲑鲧鲬鲪鲫鲩鲣鲨鲡鲢鲤鲠鲥鲦鲺鲯鲹鲴鲶鲳鲮鲭鲵鲲鲰”

但是不好意思，作为学霸，这个难不倒人。不就是|MF|/|MG|=b，求动点轨迹吗？求出来是个圆。不就是阿波罗尼斯圆吗？！！！

不说了，看图，随着b取不同的值，轨迹是圆：

对的，学生纷纷赞叹，美啊老弟！很满足，没有人质疑或者是提问，疯狂刷题！

4.卡西尼卵形

然而，仅有非常非常少的学生，会提出这样一个疑问，距离之商 这几个字，能否继续变，改成距离之积？

能够提出这个问题的人，将来必成大器！因为，发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼研究行星轨道时提出："如果某个动点M到两个定点F（-1，0）,G（1，0）的距离之积等于常数，那么M轨迹就是卵形线"

简单滴说，请看下图，随着b的变化产生一系列图形，可以和开篇提到的图二对比：

至此，请问，学生与学者，究竟差了什么？或许就是一步之遥而已，或许也就是联想而已，和差积商，我们耳熟能详，然而谁又会在学习中不断变式呢？

很多事情，不是你做不做得到，而是你敢不敢去想！

收尾

结尾顺便谈谈上面说到的图像的作图过程，数学老师懂的~用GeoGebra作图方便，请欣赏。

往期精彩链接