用输运beat拓扑量子态

七绝@狄拉克物质

量子幽灵未有明

沁回波动已成荫

如今凝聚狄拉克

且把拓扑复汉庭

1. 引子

对凝聚态物理和量子材料的players而言，量子力学“兵器谱”排第一的当属薛定谔波动方程。排第二的可能有得一争，如果我们说是狄拉克方程，非议者应该也不多。薛定谔波动方程是量子凝聚态的基础，几无疑义。但是，狄拉克方程给出的伟大预言中，最为大众熟知的就是正电子了，其它普度大众的成就一般人所知不多。不过，到了今天，情况发生了翻天覆地的变化。自从石墨烯的独特电子结构被揭示出来后，狄拉克方程的地位可以用“如日中天”来形容。现在维基百科中已经有“Dirac matter”这样的大条目，囊括费米子、玻色子甚至任意子的一大类新物态，都可以归类于狄拉克方程麾下。典型的体系有石墨烯、拓扑绝缘体、狄拉克半金属、外尔半金属、很多具有d波配对的高温超导体及He³超流等。这些体系都是量子的，也许称之为“狄拉克量子物质”更为合适。如果看量子凝聚态的世界，狄拉克物质占据了主导地位，并正在迅速扩张。

从电子结构角度去大致看，狄拉克量子物质有两大特征：(1) 能带在费米面附近有线性色散关系，从而表现出“无限”的载流子迁移率和很低的有效质量。这是极品，是物质科学百年奢望。(2) 动量空间的能带结构具有非平庸(non-trivial)的拓扑性质，与真空或者通常物质的拓扑性质不同，这就赋予了狄拉克量子物质独特的拓扑保护性。这也是极品，但是物质科学始料未及的新时空。图1很简洁地显示出狄拉克量子物质能带结构的主体特征。

图1. 狄拉克物质能带结构的典型特征及调控思路 (来自Wikipedia)。这里，改变热力学势调控迁移率是一个维度，beat自由度引入带隙调控有效质量是另一个自由度。

事实上，现在我们回过头去看狄拉克方程的数学形式，诸如薛定谔方程或者外尔方程都可以在一定约束或附加条件下从狄拉克方程中推演出来。这个意义上，狄拉克物质应该具有更为重要的未来意义与价值。不过，我们会感受到、甚至已经感受到，狄拉克物质的复杂性和挑战正在呈现几何指数增长，或者说物理人的机遇也在几何指数增多，因为物理人就是为斩落挑战和简化复杂而生的。

2. 节线半金属(nodal-line semimetals)

首先，不妨将“狄拉克物质世界”中所有已被发现和正待发现的半金属体系泛泛称之为拓扑半金属，以引出本文的主题。

拓扑半金属是不同于拓扑绝缘体的一类全新电子态，它具有特殊的能带结构。拓扑半金属中，电子的价带和导带在三维动量空间相互交叉，并在交叉点附近表现出线性的色散关系。我们把这样的能带交叉点称为外尔点，并把这种金属态称为外尔半金属。每个外尔点是二重简并的，且具有特定的手性，从而带来了新的物理。当然，两个手性不同的外尔点可以相互融合，形成四重简并的狄拉克点，这时我们称这种金属态为狄拉克半金属。外尔点和狄拉克点都是十分稳定的拓扑结构，意味着你无法通过微扰使之打开能隙，这就使得外尔半金属和狄拉克半金属区别于传统的金属材料，如图2所示。

除了狄拉克点和外尔点，固体中还可能存在着另一种奇异的能带交叉，这种交叉在动量空间中形成一条闭合的曲线，而非离散的点。我们把具有这种线型交叉的半金属称为节线半金属(nodal-line semimetals)，它也是拓扑半金属家族的一员。

图2. 从左至右：普通金属、外尔半金属和节线半金属。普通金属中的色散关系是二次的，且能带的交叉点很容易被破坏。外尔半金属中能带交叉于外尔点，而节线半金属中能带交叉形成环。外尔点和节线都是十分稳定的拓扑结构。

拓扑节线半金属具有很多特性，其中之一就是当波矢绕节线一周，电子波函数能积累非平庸的贝里相位(Berry phase)。学过量子力学的人应该知道，量子力学中，如果一个系统经过缓慢的变化最后回到初始状态，电子的波函数会跟初始的波函数相差一个几何相位和一个动力学相位。其中这个几何相位就是贝里相位。贝里相位是量子凝聚态的一个重要概念，显得有点玄乎。而贝里先生年事已高，算得上是凝聚态物理骨灰级的大师辈，依然倔强地不让诺奖评委会未来留有遗憾。

