2020年高中数学联赛一试11题为：求反比例函数xy=1内接等腰直角三角形面积的最小值。拿到这个问题，我先画个草图。最自然的思路是设出三个点的坐标，由直角和等腰各得一个等式，然后用坐标表示出面积，用两个等式消去未知数，变为一元函数，然后求最值。似乎有希望，所以就先按这个思路做下去看看：解法一：设A为直角顶点，各点坐标为A（a,1/a）,B(b,1/b),C(c,1/c)，则AB斜率为这样本题就用最“笨”的方法解出来了。上述解法虽然很笨拙，但是思路很自然，也没有特别复杂的运算和高超的技巧，只要没有计算错，就能得到最终结果。估计也是考场中最常见的解法。此题的思路基本就是：(1)

今天下午结束的2020年新高考数学全国一卷（好像只有山东省和海南省使用），最后一题压轴题是解析几何题，为：这个题目本质上就是要说明MN过定点X，从而H在以AX为直径的圆上运动。其实是一个非常经典的问题，一般称为富瑞吉定理，我在２０１１年写过相关文章［１］，本公众号前面写过不少此题的解法［２］2010年陕西高考数学解析几何题的源与流，［３］直线与椭圆位置关系常见问题4—圆锥曲线系列讲义之八。对于一般的椭圆也是成立的，即所以今年这个解析几何题还是一个很老套的题目（去年全国2也是），估计很多学生都做过这个题目，也知道这个一般的结论，几乎可以秒杀。

