写在前面：之前在《Fibre Bundles 专题——纤维丛上的联络》提到了Riemannian manifolds，上一篇文章《Riemannian Geometry and Riemannian manifolds 专题——基本定义》中也铺垫了关于黎曼几何和黎曼流形中的基本概念，今天就来详细地介绍《Riemannian Geometry and Riemannian manifolds 专题》中的Riemannian度规、Riemannian流形上的积分、Riemannian流形上的共形变换和Riemannian流形上的Hodge星算子. 希望读者朋友们喜欢.
参考文献：
1.Peter Petersen. 《Riemannian Geometry》
2.do Carmo. 《Riemannian Geometry》
3.John M. Lee. 《Riemannian Manifolds：An introduction to Curvature》
4.伍鸿熙等. 《黎曼几何初步》
1.Riemannian度规
Riemannian流形是指在流形 的每一个切空间 中给出内积 ，由于Riemannian流形是实流形，故切空间中的内积有如下的性质：（i）线性性质；（ii）对称性；（iii）正定性. 这意味着在整个Riemannian流形上给出了一个对称正定的阶协变张量场 ，那么在切空间 中任意一点 处得到张量 和对应的内积 ，称二元组 是一个Riemannian流形， 是Riemannian度规. 一般地，本文讨论的Riemannian流形都是光滑流形，因此Riemannian度规是光滑张量场.
定理1：每个光滑流形上都存在光滑Riemannian度规.
根据定理1可知，Riemannian流形这个定义是良定义的，于是Riemannian流形和Riemannian度规都是光滑的，即切空间上可以定义内积，故可以定义范数，于是称 的长度是 ，两个切向量 的夹角是 ，其中 . 若 ，则称 和 正交，此时 ，或者两向量中至少有一个为零. 然后就可以定义正交标架，即若 是 上的局部标架， 对于， 是 的正交基，则称 是局部正交标架. 再用Gram-Schmidt方法，可证明局部正交标架是存在的.
接下来取 的局部标架 ，对应的余标架为 ，那么Riemannian度规可以展开为 ，其中系数 ，由于张量 是对称的，故有 ，再利用张量积的对称化可以得到 ，因此有 . 所以在Riemannian流形上，省略张量积直接并写出Riemannian度规与张量积的对称化在形式上相同.
在欧氏空间中， ，如果有 ，那么 ，且内积为 ，即得到了向量内积. 此时存在一个自然的矩阵结构，即 是某个二次型的矩阵，且合同于矩阵的标准型 ，由于 是正定的，则 是非退化的. 如果 不是正定的，仅是非退化的，则称 是伪Riemannian流形.
令 的二次型的标准型是 ，称 是 的符号差. 若伪Riemannian流形 的符号差是 或 ，则称 是Lorentzian度规. 可以发现，Riemannian流形上 ，若取局部正交标架 ，且 ，那么有 ，但伪Riemannian流形上 不成立，因此需要定义一个 来使Riemannian流形上定义的Riemannian度规等几何度量可以推广到伪Riemannian流形上，于是接下来默认所有定义和结论适用于伪Riemannian流形.
事实上，Riemannian度规是在切空间和余切空间之间建立了典范同构. 若 ，则 是一个实数，即如果确定了 之后， 就是一个余切向量，于是就给出了一个 的映射 ，其中 . 由于 是非退化的，故 有逆映射，记为 ，若 的矩阵是 ，并存在逆矩阵，记作 ，于有 ，那么有 ， ，其中 ， .
记号 (flat)和 (sharp)分别表示降号音乐同构和升号音乐同构，此时切向量场的分量指标下降，而余切向量场的分量指标上升了. 于是可以证明 ， . 在局部Riemannian流形上，音乐同构可以扩张成切向量场和余切向量场的同构，因此切向量场和余切向量场能粘成整体的同构 . 即对张量进行升降指标时，其实是对张量场上的分量的系数指标的升降.
2.Riemannian流形上的积分
在Riemannian流形上积分，通常使用Riemannian体积形式，即令 是 维的，若对任意局部正交标架 有 ，则称-形式 是Riemannian体积形式 .
定理2： 若 是定向的，则存在唯一的Riemannian体积形式 ，此时在任意正定向的局部坐标 下，有 .
上式为Riemannian体积形式的显式，由于Riemannian体积形式本身是个定向形式，故在Riemannian流形上，Riemannian子流形的体积定义为 ，而紧支集光滑函数 的积分定义为 . 因此可以根据Riemannian体积形式可以把矢量分析中的梯度、散度和旋度等概念进行推广.
先来讨论梯度， 的梯度 是 ，从而有 ，然后就得到了梯度的等价定义 ，在局部坐标系下，有 .
接下来讨论散度，对于 ，按照 定义的 和按照 定义 都是同构，然后就可以定义散度 ，且满足 ，于是有散度的等价定义，即 .
定理3： .
