今天是四月最后一天，在五一小长假开启之前，小编不自量力玩一票大的，写点复几何及其物理应用的内容，包括复流形、Chern类、Atiyah-Singer指标定理、层和Čech上同调以及Calabi-Yau流形. 希望读者能喜欢，祝各位读者五一小长假吃好玩好学好……
1. 复流形
映射 是全纯的，如果对于每个 都是 的全纯函数 ，则存在着拓扑空间 上有一族开覆盖 ，如果对于开覆盖中的任何子集 ，存在同态映射 使得对开覆盖中的任何两个相交子集 之间的转移函数 是全纯的，则称拓扑空间为复流形 .
常见的复流形有 维复向量空间的子空间中 Grassmannia流形 ,其中 , Flag流形是一类在研究Penrose-Ward correspondence的流形，设 ，则 称为 当中的 Flag ，于是Flag流形 定义为 或 ，Stein流形是能够嵌入复欧式空间的子流形，在Čech上同调中有重要应用.
接下来要在复流形上定义一些运算，给定一个实向量空间，定义映射 ，且有 称为向量场的复结构，此时实向量场是偶数维的，称下面这种复结构被为正则复结构，即 , .
给定一个偶数维的实可微流形 ，流形上的 形光滑张量场 称为近复结构，对于流形每一个点上的切空间 都存在着复结构 ，具有张量场 的流形称为近复流形.
考虑切空间的的复化 ，流形 上每个点的复化切空间可以分解为两个子空间分别是复结构 关于特征值 的特征子空间，分别记作 ，切丛和余切丛的截面分别是 型和 型的向量场，称为全纯和反全纯的切丛，与复切空间类似可以通过对实流形上微分形式的复化得到复流形 上的复微分形式为 ，根据 可知， 分别属于 的个数是 ，于是可以将微分形式写成 ， 故整个余切丛可以表示为直和 ，由于正交关系 ，此时 当中的元素和 的元素对偶.
在切丛和余切丛的截面上可以定义张量积和外微分这两种运算. 给定一个微分形式 ，外微分算子作用上该微分形式上成为 ，其中 , ,这两个算符称为Dolbeault算子，类似于de Rham上同调中的微分算子 的性质有· ，从而可以构造Dolbeault上同调群.
接着讨论流形上一种的特殊的结构，称为Hermitian结构，给定一个复向量空间 ，定义一种双线性映射 ，满足下列条件：
（i）对于任何 , 是 -线性的；
（ii） ；
（iii） ,当且仅当 时取等.
如果通过近复结构将光滑实流形看成复流形，则可以将原有流形上的Riemannian度量推广成Hermitian度量，即 ， 有 ，满足 称为Hermitian度量，给定 上的基 ，则可得Hermitian度量的具体形式为 .
具有Hermitian度量的流形称为Hermitian流形，记作 ，对于一个给定的Hermitian流形 ，定义一个 型张量场 ，于是该张量场是反对称的，即 ，此时称为Kähler形式.
Kähler流形作为一类重要的流形，有下面三种等价定义：
；
；
.
其中 是 的Levi-Civita联络，根据Kähler流形上度量的特殊性质，可以诱导出挠率和曲率的性质，其中挠率和曲率的定义与Riemannian流形一致， Riemannian张量和Ricci张量可以被简化为 ， ，由Ricci张量可以诱导出对应的Ricci形式，即 , 若Ricci形式为零，称为Ricci平坦的，此时Ricci平坦的Kähler流形是Calabi-Yau流形，而在弦理论中的概念可以定义为从黎曼面上的一维复流形到Calabi-Yau流形的一种特殊映射.
2.Chern 类
在流形 上给定一个复向量丛 ， 是全纯的当且仅当存在着满足 的算子，且当作用在 形式的张量丛的光滑截面 与其他任意形式的张量丛的光滑截面 上，则有 ，对于全纯向量丛 ，可以按照Riemannian 流形上定义联络的方法来定义联络 ，即有，
于是联络 给出了可以联系流形上不同点的向量丛的方法，故具有Hermite结构的全纯向量丛上存在着Chern联络，定义为，因此在 Hermite流形 上存在着两种自然的联络，分别是Levi-civita 联络和Chern联络. 由于示性类是一种上同调类的子集，且能够用于刻画流形和丛的拓扑性质，于是示性类被定义为曲率张量 的多项式，接下来的讨论可以限定在Chern联络中，故得到了Chern类，即给定复向量丛 ，复向量丛上的联络 确定曲率 和总Chern类 ，有，其中按照编号称为第 陈类，如果大于维数 ，则 总是为零，然后将 对角化，根据公式可以求出所有Chern类，下面介绍Chern类的一些其他性质：
（i）；
（ii）.
