中微笔记：完全替代偏好的效用函数与无差异曲线

问题的提出

4.3节中指出，有完全替代偏好关系的效用函数一般形式为，其对应无差异曲线的斜率由给出，如何理解呢？

答：假定我们要画一条效用水平为k的无差异曲线，则，

也就是说，给定效用函数，满足上式条件的消费束，其效用水平为k。这就是效用水平k对应的那条无差异曲线。并且无论k取值是多少，对应的无差异曲线斜率都为，这是完全替代偏好的典型特征。

一个更为具体的问题是：如果我们知道两种商品的特性，知道他们之间的相互替代比例，如何画出对应的无差异曲线，并写出对应的效用函数（即确定a、b的值）？

一个例子

我们以半斤装茅台和一斤装茅台这两种替代品（假定人们只关注瓶子里的茅台酒，瓶子只是个中性物品）为例。

如下图所示，半斤装茅台作为商品2在纵轴上，一斤装茅台作为商品1在横轴上。我们知道，要多消费一瓶一斤装的茅台，并且保持偏好无差异，就要减少2瓶半斤装茅台。所以，在这个例子中无差异曲线斜率为-2，即边际替代率为-2。

根据上述无差异曲线的公式，  

a和b的取值并不固定，因为它们只会影响效用函数的具体取值。例如：

如果取，则，对应的效用函数为

如果取，则，对应的效用函数为

显然，与是单调变换的关系，它们表示同一个偏好关系。

更直观的理解

我们说，完全替代品，其偏好排序只取决于两种替代品加起来的总量。但是，两种替代品要能加总，必须单位要一致。因此，我们首先要把和单位转换为一致，具体取哪个单位其实并不重要。

在本例中，商品1——一斤装茅台，商品2——半斤装茅台，要能加起来也必须统一单位。一斤装茅台酒如果有瓶，其实相当于的半斤装茅台，所以，从这个角度来说是将单位统一到半斤装；而是将单位统一到一斤装。

再次强调，由于效用的值本身没有意义，所以上述两个效用函数在表示同一偏好关系的意义上没有差异。

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注：文中4.3节是指哈尔·R.范里安《微观经济学：现代观点（第九版）》的4.3节，在中文版第39页。

End

作者：杨奇明
编辑：郑泽青

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