GGB与双变量统计分析——回归分析5.GeoGebra制图——单变量分析6.GeoGebra绘制双条形图GGB——趣味数学篇精选1.

【倒计时76天】高中数学66个易错点之28~30：不等式证明，函数与方程，单调区间点个“好看”支持一下吧！

【立几与椭圆结合】剖析2020佛山高二数学统测试题第16题9.【不惊慌，稳大局，勤备考】空间中的动点轨迹10.如果有谁说数学用来买菜的，请拿这个砸TAGGB——平面几何篇精选1.

第二重当我们把这个模型中的黄球看成太阳，绿球看成地球，粉红球看成月球，轨迹随即产生。而且，侧面看过去，不就是经常出现在我们的高考试题中的两个正弦函数叠加吗？3

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漂亮，用GeoGebra展示圆锥曲线切线相关性质关注后回复：几何体侧面展开课件下载就可以下载课件，一起玩一玩~点个“好看”让GeoGebra流行起来！

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六个核心函数GeoGebra的相关网址：官网：https://www.geogebra.org/网页版：https://www.geogebra.org/graphing软件下载：https://www.geogebra.org/download官网资源：https://www.geogebra.org/materials最近看了公众号“解忧高中数学杂货店”的一篇文章《常用函数与图像》，非常喜欢。不过函数图像虽然优美，真正在高中常用的核心函数，也就六个，以这六个函数变化出来的题目千千万万~六个核心函数如下：这几个函数有相当多的变式，变化之后即可作为高考题中的压轴好戏，涉及分类讨论、隐零点等各个难点。可以欣赏一下GeoGebra下的如下变式：所谓万变不离其宗，掌握了这六个基本图像的画法，许多题目都可以迎刃而解。本篇最后有几个例题供大家参考。我们先简单欣赏一下课件的制作过程吧。制作过程

印信GeoGebra的相关网址：官网：https://www.geogebra.org/网页版：https://www.geogebra.org/graphing软件下载：https://www.geogebra.org/download官网资源：https://www.geogebra.org/materials前几天去桂城听教研员彭海燕老师分析高考试题，提到关于试题里面如何渗透“五育并举”，举了2019年全国二卷第16题作为例子，我突然眼前一亮，是个值得一做的立体模型~原题是这样的：说起这道题的背景，还是大有来头。独孤信印是迄今发现的中国古代唯一一枚楷书印，也是印面最多的印信，1981年由陕西安康旬阳中学一名学生在河滩上捡到，现藏于陕西历史博物馆。所谓印信，也就是印章。印由煤精制成，呈球体8棱26面，其中正方形印面18个，三角形印面8个。有14个正方形印面镌刻印文，分别为“臣信上疏”、“臣信上章”、“臣信上表”、“臣信启事”、“大司马印”、“大都督印”、“刺史之印”、“柱国之印”、“独孤信白书”、“信白笺”、“信启事”、“耶敕”、“令”、“密”等。印文为楷书阴文，书法遒劲挺拔，有浓厚的魏书意趣。据印文内容及核查史书，此印为北周大司马独孤信之印。十四面印文内容不同，各有其用途，是研究北朝印玺制度的珍贵实物资料。每一件文物背后，都有一段被尘封的历史。一枚小小的印章，背后是一个大将军叱咤沙场的一生，他才貌双全，官至公卿，地位举足轻重，最重要的是他有北周、隋、唐三朝皇后女儿，人们称他为“中国古代第一老丈人”。他就是独孤信。《独孤天下》独孤信

星罗棋布GeoGebra的相关网址：官网：https://www.geogebra.org/网页版：https://www.geogebra.org/graphing软件下载：https://www.geogebra.org/download官网资源：https://www.geogebra.org/materials中秋节了，祝各位中秋节快乐，阖家幸福~最近在官方资源站看到一个例子，挺好玩的。这些小正方形会旋转，转起来特别好看，像个手帕。初中课本中也常见到，属于密铺的内容。于是自己用GeoGebra实现了一下，取个名字叫做“星罗棋布”吧，听起来好听。效果如下：制作过程

指对幂函数GeoGebra的相关网址：官网：https://www.geogebra.org/网页版：https://www.geogebra.org/graphing软件下载：https://www.geogebra.org/download官网资源：https://www.geogebra.org/materials指数函数，对数函数，幂函数，三大类函数在必修一当中相当重要。学习时理解清楚其实本质。不过初学时，总是会记不住参数变化的时候，如何影响图像。记得大学学习几何画板的时候，做过下面这种各类型的图。也算直观了。当然当时也只做过动态的图。我们使用GeoGebra，做起来轻而易举。制作过程

