参考文献：
1、Frank W Warner《Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Group》
2、William M. Boothby《An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry》
1、光滑流形
微分流形是带有微分结构的拓扑流形.
（1）设 是一个Hausdorff空间，满足对于任意 存在 的邻域 同胚于 维欧式空间 上的一个开集 则称 是一个 维拓扑流形，简称 维流形.
考虑 上的单位球面 可以像定义 上的开集那样定义 上的开集，单位球面 不和 维欧式空间 上的任何开集同胚，即不存在二维函数 其中集合 是 上的开集，使得 是同胚映射.
取任意的单位半球面，如 则点 在空间 中的坐标记为 故可以构造同胚映射 使得
其中点 在 中的坐标记为 所以 是 维流形。
（2）在 维流形的定义中，记 的同胚映射为 则称 为 的一个坐标卡，称点 对应的 在 中的坐标为点 在坐标卡 上的坐标，于是在流形 上的每个点都可以用坐标表示了.
说明：对于 上的点，它们共用同一个坐标系，所以在描述这些点时可以仅给出这些点的坐标即可，但是在流形 上描述叙述一个点的坐标时，则需要给出是某个坐标卡上的坐标.
（3）设 是流形 上的两个坐标卡，且满足 对于 它在两个坐标卡上的坐标是 那么 复合映射 是同胚映射，而且复合映射 是一个 元 维向量函数，且 和 都是 阶连续可微函数，则称这两个坐标卡是 阶相关的，其中
例：在单位球面 中取坐标卡 满足
那么复合映射
是任意阶可微函数，所以 是任意阶相关的。
（4）设 是流形 上的一些坐标卡组成的集合，满足：
（i）对于任意 存在坐标卡 使得
（ii）对于任意坐标卡 成立 是 阶相关的；
（iii）对于任意 的坐标卡 成立若对于任意 成立 是 阶相关的，则
则称集合 是流形 上的一个 阶微分结构.
（5）设 是 维流形，集合 是流形 上的一个 阶微分结构，则称 是一个 维 阶微分流形，称集合 中的坐标卡为 的相容坐标卡.
例：在单位球面 中取坐标卡 其中
类似之前那样定义 那么对于任意 存在 使得 而且可以构造 的一个任意阶微分结构，包含上述这 个坐标卡. 故单位球面 按照此微分结构是一个 维任意阶微分流形. 于是将任意阶微分流形称为光滑流形.
2、光滑流形上的映射
在引入光滑流形上的光滑映射前，先来回顾 维欧式空间 上的光滑向量函数.
（1）设 则 维欧式空间 上的 维向量函数是指映射将向量函数 的 阶连续可微定义为存在全部 个 阶偏导数，且它们都是连续的，此时称向量函数 是光滑函数，是指 是 阶连续可微是对于任意 都成立 .
将 上的点用 阶矩阵表示或用坐标表示，这些点与坐标是之间的映射是双射，整个空间共用同一个坐标系. 因此在欧式空间上的向量函数可以直接用坐标表示，如
但在 维光滑流形中，不同的点可能用不同坐标系的坐标表示，所以光滑流形上的映射在不同的点可能有不同的表达式.
其实在定义向量函数的连续性时，是在局部上定义的，即完全可以指定一个向量函数在某点处的连续，而在定义连续可微性时，也就可以指定在某点处的连续可微性. 由于在流形中的坐标系是局部的，因此连续性和连续可微性也是局部的，所以可以类似建立光滑流形上映射的连续可微性.
（2）设 分别是 维光滑流形和 维光滑流形，映射 对于 可以找到 的微分结构中的一个坐标卡 使得 找到 的微分结构中的一个坐标卡 使得 故点 和 都有了坐标，复合映射 将点 的坐标映射到点 的坐标，于是它就是一个 维欧式空间上的 维向量函数.
此时映射 在点 处的连续可微性和光滑性，就定义为向量函数 在点 处的连续可微性和光滑性；映射 的连续可微性和光滑性，定义为对于任意 成立映射 在点 处连续可微或者光滑.
例：考虑这样两个流形和它们之间的映射，流形 是三维欧式空间上的单位球面，流形 是经过流形 的球心的二维欧式空间，映射 使得 是过点 作流形 的垂线的垂足.
因此流形 都是光滑流形，可以在流形 位于流形 的一侧建立局部坐标系，可以使这一侧同胚于二维欧式空间上的一个圆盘，然后在流形 上建立坐标系，使映射 在 的上述这一侧的像与上述的圆盘重合.
此时用于定义光滑流形上映射的光滑性的向量函数是恒等函数或者是旋转变换函数，它们是光滑的，从而映射 是光滑的.
暂时先写到这里吧……
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