另外还有一类特殊的示性类称为Chern特征类 ，Chern特征类与瞬子位形有关，瞬子对应的是Yang-Mills方程的特殊解，主要讨论 维可定向紧Riemann面上规范势，规范场 ，主要考虑规范群 ，包括 . 如果无源规范势满足下面的条件：
（i） 在无穷远处 相当快 ；
（ii） 作用量有限 ；
（iii）无奇点或规范变换后无奇点 ,
则称这样的无源规范势解为瞬子解或拟粒子解. 自对偶和反自对偶的瞬子解是其中重要一类，即满足 的曲率形式. 然后定义内积 ,根据Chern-Weil 理论，有 ，其中 称为规范场的Pontryagin示性数，是流形 上的不变量，如果 时，有 .
对于规范场，当 Yang-Mills作用量 取极值时， 有 ，当 Yang-Mills作用量 取得最小值时，自对偶瞬子位形满足最小作用量原理，且满足运动方程 .
瞬子的种类有一些比较特殊，如 中拓扑不变量 ，规范群为 的BPST瞬子是一类最简单的瞬子，杨振宁先生和谷超豪先生等利用共形欧式空间当中规范场的特殊性质导出了BPST 瞬子的具体形式并做出了几何解释.如果可以将 当中的问题通过球极投影到紧 空间中进行讨论，转化为讨论 上的所有瞬子，除了BPST之外， 上ASD瞬子可以通过ADHM构造，扭量理论等转化为纯代数几何的问题.
3. Ayiyah-Singer指标定理
Chern特征类在Atiyah-Singer指标定理中有着重要的应用，需要第二Chern特征类的积分给出瞬子数，于是定义总陈特征类为 ,第 Chern特征类就是对上式的Taylor展开，有 ,如果对Chern特征类进行计算并且和Chern类对比，可以得到Chern特征类和Chern类的关系为，.
然后开始讨论Atiyah-Singer指标定理，列出指标定理的一般形式如下，令 为紧光滑流形， 为作用在 向量丛截面上的椭圆微分算子，其主象征决定了一个象征丛 ，则有.
Atiyah-Singer指标定理说明了纤维丛截面上微分算子的性质与纤维丛本身的性质是紧密联系的，即对于紧的可定向的流形 上的线性椭圆微分算子，其解析指标等于拓扑指标，其中椭圆微分算子是象征为自同构的微分算子，解释Atiyah-Singer指标定理的表达式需要理论的相关知识.
对于向量丛 算子 局域上分解为 ，其中 , 为线性映射，故 的象征定义为 ，如果象征为 的同构，则称该算子为椭圆微分算子. 对于紧致流形 上的椭圆微分算子，根据泛函分析可以证明 是有限维的，称为Fredholm算子，于是有 , 因此Atiyah-singer指标定理将指标展开为某些椭圆复形的曲率张量的多项式积分，其中 表示沿向量丛纤维积分， 表示通过Thom同构与Chern特征类定义指数时的一类Todd类修正因子，即 ，且由 给出.
接下来介绍几种常见的椭圆复形，以及这几种椭圆复形中指标定理的特殊形式.
（1）de Rham 复形：
de Rham复形定义为如下的序列，
（2）Yang-Mills 复形：
将外代数分解 ，其中后者分别是特征值为 的特征子空间，定义正交投影为 , Yang-Mills复形定义为如下序列，
（3）Dolbeault 复形：
类比de Rham复形，Dolbeault复形定义为如下序列，
除此之外还有其他的一些更加复杂的复形，如Signauture复形，Spin复形等.
然后我们用各种复形来解释Atiyah-Singer指标定理.
（1）首先以de Rham复形中为例解释一下指标定理 ，由于 为上同调群，定义欧拉示性数为 ， 其中 叫做Betti数，在组合拓扑学中Betti数表示为各个维数胞腔的交替和，是流形上的整体拓扑不变量，于是在de Rham复形当中，根据Hodge-deRham定理，指数与欧拉示性数相等，即 ，再利用分裂定理， Atiyah-Singer指标定理可以转化为Gauss-Bonnet-Chern定理，即 ，因此欧拉示性数可以写成欧拉示性类的积分.
（2）在Signature复形中，指标定理表示为Hizebruch号差定理，号差定理用于代数几何中证明代数曲线的算术亏格等于几何亏格，根据Hizebruch多项式为 ，于是有.
（3）在Dolbeault复形当中，指标定理表示为
（4）在自旋复形当中，指标定理表示为，其中.