教师节快乐教师节，旨在肯定教师为教育事业所做的贡献。在中国近现代史上，多次以不同的日期作为过教师节。直至1985年，第六届全国人大常委会第九次会议通过了国务院关于建立教师节的议案，才真正确定了1985年9月10日为中国第一个教师节。今天是9月10日，每年这个时候都特别高兴，上课的时候学生异口同声的“祝老师教师节快乐”，比什么都暖心。一年一度教师节，祝各位同行教师节快乐~身体健康~家庭和睦~学生学习进步~用GeoGebra做了个好看的模型，送个大家，希望大家喜欢~制作过程

四棱锥外接球GeoGebra的相关网址：官网：https://www.geogebra.org/网页版：https://www.geogebra.org/graphing软件下载：https://www.geogebra.org/download官网资源：https://www.geogebra.org/materials刚刚过去不久的佛山市南海区摸底考试，文科数学中有一道立体几何体，挺适合使用GGB去讲评，特地抽空录了一节。这是一道关于四棱锥的外接球问题，位于文科数学的选择题第11题：这道题倒也是有挺多文科班的同学问到，明显是对锥体的外接球问题非常不熟练，或者可以说对外接球的球心寻找方式非常不敏感。我们不妨用GeoGebra的模型给他们展示一下，一目了然。一起来看看怎么制作~制作过程

圆柱圆锥截面这几天是高三的摸底考试，稍微有点时间，连续更新。这次再来聊聊立体几何的一道很经典的题。后台收到许多私信，问GeoGebra的官网和网页版应该如何使用，大家可以试试：官网：https://www.geogebra.org/网页版：https://www.geogebra.org/graphing软件下载：https://www.geogebra.org/download官网资源：https://www.geogebra.org/materials这道立体几何题是这样的：不会很难，不过用GeoGebra来会更直观。感觉小学，初中也有类似的题，可以看看下面的效果：一起来看看怎么制作~制作过程

黎曼积分积分的内容在高中阶段篇幅倒是不小，但是难度不大；原理挺烦人，考得挺简单。但实际上学生也就是学习原理的时候特别揪心，毕竟没有取极限的概念做支撑。GeoGebra为教师量身定制了一个指令，一起看看。黎曼积分(Riemann

GGB与双变量统计分析——回归分析5.GeoGebra制图——单变量分析6.GeoGebra绘制双条形图7.GGB模拟三门问题（上）8.GGB模拟三门问题（下）GGB——趣味数学系列1.

GGB与双变量统计分析——回归分析5.GeoGebra制图——单变量分析6.GeoGebra绘制双条形图7.GGB模拟三门问题（上）8.GGB模拟三门问题（下）GGB——趣味数学系列1.

正方体内切球其实GeoGebra最大的优势还是立体几何，这几天也顺路搞搞立体几何相关的东西。有一道这样的题：其实原题是不含图的。学生还是能比较快速地画出相关图形。不过有一部分同学是没能够很好地脑补截面是个圆。看看GeoGebra的最终展示效果：一起来看看怎么制作~制作过程

正弦，正切图像最近捯饬了一下三角函数的图像问题，感觉还是挺好挺优美的。高一必修四对三角函数的图像还是花了篇幅去叙述的。倒也不是什么很难懂的问题，不过却失去了活力~我们都渴望，这个过程应该是这样的：就算没那么好看，但起码也要是这样的：于是我动手用GGB做了个这样的动态展示~一起来看看怎么制作~制作过程

三角函数线这几天高三文科复习三角函数，于是摆弄了一下GeoGebra，做了一个课件出来，大家可以参考参考。高中数学引入三角函数，是要借助单位元来定义的。定义完后课本则引入了三角函数线。这一块其实也不是什么很难的东西，但是如果能够与动态的GeoGebra画板相结合，那就更加直观了~这样的动态展示，好过干涩的分析。一起来欣赏下如何制作吧~制作过程

