除法人人都会,但这个核心概念90%的人都忽视了,做启蒙的时候讲透,将来一定事半功倍!
前些天我带妞妞去朋友家玩,他们家大宝在上小学,我们去的时候正好在做一道题:
3 ÷ 1/3 = ?
妞妞在旁边听到了,就说,等于9。
我朋友听了很惊讶,说,妞妞都会做分数的除法了。
我一愣,才意识到这是分数的除法,而分数除法的运算法则很复杂——“除以一个分数,就等于乘以它的倒数”。
听着好晕菜,孩子理解起来就更困难了。
但妞妞其实从来没有学过这个运算法则,她也不知道什么叫分数除法,她能知道这道题的答案,只因为一个原因:
理解了什么是分数,理解了什么是除法,再进行了逻辑推理。
之前答应大家写除法启蒙,今天就把这个坑填了吧。但我不会只停留在给大家讲“把4块乐高平均分给2个人”,这种浅显的方法,相信经常看我们数学启蒙文章的读者,早就能自己悟出来了。
说说除法里你会忽略的概念,和更触及本质的学习方法吧,说不定,会刷新你对除法的认知。
最重要的学习,是“概念性”的学习
除法的学习方法,我很推荐大家看《蒲公英数学图画书》里的这一本《猜猜看,玩除法》。
怎么玩呢?
假设你有12个核桃,想和两个朋友一起分享,希望3个人拿到一样多的核桃,每个人能拿到多少核桃呢?
可以先让孩子猜猜看。
一开始,他可能会猜每个人能分到5个核桃。
嗯,别急着纠正,让孩子分一分。
他会发现一人5个,第三个人只剩下2个核桃了。
别告诉他怎么办,让他再猜一次。
这次他可能会说,那每人分6个吧——忍住! 体现父母修为的时候到了!
别阻止,让孩子接着试。
他慢慢会发现,每人分5个,数量不够,那就要试试更小的数——比如每人3个。
还多出3个,正好每人又能再分一个。
把一些东西平均分给几个人,这是最最常见的除法启蒙方式。但是我想强调的是:
别小看、别省略这个“猜一猜”的过程,这是非常重要的建立起数感的过程。
数感数感,就是对数的感觉,没有操作数、感受数的多多少少的过程,哪来的感觉呢?
而且这个过程,孩子还在学习根据猜测的结果,进行验证和调整,这是非常重要的数学思维,也是逻辑思维的培养。
像有一次我们问了妞妞一个题目,100个月是几年,她马上猜是8年(当然有余数),问她为什么,她说:
肯定不到10年,因为10年是120个月。也应该不到9年,因为120个月减去12个月,还有108个月,多出8个月了。
这就是长期积累的对数的感觉。过程比结果重要,就是这个意思。
好,这是第一步,可以整除。
第二步,给孩子22块钱,分给4个人。
有了数感的孩子,可能很快会发现,每人分5块,剩下2块。
这个2块,就是“余数”了。
再接着往下,2块怎么分呢?
2块可以换成4个5毛的硬币,这样每个人就能分到5块5毛钱,也就是5.5元了。
这就涉及到换算,还有带小数的除法了。
这本书讲的是除法,但是除了封面,内容里面没有出现过“除法”两个字。
但其实,在玩的这个过程中,孩子理解了除法,也理解了余数,顺便把小数也理解了。
这和我陪妞妞玩的方法一样。
从妞妞会数数,对加减有概念之后,她就已经开始接触猜一猜、分一分、剩几个了,到现在,这个过程已经有两年多了吧,所以她才能完全内化对除法的理解。但我其实一直没告诉过她,这叫除法,一直到最近才偶尔提起。
最重要的学习,是“概念性”的学习。
千万别在孩子理解除法之前,去讲什么除数、被除数、除和除以的区别,看起来教的呕心沥血的,结果只是把孩子给绕晕了。
对概念的理解要走在名字和公式前面。
要判断教孩子的方法对不对,或者孩子学的好不好,其实很简单,就看孩子是真能理解一个概念,还是仅仅记住了一个名字,或者背下来一个公式。
那么,妞妞为什么会算分数除法呢?
这就涉及到大家可能会忽略的地方了——除法的概念,其实包含了两层意思。
第一层是“平均分”。
4÷2,是把4个苹果平均分给两个人。
但如果是“1 ÷ 1/3”呢?
把一个苹果平均分给1/3个人,说不通啊。
这就来到了除法的第二层意思: 包含除。
4÷2,也可以理解为,4里面包含了几个2。
这样,“1 ÷ 1/3”就说的通了。
1里面有几个1/3呢?
图一画就很清楚了,3个,对吧?
好,回到文章开头的题目,3 ÷ 1/3。
3里面有几个1/3?
1里面有3个1/3,3个1,里面当然就有“3×3”个了。
当孩子透彻理解了除法的两层含义,并不需要知道分数除法的运算法则,就能用逻辑推理出答案。
而且,将来她可以很轻松的理解:
3 ÷ 1/3 = 3 × 3
而不需要死记硬背“除以一个分数,就等于乘以它的倒数”了。
我觉得会硬着头皮去让孩子记一堆名词、法则的人,都是因为没有真正理解计算是什么。
计算到底是什么呢?
计算其实是在“概念”基础上进行的逻辑推理。
你看,理解了除法的意思,能推理出分数除法,是不是同样的,就能推理出带小数的除法,不就是“1里面有几个0.1”或者“0.5块饼平均分给两个人怎么分”吗。
而如果要记法则,小数除法的法则是这样的:
不光计算,整个数学都是核心概念+逻辑推理。
这就是为什么,在很多文章里,比如《没上小学前我真不知道这么难!2个问题,决定孩子一半数学命运》,我都一再强调了花时间吃透核心概念的重要性,这是一切的地基,别的都不急。
同样的,孩子成绩不好,不是要给他再刷题,必须倒回去检查,到底是哪个概念没吃透,重新花时间吃透它。
从上面可以看到,“包含除”对于理解分数除法和小数除法非常重要。
不仅如此,将来很多应用题也需要孩子理解这个概念。
比如,今天是星期一,100天以后星期几?
这是100里面有几个7。
小明到学校的路程是200米,他每秒钟走5米,走几秒能到学校?
这是200里面有几个5。
数学教育专家张奠宙在《小学数学教材中的大道理》这本书里也说,忽视对“包含除”的理解,后患无穷。
但现在的教材和很多练习册、APP、课程等等,对它的重视程度都不够。
所以咱们在给孩子做除法启蒙的时候,别忽略了“包含除”。
除了问,“4个苹果平均分给2个人,一人分几个”,还可以多问问:
4个苹果,每2个苹果,放在一个盘子里,需要几个盘子?
16根香蕉,给每个小朋友4根香蕉,可以分给几个人?
然后多加一句: 所以16里面有几个4呢?
对于年龄比较小的孩子,没有必要去解释平均分和包含除的区别,越解释越糊涂,孩子能体悟到就行。高年级的孩子,可以解释解释这两个概念的区别。
最后,再划一下重点:
数学的学习,最重要的是搞清楚“核心概念”的含义,并彻底内化它,这是举一反三的基础,也是学习“后劲”的来源。
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