本文的内容包括微分拓扑中的CW复形、Morse不等式、Jacobi场、Morse指标定理等，由于篇幅较长，本文先介绍CW复形和Morse不等式，下一篇再介绍Jacobi场合Morse指标定理. 希望读者喜欢
1.CW复形
令 是拓扑空间， 是集合， 是满射，称 是开集当且仅当 是 中开集，这样就定义了 上拓扑，是 诱导的商拓扑. 若 已经是拓扑空间，那么称 是商映射，若它是满射，并且它诱导的商拓扑和 上拓扑一致. 由于任意开集 都使 是开集，因此它是连续的开映射. 若 上有等价关系 ，令 的等价类是 ，于是得到一个新集合 . 令 是自然投影，即 把每个点投射到它的等价类，故 是满射，此时在 上定义了诱导商拓扑，把 记作 ，称它是拓扑商空间.
令 和 是拓扑空间， 是闭子空间， 是连续映射，再把 和 并起来得到，令 是 上按 定义的等价关系，其中 . 这样就得到了一个商空间为 ，称它是沿 把 黏到 上得到的黏着空间，称 是贴映射.
定理1： 令 是连续映射， 是黏着空间， 是相应的商映射，于是 是 的闭子空间， 是 的开子空间， 和 不相交并且它们的并是 .
根据定理1，则称一个拓扑空间是开 -原胞，若它和 维单位开球 同胚，称拓扑空间是闭 -原胞，若它和 维单位闭球 同胚.
定理2： 若 是非空凸紧集，那么它本身是闭 -原胞，它的内部 是开 -原胞，它的边界 与 同胚.
故利用原胞和黏着空间就可以沿着闭原胞的边界把原胞“黏”在拓扑空间上。令 是拓扑空间， 是一组闭 -原胞，对于每个 给出连续映射 ，并令 在 上的限制是 ，此时 是贴映射， 是相应的黏着空间是通过把原胞黏在 得到的. 根据定理1， 是 的闭子空间，而 是 和一系列不相交开原胞的不相交并.
于是构造一个离散拓扑空间，给 黏上一些闭-原胞得到 ，再给黏上一些闭-原胞得到 …… 这样就把拓扑空间分解成不相交原胞的集族，若 是 的分划，即 有 且 ，则称一些开原胞的集族 是拓扑空间 的胞腔剖分，同时，当 时，存在某个闭-原胞 和连续映射 使它在 内部的限制 是同胚，且 把 映到所有维数小于的原胞的并，其中 被称作原胞 的特征映射. 若一个胞腔由有限多个原胞构成，则称胞腔剖分是有限的，若任意原胞仅与有限多个原胞相交，则称胞腔剖分是局部有限的，一个Hausdorff空间 连同它的一个胞腔剖分，被称为一个胞腔复形，记作.
如果胞腔复形 满足下面两个条件：
（i）每个原胞 的闭包 可以被有限个原胞的并集所包含；
（ii）任意子集 是闭集当且仅当任意原胞 使 是闭的；
则称胞腔复形 是一个CW复形，其中C指closure finite，即闭包有限，W指weak topology，即弱拓扑，由于CW复形最初由Whitehead提出的，故称为Whitehead拓扑，这样定义的弱拓扑是使得所有特征映射都连续的最弱拓扑，但特征映射不一定是同胚，若特征映射是 的同胚，则称原胞 是正则的. CW复形与流形上的单位分解类似，都是把拓扑空间化整为零. 下面继续介绍几个定理.
定理3： 若 是胞腔复形， 是局部有限的，那么 是CW复形.
根据定理3，称CW复形的胞腔剖分是CW剖分,，若 的CW剖分中原胞至多是维的，且至少存在一个维原胞，则称 是维的，否则 是无穷维的.
定理4： 是维CW复形，那么所有开-原胞 都是 中开子集.
定理4对于胞腔剖分却不一定成立，则需要在胞腔剖分上附加条件来定义CW剖分.
若 是CW复形， 是子空间，并且 有 ，于是所有的 组成 的CW剖分，称 是CW子复形. 因此 是一个CW复形. 若一个子复形是由所有维数小于等于的原胞并成的，则这些原胞并成了-骨架，记作 ，故它是维复形，事实上-骨架是从离散拓扑空间开始构造的拓扑空间得到的 ，于是就得到了下面这个定理.
定理5： 令 是拓扑空间列，其中 是非空离散拓扑空间， 是在 上黏闭-原胞得到的黏着空间，则有 是CW复形，且 .
故CW复形有如下的性质：
定理6： 对CW复形 ，下述的性质等价：（i） 是路连通的；（ii） 是连通的；（iii） 是连通的.
定理7： 是CW复形， 是紧集当且仅当它是 中的闭集，并且存在有限多个原胞组成的子复形 使 .