三门问题（下）军训刚刚开始，结果台风来了，这老天爷真是照顾大家。接着上一次的话题，我们用GeoGebra解决一下蒙提霍尔问题三门问题。主要思路就是模拟整个抽奖过程，让频率去逼近概率。看看最后“更换选择”后的中奖概率是否是三分之二制作过程中使用到了许多的命令，在这里提前做个说明：GGB6英文指令：SetValue(对象A，值B)GGB5对应中文指令：赋值（对象A，值B）作用：将对象A的值改为BGGB6英文指令：SetCaption(对象A，"字符串B")GGB5对应中文指令：设置标题（对象A，"字符串B"）作用：将对象A的标题改为字符串B，记得要带引号GGB6英文指令：SetBackgroundColor(对象A，颜色英文B)GGB5对应中文指令：设置背景颜色（对象A，颜色英文B）作用：将对象A的背景颜色改为B颜色GGB6英文指令：RandomBetween(a，b)GGB5对应中文指令：区间随机数（a，b）作用：a,b两个整数之间随机选取一个整数GGB6英文指令：RandomElement(集合A)GGB5对应中文指令：随机元素（集合A）作用：在集合A中随机返回一个元素GGB6英文指令：if(条件A，语句B，语句C)GGB5对应中文指令：如果（条件A，语句B，语句C）作用：如果满足条件A，则执行B，如果不满足条件A，则执行CGGB6英文指令：Remove(集合A，集合B)GGB5对应中文指令：去除（集合A，集合B）作用：在集合A中去除掉集合B中的元素这些指令可以嵌套使用。制作过程

三门问题（上）高三又要开学了，暑假十来天，过得真是快。这次想说说一个比较容易引起大讨论的问题：蒙提霍尔三门问题。也是概率论里面比较有趣的问题。三门问题——亦称为蒙提霍尔问题，出自美国的电视游戏节目Let's

双条形图期末考试正在进行，学生在紧张地备考当中。趁机研究了一下双条形统计图的绘制。概率统计中经常会使用到下面这种双条形图：统计的考题中也时常出现。GeoGebra绘制效果如下：基本算是高仿了。一起欣赏一下制作过程吧~制作过程

单变量分析期末是老师最忙的时候，都快忘记公众号的存在了。期待暑假的到来。学习统计的时候，经常会对单个变量进行统计分析，并使用图形进行直观反映：常用的有直方图：折线图：考题当中也经常会出现这些统计图表，比如2018年二卷的这道题：还有像这道题，2017年二卷的第18题：接下来我们使用GeoGebra，快速绘制出一些数据的直方图和折线图，效果如下：一起欣赏一下吧~制作过程

回归分析终于到了周末，整理了一天的资料，才闲下来，顺路和大家说说GGB如何实现双变量统计分析，其实这是GGB集成的一个功能，用于回归分析，非常方便。人教版数学选修2-3里面有这样一个问题，是关于非线性拟合的讨论，也是平时教学的时候认为比较棘手的一个问题：课本给出的拟合方案有三个，第一个是线性回归：第二个是选择二次函数进行拟合：第三个是选择指数函数进行拟合：在前不久我们学校高二年级才刚刚讲完这一部分内容，学生反应倒也是可以，纯粹地从课本和板演得到相关的结论。但我自己都觉得，还是缺少点科技感。这一部分毕竟是信息技术相结合的内容，不能上得那么枯燥！下面给大家看看GGB展示的效果：看看这个课件怎么制作~制作过程

二项分布昨天考完数学，又是一阵激烈的讨论。概率统计放到了最后一题作为压轴。概率统计在人工智能等领域发挥着重要作用，重视程度也逐步增加。《GGB系列教程3——概率统计系列》第三篇，给大家讲讲一个关于二项分布的课件制作。个人特别喜欢这个例子~二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布，当二项分布的n值趋向于无穷大时，二项分布近似可以看成正态分布。正态分布的图像是一个钟形曲线，而二项分布的图像为直方图，直方图的顶端可以近似连接成为一条钟形曲线。看看这个课件怎么制作~制作过程

条形统计图语文已经考完了呀，看到了同学们走出教学楼的各种神态，喜怒哀乐都有。今天中午的学生宿舍特别快就安静下来了。不管怎样，平常心，最重要~期待今年的数学，不知道会考些什么。《GGB系列教程3——概率统计系列》第二篇，给大家讲讲怎么用GGB制作条形统计图。作为数学老师，平时出卷非常频繁，特别是我们学校，每周都要测试。网上下载的题目总是有一些题目配图很差，手动绘图肯定是不科学的了，我们探讨一下GGB怎么制作一些统计图~条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按一定的顺序排列起来。从条形统计图中很容易看出各种数量的多少。条形统计图一般简称条形图，也叫长条图或直条图。。条形统计图分为：单式条形统计图和复式条形统计图，前者只表示1个项目的数据，后者可以同时表示多个项目的数据。频数：一般我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数（frequency)频率：频数与数据总数的比为频率，频率×100%就是百分比。本篇以2015年全国理科数学二卷第三题为例子：使用GGB制作课件，演示如下：来吧~制作过程