由于在局部坐标系下可以计算 ，如果要计算Riemannian流形上的积分，还需要借助流形边界上的诱导度规. 令 是Riemannian流形 上的度规，设 是光滑映射，那么推前映射 是 上的阶光滑协变张量场，若 是浸入映射，那么 就是正定的，即是Riemannian度规. 由于Riemannian流形 上子流形 的包含映射 是光滑浸入映射，所以每个子流形 上都有度规 ，称为诱导度规.
设 ，且有 ，从而 是 到 的某个子空间的同构，因此 就是 在 上的限制，称 是 的Riemannian子流形. 数学分析中的Gauss定理指出，在欧式空间中计算曲面积分需要预先给定曲面上指向外部的法向单位向量，现在可以推广为在Riemannian流形上计算Riemannian体积.
令 是 维子流形，对任意 ，称 正交于 ，若 ， 则有 . 再把在 点正交于 的所有切向量的集合记作 ，它是 的子空间，称为 的法平面，定义 的法丛为 ，法丛的自然投影是 的限制 ，而单位向量场是指，若使得紧支集光滑向量场，对于 ，有 成立. 因此流形上指向外部的向量场给出了流形的定向，这个定向是边界的诱导定向.
引理1： 是定向Riemannian流形， 是浸入超曲面， 是 上的指向外部的法向单位光滑向量场，此时 既是体积形式又是定向形式，并且这个定向和 给出的边界的诱导定向一致.
引理2： 是带边Riemannian流形，那么边界 上存在唯一的指向外部的法向单位光滑向量场 .
根据引理1和引理2就得定向带边Riemannian流形边界上诱导度规 的体积形式是 . 于是有下面的Gauss-Ostrogradsky定理.
定理4(Gauss-Ostrogradsky定理)： 是定向带边Riemannian流形， 是紧支集光滑向量场， 是边界上指向外部的法向单位向量场，那么有 .
然后讨论旋度，由于仅在维的时候向量丛 和切丛 同构，故只有维Riemannian流形上可以推广旋度的概念. 称 是维Riemannian流形 上的旋度，且满足 ，即 .
下面的交换图
直接指出了由于 ，因此有 和 .
但旋度的积分是在维曲面上进行的，对于维Riemannian流形 ，取带边超曲面 和 上指向外部的单位法向光滑向量场 ，此时有诱导度规 和与诱导定向一致的体积形式 ，并且在 的边界 上再诱导一次，得到诱导度规 和诱导体积形式 . 于是又下面的Kelvin-Stokes定理.
定理5(Kelvin-Stokes定理)： 是维Riemannian流形， 是带边的紧定向光滑超曲面且 ， 是 上指向外部的单位法向光滑向量场， 是 上与 定向一致的体积形式， 是 上的诱导体积形式，于是有 ， 上存在唯一的向量场 使 ,
定理5中的 满足 和 ，是边界上与边界相切的沿正定向的单位向量场.
3.Riemannian流形上的共形变换
令 是道路，则称泛函 是道路的长度. 用泛函来定义道路的长度是对Riemannian流形中的一段连续可微分曲线弧长的参数化，则泛函 在微分同胚 下不变，即 .
若 是微分同胚，从而 是光滑嵌入映射，那么可以定义拉回度规 ，由于 ，故有 ，如果满足，则道路的长度不变，此时称微分同胚 是等距同构.
对于两个Riemannian流形 和 ，若微分同胚 使 ，则也称 是等距同构，假设两条曲线在某点相交，二者的切向量为 和 ，并令 ，那么夹角 ，在微分同胚 下夹角变为 ，于是当 是等距同构时，夹角不变。如满足 ，其中 是任意恒正函数，称这样的 是共形变换.
事实上，Riemannian流形上不存在非平凡的等距同构，即只有 是等距同构. 考虑向量场 的相流 ，并假设 是等距变换，那么有 ，然后两边微分就得到 ，称为Killing方程，称满足方程的 是Killing向量场.
展开Killing方程可得分量式 ,由于 是对称的，故一共有 个方程，但只有 个未知的 ，所以这个方程是超定的，说明Killing方程一般不存在非平凡解. 因为 ，故两个Killing场的Lie括号仍是Killing场，于是全体Killing场构成了 的子Lie代数，而 作为实线性空间是无穷维Lie代数，但Killing代数是有限维的，并且最多 维.
如果Killing场上的Riemannian度规已知，则可以用Killing方程寻找Killing场的情况；反过来已知Killing场，则可以Killing方程求Riemannian度规. 故向量场 给出了度规 的对称性，因此已知张量场 的对称性，就可以用Killing方程 求出张量场 .
对于共形变换 ，对 两边微分就得到了共形Killing方程 ，且共形Killing方程的分量式为 . 共形Killing代数一般是有限维的，但不一定有限维的，例如 上的共形Killing代数就是无穷维的，实际上Riemannian流形上的共形变换与复平面上的共形变换有紧密联系，关于复平面上的共形变换的具体内容可参考《复变函数论与复分析》中的共形映射和共形变换.
说明：过段时间，小编给各位读者继续开新坑《复变函数与复分析》.