非平庸的贝里相位描述了拓扑节线半金属中电子波函数的特性。不仅如此，拓扑节线半金属中的费米面结构也很特别。费米面，简单来说就是由电子最高占据能态在三维动量空间中构成的界面，面上的每个点都具有相同的能量，这个能量就是费米能。拓扑节线半金属中的费米面是一个类似于甜甜圈的结构，用更专业一点的词就是圆环面(torus)。可以想象一下，如果费米能量正好等于节线的能量，那么这时费米面就是节线本身，是一个圆圈。如果费米能量比节线能量稍微高一点，电子占据态就变多了，此时圆圈就会“胀”起来，那么费米面就成了圆环面。而我们知道，费米面在外尔半金属和狄拉克半金属中是球形的(可以想象一个外尔点“胀”了起来，形成了球)，这就使得我们可以通过对费米面的研究来区分不同的拓扑半金属。

对狄拉克物质独特的能带结构，目前人们主要通过角分辨光电子能谱ARPES)观测拓扑节线半金属中的线性能带交叉以及费米面的圆环形态。一个典型的例子就是硫硅化锆(化学式ZrSiS)。在这种材料中，能带的交叉并不形成圆，而是菱形。当能量增加时，这个菱形就会“胀”起来，并分裂成两个菱形，这就跟甜甜圈具有内圈和外圈一样。ARPES的结果直观地证明了节线的存在和费米面的拓扑。正因为如此，ARPES已经成为“直观”地观测动量空间能带结构的最直接手段之一，很多研究组都梦想拥有ARPES，擅长这一技术的年轻后生也成为炙手可热的抓抢对象。

不过，ARPES设备昂贵，也受到光源性质和能量分辨率的限制。客观地说，分辨率的限制一定程度上也影响对费米面处细节的认定。因此，有两重动机驱使凝聚态物理学家们不满足于ARPES，他们也希望有其他手段可以测量能带结构。一重动机是：物理性质是多方面的，而物理结论的可靠性需要多方位印证，因此需要新的手段。一重动机是：实际应用最需要从输运上获取狄拉克物质的各种不同特征，从而为下一代自旋电子学和量子计算等应用提供技术基础。由此，关键的问题就凸现出来：既然拓扑节线半金属如此与众不同，那么我们能不能在它的电学性质和磁学性质中找到蛛丝马迹？我们能不能通过测量这些性质来区分拓扑节线半金属？此乃本文的主题：用输运beat拓扑量子态！

3. 量子振荡指针

当然，可以从载流子输运的量子振荡入手去研究这一问题。“量子振荡”听上去似乎很“高大上”，其实不过是指当材料处于强磁场中，它的电阻会随着磁场强度的增大表现出类似于三角函数一样的振荡，数学表达式可以写作ρ ~ cos[2π(F/B + φ)]，而这个振荡跟材料中电子的量子行为相关。

在经典物理里，电子在磁场中会做回旋运动，其回旋轨道可以是任意的。但在量子物理里，电子的回旋轨道必须是量子化的。这时电子的能量只能在分立的数值中取值，这就形成了朗道能级。当磁场变化时，朗道能级的间距和简并度都会发生变化，使得材料的电阻率产生振荡。根据Lifshitz-Onsager量子化条件，量子振荡的相位(phase shift)与贝里相位(Ф_B)存在紧密的联系。在二维体系里，量子振荡的相位等于-1/2 + Ф_B/2π。比如，对于普通金属态，电子的色散关系是二次的，贝里相位为零，则振荡的相位为-1/2。而对于拓扑半金属态，如石墨烯，贝里相位为π，量子振荡的相位为零。

在三维体系中，量子振荡的相位还会有额外的一项。这一项来自于沿磁场方向的维度修正，一般情况下很少被顾及，但绝不是就不重要。在狄拉克半金属和外尔半金属中，维度对振荡相位的修正等于-1/8，所以可得出振荡相位为-1/2 + π/2π - 1/8 = -1/8。而对于没有贝里相位的三维金属，振荡相位就变成了-1/2 + 0 - 1/8 = -5/8。-1/8的振荡相位给出了狄拉克半金属和外尔半金属的输运特征。这里，看君注意到了，玄妙的量子振荡有时候也是可以用这些初中代数来算一算的。

既然如此，对于拓扑节线半金属，量子振荡的相位会不会又有差别？为了回答这一问题，南方科技大学的卢海舟课题组从一个具有一般性的模型出发，系统计算了拓扑节线半金属中的量子振荡并给出了解析解。他们揭示出，当磁场垂直于节线平面的时候，量子振荡是由两种不同频率的振荡分量叠加而成的，且不同振荡分量具有不同的相位。对于频率较高的振荡分量，相位为-5/8；而对于频率较低的振荡分量，相位为5/8。这种双频率的特性和新型的振荡相位起源于拓扑节线半金属中费米面的圆环面结构。很显然，与拓扑节线半金属费米面相关联的新物理正在呈现，并不可避免地显现在输运的量子振荡行为中。