根据定理7可知，CW复形是紧的当且仅当它的CW剖分是有限的.
定理8(Whitehead 定理)： 若两个CW复形弱同伦等价，那么它们同伦等价.
定理9： 对任意拓扑空间 ，总是存在CW复形 和弱同伦等价映射 .
因此每个拓扑空间有一个与它弱同伦等价的CW复形，而两个弱同伦等价的拓扑空间对应的两个CW复形必定弱同伦等价，进而两个CW复形同伦等价.
2.Morse不等式
令 是光滑流形， 是 上光滑函数，若 使 的微分 ，则称 是 的临界点. 取定局部坐标系 后，这一条件等价于所有一阶导 ，又因为二阶导矩阵，又称Hessian矩阵在临界点 非退化，则称 是 的非退化临界点. 下面来看一个引理.
引理1(Morse 引理) ：非退化临界点是孤立点，若 是光滑函数 的非退化临界点，那么存在 附近的局部坐标 使得 ，其中 是Morse指标.
接下来看下面这个例子. 设维空间中有一个维圆环 竖着放在一平面 的上方，如下图所示.
令 是环面上的点与固定平面 的距离，并记 是水平集，环面上标出了四个点 ，这四个点都是 的非退化临界点，而水平集的拓扑结构只在这些点处发生变化，故 是空集.
当 时， 是类似于椭球面的一个维曲面，且与闭-原胞同胚，此时函数 ；
当 时，则 类似于一个两端闭合的 型连通管，且同胚于圆柱，而 在上的闭-原胞上黏一个闭-原胞也能同胚于圆柱，此时函数 ；
当 时， 则 是有一个圆截口的环面，而在圆柱上黏一个闭-原胞也与此圆截口环面同胚，此时函数 ；
当 时， 就是环面 本身，在圆截口环面上黏一个闭-原胞即与环面同胚，此时函数 .
此时Morse指标刚好是越过临界点时需要黏上原胞的维数，则有 ，其中 指-原胞， 是贴映射. 于是就得到了下面的Morse定理.
定理10(Morse 基本定理) ：令 ， ，且 是区间 中 唯一的非退化临界点，其中是Morse指标，且对于任意 都使水平集 是紧集，则 与 同伦等价，其中 是闭-原胞， 是贴映射；若 内没有临界点，则 与 同胚。
根据Morse基本定理可以推出Reeb定理.
定理11(Reeb 定理)：设 是维紧光滑流形， 有且仅有两个非退化临界点，那么 与球面 同胚.
因此根据Morse基本定理可以得到紧流形必定同伦等价于某个CW复形，每个指标为的非退化临界点对应一个闭-原胞，令 是Morse指标为的非退化临界点数目，又由于 是把 和 通过 黏在一起的，即 ，那么有Mayer-Vietoris列为 ，由于 是-维的，故 ，而闭-原胞是-连通的，即从 到 阶的同伦群都为零，于是由同调代数中的Hurewicz定理可知 。再由定理2可知， 与球面 同胚，而同伦群中有 ，所以有短同态列 ，若上述的短同态列是短正合列，则根据群同态正合列基本定理可知， ，若上述的短同态列不是短正合列，则只能有 ，若 ，则有 ，若 ，则有 ，于是有 ，进而有 ，故得到了Morse不等式，即 .
定理12(Morse 不等式) ：设 是紧光滑流形， ， 是 的Morse指标为 的非退化临界点数目， 是 阶Betti数，则有 .
Morse不等式的几何意义是某些原胞黏在了更高维原胞的边缘上，从而不影响同调群的秩. Morse理论的一个应用是用来证明 时的高维Poincaré猜想.
定理13(Poincaré 猜想)：设 是维光滑单连通紧流形，则 的任意整系数同调群与球面 的同构，那么 与 同胚.
3.Poincaré 猜想
关于Poincaré猜想最终是被Perelman的Ricci flow解决了.
对Poincaré猜想的证明，除了早期探索外，1961年Smale证明了五维及五维以上的Poincaré猜想，1982年Freedman在Donaldson研究4-manifolds工作的基础上证明四维情形下的Poincaré猜想，到此为止Poincaré猜想未完全解决.
后来Thruston的主要贡献是引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，Richard Hamilton的工作给出了Ricci flow的重要结果，即用Ricci flow进行拓扑变换，构造几何结构，把不规则的流形变成规则的流形，设法去解决三维情形的Poincaré猜想，1993年Hamilton在参考了Yau（丘成桐）在非线性微分方程研究几何结构的工作后发现，在使用Ricci流进行空间变换时总会出现无法控制走向的奇点.
2003年，Perelman利用Ricci flow最终证明了三维情形下的Poincaré猜想，具体表述为：任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面.
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