与两定圆均相切的动圆的圆心轨迹问题

编者注

本文前段时间发表在公众号《奇趣数学苑》上，不过排版效果不是太好。这次修改美化以后重新发送。

    求与两个不重合定圆都相切的动圆的圆心的轨迹问题是一个既古典又现代的问题，古希腊阿波罗尼斯（Applonius）等人对此都有深入研究，著名的阿波罗尼斯问题为用尺规求作与三个定圆均相切的圆，显然是此题的进一步问题[1]。历史上很多大数学家对此类问题都有涉足，解放前国内也有不少大家如周达等研究所谓“容圆圆心轨迹问题”[2]。近几年国内教师也经常写相关文章[3]。但是总令人感觉要么遗漏一些特殊退化情形，要么过于繁琐，让人如坠五里雾中。而且此类问题在教材中和高考及自主招生和竞赛中也经常出现，因此本人对此作一详细总结，希望能让学生和老师对此类问题能彻底弄明白。

    如图，设两圆为圆A圆B，半径为a和b，由对称性不妨设a≥b,设动圆圆心为O,半径为r. 为了方便我们把点也看成退化的半径为0的圆。

    下面对A、B两圆位置关系进行讨论，分为外离（包括外切）、相交（包括内切、外切）、内含（包括内切、同心）等三种情况。

    两圆相切的关键在于圆心距离为两圆半径的和或差。因为两圆相切有内切与外切两种，与两圆均相切的圆就有4种情况,因此每种情况下一般又分为4种情况讨论。

    当然进一步还能研究前面提到的阿波罗尼斯问题，以及进一步的和更多圆相切的问题，相关的文章和结论也非常多，有兴趣的读者可以自行探究。

    最后还想提醒读者的是，所谓“旧时王谢堂前燕，飞入寻常百姓家”，上面5个问题的时间顺序很清晰的展示了题目的“生成轨迹“，先是竞赛题，然后是自主招生考试，最后“沦落”为高考题甚至课本练习。

参考文献

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Problem_of_Apollonius

[2]晚清数学家对容圆问题圆心轨迹的理论探讨 高红成 内蒙古师范大学学报 2015年11月

[3]探究务须谨慎_细节决定成败_也谈与两定圆同时相切的动圆圆心轨迹 李素波 中学数学教研 2015年第1期