最后讨论一下关于Atiyah-Singer指标定理在物理学里面的应用，除了计算瞬子数以外，还广泛应用于量子反常分析当中，最简单的单态反常的例子是分析Fermi场与规范场相互作用时，位形空间不再是Yang-mills场的Hilbert空间与Fermi场所在空间的张量积，而是以联络空间为底流形的向量丛截面，在路径积分量子化时，进行局域手征变换时积分测度改变，从而使得在要求流矢量守恒的情形时轴矢量不守恒，称为手征对称破缺或手征反常，类似地也有引力场中的手征反常，可以根据Atiyah-Singer指标定理直接得到轴矢的反常Ward等式来替代了大量的微扰计算.
（注：这里是上一篇《微分拓扑中的Morse理论（下）》中最后提到的Atiyah-Singer指标定理的补充）
4. 层和Čech上同调
关于层和上同调，小编的下一篇文章《复几何专题——复流形的局部性质、层与上同调》会进行详细介绍.
首先引入拓扑空间上的预层 ，对于任意一个开集 指定一个代数结构 ，包括群域环等，以及一个限制映射 ，满足 和 .
接下来如果预层满足下面的粘接条件限制就能称为层（sheaf），即如果 使得 ,则存在层 使得 . 层的典型例子就是全纯函数层 ,连续光滑函数层 以及 形式层 .
然后定义层同态，设空间 上的两个层 ，存在代数同态 ，对于任意两个子集 ，限制映射和 可交换，即 ，则称 为层同态.
现在继续来讨论Dolbeault算子和Dolbeault复形，由于Dolbeault算子是幂零算子，则有Dolbeault复形为，于是有 上同调群为，因此可以用Hodge数，Betti数和Euler示性数l来描述上同调群复维数.
最后介绍Čech上同调，Čech上同调是一种层上同调的具体实现形式，设平凡 主丛的开覆盖 和 是由 阶的矩阵表示，再设 是流形 上的任意 值函数层，则有 上的层截影集合 构成 Čech -上链 ，定义Čech -闭上链和Čech -闭上链如下，即
可以证明 是平凡的且与集合选取无关，故可以直接写成 ,对于 ，则定义等价关系 ，如果存在-上链的元素 ，使得在 上有 ，于是可以得到商群 ，称为第一 Čech上同调群.
如果 是Abel群，则可以定义Abelian Čech复形，通过算子为
， ，其中 表示忽略这个指标，于是可以证明该算子为幂零算子，自然的有Abelian Čech上同调群 .
根据Poincaré引理可知， de Rham上同调同构于局部常值函数层的Čech上同调，而Dolbeault上同调同构于全纯微分形式层的Čech上同调.
关于Poincaré引理的具体内容，小编会在以后的《同调代数与同调论专题》中补充.
5. Calabi-Yau流形
Calabi-Yau流形是第一Chern类为零的复Kähler流形.
丘成桐先生证明了对于任意第一Chern类为零的Kähler流形， 流形上存在着唯一的Ricci平坦度量. 虽然有许多方法能计算第一Chern类，但是很难确定Ricci平坦度量的存在，有了Calabi-Yau定理，就可以很方便的验算icci平坦度量的存在性.
接下来介绍一些特殊的Calabi-Yau流形，如流形和Rigid Calabi流形等. 流形的名称于三位数学家的名字Kummer，Kähler和Kodaira，是一种复数维为和乐群为 的复Kähler流形，事实上Calabi-Yau流形还有一种等价定义，即和乐群为 的紧复流形，于是流形的欧拉示性数 ，Pontryagin示性类 ，因此也是一种特殊的Calabi-Yau流形，在弦的紧化中有重要的作用，目前为止数学家们发现的Ricci平坦流形的和乐群都是特殊群.
另外，弦论中还存在着其他的结构，如Calabi-Yau-3-folds，这种流形作为一种特殊的Calabi-Yau流形，满足弦理论中超对称和共形不变性的要求. 但如果超出流形本身的结构如锥流形（conifolds），一般定义单锥流形（singular conifolds）为 ，在 处导数和定义式同时为零，导致出现奇点，然后在空间中放置超球面探测其结构，即 ，，利用虚实部分解将该方程分解为 ，于是上述方程表示顶点为原点，底空间为 的锥面，故奇点附近的结构类似一个锥体.
接下来对定义式进行微小的调整，可以得到另外两种特殊的结构，分别称为可变形锥流形（deformed conifolds） 和可分解锥流形（resolved conifolds） , , 其中 ,
在弦理论中deformed conifold →singular conifold →resolved conifold的转移是一种拓扑形变，主要应用于大 对偶中.
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