【立几与椭圆结合】剖析2020佛山高二数学统测试题第16题

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椭球与椭圆旋转

佛山高二统考结束后，接到科组长钱耀周老师和课题组龙宇老师的通知：“好好研究一下高二试题中的填空题16题”。这会儿放假了才得以抽空，认真思索了一番：高手关注的题果然有深度。

先给大家看看这道题：

大家不妨拿起手中的笔，好好思考一下。

不知道高二的同学们能够做到什么程度，估计是没几个人能搞出来的。教研室提供的答案如下：

这道题实质考察了学生的空间想象能力以及椭圆的定义。下面好好剖析一下。首先看第一问，如果|PB|+|PC1|=4，那么满足条件的点P一定可以在正前方这个正方形BC1平面上构成椭圆：椭圆以BC1为焦点，4为长轴长。如图所示，此时P恰巧落在黄色点处：

除了黄色点，还有另外两个点，如下图：将绿色椭圆绕着直线BC1旋转90度得到蓝色椭圆，则蓝色的两个点也是满足|PB|+|PC1|=4，一共四个点满足题意，第一节完成.

这个问题可以换一个角度：实际上满足|PB|+|PC1|=4的所有点，在空间中构成了一个椭球面，如图。以绿色椭圆绕着BC1一周所得的椭球面。

从椭球的角度出发，我们可以完成第二节。若|PB|+|PC1|发生变化，要求P点个数为6，那应该如何去取值呢？请看下图，即为6个点的情况之一：

所以只要将图中蓝色点移到面对角线BC1上，则参数λ=2√2.如下图：则λ>2√2。当然最大就是刚刚第一节的情况，2√2<λ<4.

当椭球继续扩大，λ>4的时候，如下图，棱上有4个点满足题意：

我们将椭球进一步放大，可以看出，当椭球过D1点的时候，λ=2√3+2，此时有8个点满足题意，当椭球过A1点的时候，λ=4√2，此时有2个点满足题意，所以第二种情况是2√3+2<λ<4√2。请看下图：

不知道上面这些图对大家是否有所启发？如果还是不清晰，可以看看视频哈。详细的制作过程也在视频中。原题可关注公众号回复“2020佛山高二数学统测试题答案、课件下载”获取下载链接。

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制作过程

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