4.Riemannian流形上的Hodge星算子
由于Riemannian流形上已经有了一个自然的内积结构 那么可以在 上建立内积，但Riemannian流形上的内积结构 是仅针对向量场的，如果要在定义内积，只需要把-形式的指标上升得到 即可. 此时-形式可以展开成-形式的外积 ，而每个-形式又能展开成分量 ，于是得到阶方阵 ，从而 也是阶方阵，然后就可以定义内积 ，但是 光滑函数，必须在流形上给定点才能取值，因此建立整体内积的方法是对它在Riemannian流形上作积分，即 ，就得到了整体内积 .
下面讨论Riemannian流形上的结构——Hodge星对偶，它在 -形式 和 (-) -形式 之间建立了丛同构. 根据 可以定义Hodge星算子 ，其中 ，事实上Hodge星算子是 的推广，即此时内积变为普通乘法.
定理6： ，其中 是Levi-Civita符号.
根据定理6可以作一些运算. 有 ；如果连续两次在 上作用Hodge星算子，则有 ，其中 ，于是梯度、散度和旋度中的公式就改写为 ， ， .
接下来将Hodge星算子和外微分结合，定义余微分为 ，且满足 ，那么有 . 类似于外微分，可以定义余闭形式 和余恰当形式 ，并且有 .
在维欧氏空间中，根据公式 ，对-形式取外微分相当于取旋度，余微分相当于取散度；而对-形式则反过来，外微分是取散度，余微分是取旋度. 由于定义余微分才和外微分是对偶的，故余微分的定义式中才会有 这一置换记号. 然后有如下定理.
定理7： ， ，那么 .
接下来将Hodge星算子和余微分结合，定义Laplace-Beltrami算子 ，满足 . 若 , 则称 是调和的，并把所有调和 -形式的空间记作 。其中 是调和形式当且仅当 且 . 若 ，那么 ， 是经典的Laplacian，相差一个负号. 然后有如下定理.
定理8(Hodge定理)： 定向紧Riemannian流形 上，有 .
然后讨论Riemannian流形上梯度散度旋度微分形式的计算，记 和 或 ， . 若要对微分形式进行梯度散度旋度的计算，则只需要去掉音乐同构，即 ， ， ，此时梯度是-形式到-形式的，散度是 -形式到 (+) -形式的，旋度是-形式到(-+)-形式的，在维Riemannian流形中，通常默认梯度是-形式到-形式的，而旋度是-形式到-形式的.
5.Riemannian流形在物理学中的应用——Maxwell方程
电动力学和狭义相对论中的底流形是 维时空 ，即维时间和维空间，这个底流形是一个平坦的Lorentzian流形，这里符号差为(,)，通常取度规 ，标准余向量标架为 ，并用上标 来表示坐标的分量，用下标 来表示场的分量，其中下标仅指分量，不指场本身.
在电动力学中，最基本的物理量是标势 和矢势 ，实际上标势和矢势都是是底流形的分量，令 ， ，称 是 -势或规范势-形式. 对矢势外微分一次，则 是电磁场张量或规范场-形式，其中 .
若令 ， ， ， ，那么有 ，且 可以写成矩阵的形式，即 .
由于底流形是维的，而规范场 是-形式，那么作用在 上的Hodge星算子是从 到它本身的同构，对 取Hodge星算子，得到 ，于是在规范场 中，电场和磁场的位置对调了，但出现一个负号.
又由于 是恰当形式，取一次外微分有 ，从而得到Maxwell方程组两个方程为 和 ，而产生电磁场的原因是电荷分布 与电流 ，它们是-电流 的分量，荷流的存在会引起电磁场的变化，运动方程为 ，即 ，从而得到Maxwell方程中的另外两个方程为 和 其中， 是余恰当形式，故有 ，其中 是-梯度，即连续性方程 .
若对规范势-形式作规范变换 ，由于 ，故得到规范场-形式是不变的，而规范变换是 与 ，只是的分量形式，此时建立了一个等价类，等价类中的所有电磁场都是同一个电磁场，但数学表达式不同，为了确定电磁场的数学形式，需要选择规范，故有Lorenz协变规范 ，即 ，于是得到 ，即d'Alembert方程.
考虑无源场，即 ，那么有 ，又因为 ，故有 ，即 是调和的. 根据Hodge定理， 等价类是规范变换下的等价类. 因此电磁场具有奇特的拓扑性质，如Aharanov-Bohm效应，具体的内容读者朋友可以看Griffith的《电动力学导论》.
下一篇继续介绍《Riemannian Geometry and Riemannian Manifolds 专题（下）》，内容包括Riemannian流形上的曲率、Riemannian流形上的测地线等，敬请期待……
喜欢本文的读者请多多支持，点下方的点赞和在看.
更多精彩的内容请关注公众号：研数学 习物理
具体操作为：1、点下方的名片；2点关注.
由于微信平台算法改版，公号内容将不再以时间排序展示，如果您想第一时间看到我的推送，强烈建议星标我的公众号。星标具体步骤为：在公众号主页点击右上角的小点点，在弹出页面点击“设为星标”，就可以啦。感谢您的支持！