之前提到，在狄拉克半金属和外尔半金属中，费米面是球形的，所以在垂直于磁场方向上只能给出一个极值面(一个大圆)。这个极值面的面积对应着振荡频率的频率。在拓扑节线半金属中，当磁场方向垂直于节线平面时，圆环形的费米面具有两个极值面，分别是圆环的外圈和内圈。这两个极值面产生了不同的振荡频率，高频对应外圈，低频对应内圈，如图3所示。

图3. 圆环形费米面在垂直和平行磁场下的极值面。垂直磁场下，极值面是“甜甜圈”的内圈和外圈。平行磁场下，圆环形费米面也具有两个极值面。

不过，复杂性在于，除了振荡频率外，振荡相位也跟费米面的拓扑有关。其原因在于对于不同的极值面，维度修正应取不同的值。对于极大值面，维度修正为-1/8，而对于极小值面，维度修正为1/8。可以看到，在狄拉克半金属和外尔半金属中，球形费米面的极值面是极大值面，所以维度修正只取-1/8。而在拓扑节线半金属中，圆环形费米面的外圈和内圈分别属于极大值面和极小值面，所以对应的维度修正为分别-1/8和+1/8。而且因为内圈和外圈都在节线的平面内，它们并不与节线相扣，所以绕着它们的贝里相位为零。因此，对于高频的振荡分量，相位为-1/2 + 0 -1/8 = -5/8，而对于低频的振荡分量，相位为-1/2 + 0 + 1/8 = -3/8，等价于5/8。

同样，当磁场平行于节线平面时，费米面也有两个极值面。此时节线穿过极小值面，使得贝里相位为π，则低频振荡的相位为-1/2 + π/2π + 1/8 = +1/8。而极大值面仍没有非平凡的贝里相位，对应的振荡相位仍为-5/8。

到这里，输运的振荡相位差别与不同拓扑半金属态的联系呼之欲出，给了从输运角度来表征和利用不同拓扑特性提供了指针。不过，完备确认这一结果，可能还是需要针对某种特定材料体系来进行印证。为了进一步了解真实拓扑节线半金属材料中的量子振荡并解决目前对ZrSiS一类材料中振荡相位的争论，卢海舟课题组联合南京大学的万贤纲课题组，将确定量子振荡相位的一般定则推广到了ZrSiS上。万贤纲课题组利用第一性原理计算，给出了ZrSiS中费米面的结构，如图4所示。可以看到，在垂直磁场下，ZrSiS的费米面具有三个极值面，因而量子振荡也给出三个振荡频率。然而其中两个振荡频率很高，在实验中较难观测到。人们一般观测到的振荡频率实际上对应于最小的费米面截面。这个截面具有非平凡贝里相位，且来自于一个准二维的空穴型的费米口袋，因此其对应的振荡相位为零。这一结果跟Ali等人的实验结果相吻合[Sci. Adv. 2, e1601742 (2016)]。这个工作近期在线发表于《物理评论快报》[PRL 120, 146602 (2018)]上，其中北京大学的谢心澄教授也为论文的合作者之一。

图4. ZrSiS中费米面及其极值面。ZrSiS中的费米面看上去就是一个三维的立方体“笼子”，而且组成这个笼子的不同棱边来自于不同的费米口袋。当磁场垂直于电子型节线时，可以看到ZrSiS的费米面表现出三个极值面。

应该指出，量子振荡的相位与费米面拓扑结构的关系是凝聚态物理中长期被忽视的话题。我们希望以此引发人们对这一关系的进一步思考。这种由圆环形费米面结构导致量子振荡相位的各向异性，为实验上区分拓扑节线半金属提供了重要的线索。不仅如此，上述的量子振荡相位的一般定则还可以被推广到真实的凝聚态系统以及其他拓扑物态中，帮助我们揭示其中的拓扑结构。因此，这一工作的意义还是明了的，也值得揣摩推敲。看君有意，当点击本文最后的“阅读原文”，以求完整的图像。

备注：封面图片来自于  

https://www.unf.edu/coas/physics/Dirac_and_Weyl_Materials_Workshop/Advances_in_Dirac_and_Weyl_Materials_Workshop.aspx    

"且把拓扑复汉庭"：预示我国学者正在通过拓扑物理等创新性研究，光复大汉，秀出于世界民族之林。

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