正态分布断更了好久，但是每天都有新的GGB爱好者关注，太感动了。高考假期调课忙得我焦头烂额。不过在这里也祝福高三的孩子们能够旗开得胜，考出自己理想的成绩，加油~《GGB系列教程3——概率统计系列》这是开篇啦，确定主题也花了点功夫。希望能够帮到大家~那么第一课我们来聊聊正态分布密度曲线的相关性质。正态分布出现在人教版选修2-3当中，在高考中不会特别难，可以出现在选择填空，也可以出现在大题，灵活多样。我们主要是会用相关结论即可。正态分布（Normal

Dandelin双球下图是选修2-1的封面——拥有者百元大钞颜色，令人“谈之色变”的圆锥曲线就在这本书中。高中数学人教版选修2-1里面有这样一个图，诸位同学和老师应该映像颇为深刻。这个内容在不起眼的“探究与发现”当中。其实读书的时候也感觉很神奇，只不过是考试不考，慢慢就淡忘了。我最近查了一下，才知道，这东西大有来头。他有自己的名字——Dandelin双球！（旦德林双球）Dandelin双球Germinal

勾股树【勾股树的主题是由刘平老师提出，感谢他的建议。同时也感谢来自浙江的赵林老师、来自江苏的单晨老师的多项建议。】毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。而同一次数的所有小正方形面积之和等于最大正方形的面积，直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。根据所做的三角形的形状不同，重复做这种三角形的毕达哥拉斯树的“枝干”茂密程度就不同。~勾股树也有许多的变种，可以以各种形式展现。还可以改变角度和迭代的单元。自己在制作的过程中，综合考虑到显示的流畅性，还有指令的难易。选择了如下方法制作。或许不是最优的做法，但是这个做法做出来的效果，在GGB当中显示的效果和流畅性还是可以的，而且相对比较好理解。制作过程中，涉及到了如下几个指令，大家可以提前熟悉一下最后的绘图指令如下：很长，一部分一部分理解还是可以入手的。这几个指令可以直接拷贝到GGB里面运行一下，领会Zip映射和IterationList的意义。不说那么多，直接看过程吧。制作过程

多边形旋涡【迭代这个主题是刘平老师留言建议讲一讲的，非常感谢刘平老师。大家有什么感兴趣的话题，都可以公众号发消息给我，一起讨论，更加精彩。】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。相对于传统几何学的研究对象为整数维数，如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空。分形几何学的研究对象为非负实数维数，如0.63、1.58、2.72、log2/log3（参见康托尔集）。因为它的研究对象普遍存在于自然界中，因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”。一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。分形有几种类型，可以分别依据表现出的精确自相似性、半自相似性和统计自相似性来定义。虽然分形是一个数学构造，它们同样可以在自然界中被找到，这使得它们被划入艺术作品的范畴。分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都有应用。我第一次听到分形几何还是在读大学的时候，教我《复变函数》的教授是研究分形几何的。出来教书是很少遇到分形相关的东西。但是却有部分图形，蕴含了分形几何的迭代思想。接下来我想用迭代来制作一个多边形旋涡的图案，还是可以一看的，请欣赏：该课件一共使用了十层迭代，大家可以试试相关指令~制作过程

万花尺画出的图案美不胜收，用不同尺寸和形状的子尺或母尺排列组合出来的图案更是多种多样：可独画，也可叠画、接画。这么漂亮的图形，激起了我用GGB来模拟它的欲望！先看下用GGB模拟出来的效果如何：

不行不行，以上种种，还不足以表达我内心的“冲动”。GGB赋予我3d展示的能力，怎么能就此罢休。闭关修炼，终于有所突破~请看GeoGebra加工后的“美图”：

其实计算机算法已经可以完美地解决类似的问题了。java语言来编写这个游戏也相当方便。不过对于大部分一线老师，可能会选择ggb自带的简易指令来编写。

圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线。圆锥曲线包括椭圆（圆为椭圆的特例）、抛物线、双曲线。起源于2000多年前的古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线。

GGB5的版本是支持中文指令，但奇怪的是6以后的版本，起码到目前为止不支持中文指令。相信14亿人口对这个软件的开发者还是有吸引力的。但就目前情况下，我们需要自己琢磨一个好的方法快速应用指令。