为什么要一题多解？为什么要一题多变？以一道典型题为例！

（一）为什么要一题多解

我们提倡一题多解，因为一题多解有很多好处：

（1）可以巩固所学知识和方法。

（2）可以训练思维的灵活性和发散性。

（3）可以从多解中寻求联系发现本质。

所以，我们在一题多解时不能为了多解而多解，最重要的是要把多解归一，有所创造，有所发现。

我们看一道经典题目：

如图，AM∥BN，求∠APB、∠PAM、∠PBN三个角之间的数量关系。

解法（1）作PQ∥AM，由∠APB+∠APQ+∠BPQ=360°、∠PAM=∠APQ、∠PBN=∠BPQ得∠APB+∠PAM+∠PBN=360°。

解法（2）作PQ∥AM，由∠PAM+∠APQ=180°、∠PBN+∠BPQ=180°得∠APB+∠PAM+∠PBN=360°。

解法（3）连接AB，由∠BAM+∠ABN=180°、∠APB+∠PAB+∠PBA=180°得∠APB+∠PAM+∠PBN=360°。

解法（4）作AQ与BN交于Q，由∠QAM=∠AQB、∠APB+∠PAQ+∠PBN+∠AQB=360°得∠APB+∠PAM+∠PBN=360°。

解法（5）类同于解法（4）。

解法（6）作QR与AM、BN交于R、Q，由∠ARQ+∠BQR=180°、∠APB+∠PAM+∠PBN+∠ARQ+∠BQR=540° ，

得∠APB+∠PAM+∠PBN=360°。

解法（7）延长AP、NB交于Q，由∠PAM+∠AQN=180°、∠PBN=∠AQN+∠BPQ=(180°- ∠PAM)+(180°- ∠APB)、

得∠APB+∠PAM+∠PBN=360°。

解法（8）类同于（7）。

多解不是目的，归一才见本质，我们辛苦找寻各种解法是为了获得各种方法的共同本质和一般方法，以顺利解决其它同类问题。

比较分析发现，上述方法可以分两类：一是构造平行线，二是构造多边形。平行线可以过点P向两个方向作，多边形可以作两条平行线的截线来得到，如下图。

当截线移动到下图位置时，五边形APBQR是凹多边形，其内角和公式与凸多边形的计算公式是一样的，只不过其中有大于180°的角（优角）。

由∠ARQ+∠BQR=180°、

优角∠APB+∠PAR+∠PBQ+∠ARQ+∠BQR=540°  

得(360°-∠APB)+(180°-∠PAM)+(180°-∠PBN)+180°=540° 

得 ∠APB+∠PAM+∠PBN=360°。

我们进一步思考上述两类方法的共同原理：构造平行线可以利用平行线的性质获得有关角的关系，构造多边形可以利用多边形内外角性的获得有关角的关系但同时必须利用平行线的性质，两类辅助线的共同点是构造与平行线相交的截线。

任意一条截线都行吗？如下图，随意作一条截线是不是也可以？

答案是肯定的，由∠R=∠BQR、

∠PSQ=∠PAM-∠R、  ∠APB+∠PBN+∠PSQ+∠BQR=360°  

得∠APB+∠PBN+(∠PAM-∠R)+∠R=360° 

得 ∠APB+∠PAM+∠PBN=360°。

我们还可以换一种视角来看：射线AM、BN若相交于一点Q，则四边形APBQ的内角和为360°，即∠APB+∠PAM+∠PBN+∠Q=360°，因平行线的夹角∠Q=0°，所以∠APB+∠PAM+∠PBN=360°。

我们发现作截线的根本原因：截线是联系条件“平行线”与结论“三个角"的重要途径。

解决问题也就是条件的有效利用，当条件中的已知关系与结论中所求关系产生联系时，问题便告解决。这是解决问题的总策略！

我们来使用这一策略解决一个问题：求五角星中五个角的和∠1+∠2+∠3+∠4+∠5。

题中的条件只有多边形，所以只有把五个角转化到一个或若干多边形中，利用多边形的内外角性质求出角度。

如下图，任选一个三角形，∠1+∠α+∠β=180°，又∠α=∠1+∠4，∠β=∠3+∠5，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°。

如下图，我们再选一个五边形，∠α+∠β+∠γ+∠θ+∠φ=540°，又∠α=∠2+∠6，∠β=∠1+∠10，∠γ=∠5+∠9，∠θ=∠4+∠8，∠φ=∠3+∠7，且∠6+∠7+∠8+∠9+∠10=360°，得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°。

还可以选择其它多边形如下图，读者自证。

一题多解，多解归一，做一题，通一类，这是提升解题能力的根本之道，如此才能使知识和思维持续生长！

（二）为是什么要一题多变

一题多变是高效提升解题能力的重要方法，通过把问题进行变化可以帮助学生：（1）更深入地理解问题及其结构特征，（2）更清楚地了解不同问题的异同点，（3）学会解构问题、拓展问题、设计问题。

我们还是以上一文的经典题为例来体会一题多变的好处。

原题：如图，AM∥BN，求∠APB、∠PAM、∠PBN三个角之间的数量关系。

一、动点不同位置的分类，让视野更全面、思维更严谨。

变1.已知：AM∥BN，若P点是平面内一点，可以分为几类？∠APB、∠PAM、∠PBN三个角之间的数量关系如何？

观察发现，所有的不同类别实际上是P点分别位于三条直线AM、BN、AB所分成的6个区域，可以得到6个关系式，①∠APB=∠PAM+∠PBN，②∠APB+∠PAM+∠PBN=360°，③∠APB=∠PBN-∠PAM，④∠APB=∠PAM-∠PBN，⑤∠APB=∠PAM-∠PBN，⑥∠APB=∠PBN-∠PAM，其中③与⑥、④与⑤相同。若P点在区域的分界线上，则可以同时满足两个区域的关系式。

二、迁移不同分类的解法，体验数学方法的和谐统一。

研究各种情况的解法，我们发现，虽然P点处于不同位置，但构造辅助线的方法及解题思路可以相互借鉴迁移。

三、增加问题元素的数量，理解变与不变的辩证统一。

变2.如图，AM∥BN，若增加P点个数，当变成2个点，3个点，n个点时，∠A、∠B、∠P₁、∠P₂、∠P₃、…∠P_n之间的数量关系如何？

探究发现∠A+∠B+∠P₁+∠P₂+∠P₃+…∠P_n=(n+1)·180°，它们的和随着点的个数变化而变化，但求解的方法是不变的、可迁移的。

变3.还可以变成如下图形，仍然可以沿用前面的方法解决。

四、改变问题元素的性质，感悟变与不变的根本原理。

变4.改变射线BN的方向，如下图，AM∥BN，∠P、∠A、∠B三个角之间的数量关系如何？

变5.让射线AM与BN相交于C点，这时会多出一个角，如下图，∠P、∠A、∠B、∠C四个角之间的数量关系如何？

由上面的探究，我们可以概括此类问题的结构特征及一般方法：

（1）问题结构：与平行线、多边形有关的角度关系问题。

（2）一般方法：找出角的关系，建立一个等式，换掉不要的，替上所需的。若条件无法直接利用，则构造平行线或多边形建立角的联系。

方法运用举例：

举例1.如下图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6

找出角的关系：∠α=∠1+∠2,  ∠β=∠3+∠4,  ∠γ=∠5+∠6

建立一个等式：∠α+∠β+∠γ=360°

等量代换：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°

举例2.如图，AD、AE分别是ΔABC的角平分线和高，∠B>∠C，试求∠DAE与∠B、∠C的关系。

找出角的关系：∠B+∠BAE=90°,  ∠C+∠BAE=90°,  ∠BAC=180°-∠B-∠C,  ∠BAD=∠CAD=1/2 ∠BAC

建立一个等式：∠DAE=∠BAD-∠BAE 或 ∠DAE=∠CAE-∠CAD

等量代换：∠DAE=∠BAD-∠BAE=1/2 ∠BAC-(90°-∠B)=1/2(180°-∠B-∠C)-(90°-∠B)=1/2 (∠B-∠C)

或 ∠DAE=∠CAE-∠CAD=(90°-∠C)-1/2 ∠BAC-=(90°-∠C)-1/2(180°-∠B-∠C)=1/2 (∠B-∠C)

来源：数学大思维（ID：shengzhangmath），作者：谈志国；如存在文章/图片/音视频使用不当的情况，或来源标注有异议，请联系微信：ABC-shuxue处理。

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