粉丝福利打开手机淘宝，输入“金磊几何的红包”，点击搜索，可领取天猫6.18超级红包！每天可领取三次！6.18日前在淘宝购物可抵现金使用！2019年高考数学刚结束，很多人都在惊呼今年数学题目难度很高。最受人瞩目的全国1卷最后一道压轴题居然是概率统计，这在全国卷中是史无前例的。而且此题超长，字数很多，阅读量大，场景陌生，除了考察概率统计还综合了数列的证明和求解，让人望而生畏、心生退意。题目为：21．（12分）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．官方公布的参考答案为：看到题目，我的第一时间我自己动手做了一下，感觉其实并不难，和参考答案的方法大同小异。其实只要正确理解题目，将其转化为大家耳熟能详的离散型随机变量分布列及数列求通项问题即可。题目中已经给出了递推公式和两个条件，只要按图索骥用大家熟悉的累加法求出等比数列通项公式，不难算出结果。最后根据概率极小说明实验设计的正确性也是情理之中的事情。所以本题的计算量和计算技巧都是学生很擅长的，唯一的难点就是题目有意无意的增大了阅读量，对学生造成了较大的心理负担。可能会导致无法正确理解题意或者学生的数字计算出错等失误。所以可以说本题的难度其实并不大，只是由于放到最后一题出乎了大家的意料，给学生造成了巨大的心理压力。虽然概率统计压轴全国卷以前没有出现过，但是这应该是大势所趋的事情。在以后的高中教学中，概率统计的地位一定会越来越高，因为它对生活特别有用，而且它在经济学、计算机等领域应用都非常广泛。我们需要深入学习相关内容。这是国内教学以前所缺乏的。本文主要想对此题进一步探究，希望能改进其解答，将其推广到一般的情形，并溯本求源，找到其本质，并尝试挖掘出其在概率论中的背景。首先考虑对上述解答改进第一问是常规问题，没什么可说的。第二问的计算还是能改进的，其次考虑将其推广第二个方面的推广是：题目中给出的初始条件和递推公式是否合理？是否多余？能否根据题意推出这些条件呢？事实上，初始条件和递推公式是不需要给出的，是可以根据题意推出的！所以本题完全可以不给初始条件和递推公式，而且第二问的第一小问证明等比数列其实也是可以不要的。可以直接问最后一问即可。将这些条件都给出来实际是为了降低题目的难度，之所以要证明等比数列也是为了增加梯度，给学生提示解题思路的。这些当然都是出题老师煞费心血帮助学生的。所以很多人在嚷嚷出题老师多么残忍甚至冷酷无情，其实老师已经心慈手软、大发慈悲了，可以说把最难的求递推公式的部分直接给出来了，而且由递推公式求通项公式的时候也先给出第一问证明作为提示。所以可以说出题老师已经仁至义尽，把题目简化到不能再简单的地步了！当然如果本题不给初始条件和递推公式，直接问最后一问。那样本题的难度就大大的提升了，已经远远超过了高考的难度。不过作为竞赛和自主招生题目倒是非常合适的，这些年许多高校的自主招生中此类问题是屡见不鲜的。而且在没有提示的情况下作为高考题，也是违背高考原则的，因为这些年高考一直坚持的原则是数列简化，坚决不考由数列递推公式经过复杂的变形求出数列通项公式的问题了。如果要考此类问题，一定会给出提示，先证明一个辅助数列是等差或者等比数列，也就是像原题中那样，所以此题中求通项公式是很常规的考察方式，一点都没有超纲。再次，考虑此问题的本质抛去前面的文字叙述类的“伪装”，本题本质上是考察了数列中由递推公式这当然也是老生常谈、经久不衰的话题，本质上求数列的通项公式相当于解差分方程，其分类类似于一元方程，每一项只和与其相邻的前两项有关，我们一般称其为二阶的递推公式，又没有常数项，而且是一次的。此类问题一般性的方法是用“特征方程”来解，这在竞赛中算是很基本的知识，在每本与数列有关的竞赛资料中都有，这里不再赘述。当然差分方程和微分方程本质相同，所以此方法也是求解常微分方程的常用套路，在大学学习《常微分方程》课程中还会遇到此方法。最后，进一步挖掘本题的概率论背景当然本问题相当于有两个边界0,8，到达边界后即停止。所以更准确的说是“有双侧吸收壁的直线上的随机游走问题”，形象的描述就是“盲人骑瞎马，夜半临深池——前途危险极了”。另外一种描述就是“醉汉回家问题”，即一个醉汉要回家，他在某条直线上随机行走，当然此类问题通项公式的求解方法和上面如出一辙。当然这里面进一步的问题是，如果盲人骑瞎马，随机走动即前进后退的概率均为0.5，某一侧有一个“深池”，则盲人瞎马一直走下去，最终盲人跌入深池的概率有多大。最终可以算出来，概率为1，即其最终一定会跌入深池！当然仁者见仁智者见智，这个结论乐观的看就是醉汉随机走动，最终他一定会走进自己的家门！进一步可以考虑平面上及空间上的随机游走问题，可以类似的得到，平面上随机游走必能回家。空间中随机游走，一定不会走到家里。可以通俗的解释为喝醉的小鸟回不了家。称波利亚回归定理或者是“盲人骑瞎马，夜半临深池”如果在空间中只有一个深池，他随意走动，最终不会掉进深池中！这算是一点正能量吧。此类问题还能进一步大大推广到空间中的布朗运动问题，在排队论和时间序列分析、动力系统中非常常见，一般称为马尔科夫（Markov）过程或者马尔科夫链，它是概率论中至关重要的一类问题。应用非常广泛。有兴趣的读者可以查阅概率论的专业书籍进一步学习。点我留言

昨天刚刚结束的2019年高考数学理科全国2卷难度有所回归，特别是最难的压轴题21题是一个圆锥曲线最值问题，计算量很大，题目如下：画出示意图如上，参考答案的解法如下：本题算是分为三问，按梯度层层递进，难度步步高升。最后一问技巧性强，运算比较复杂，要表达出面积，最后用对勾函数的性质及函数单调性完成证明。似乎是一个难得的好题。但是如果对历年高考题目比较熟悉，就会发现其实本题是一个非常常见的结构，第一问求轨迹是利用椭圆的“第三定义”——斜率乘积为定值。第二问中的第一小问也是常见的俗套问题。几乎是2011年江苏高考题原题。2011年江苏高考题第18题为：可以发现今年全国2题目第二问的第一小问的证明略显复杂，不过他算是给第二小问做了铺垫。2012年湖北高考理科第22题也是此题，只是x,y轴交换了一下而已。22.【2012高考真题湖北理】（本小题满分13分）第22题解答图不难发现本题最简洁的证明方法还是用椭圆的第三定义做。当然此类问题已经十分泛滥，我在前面公众号里面的文章[1]中已经将其一般化并推广，其中的第3题为：注：本题是高考真题的一般化推广，初看有些迷茫。但是只要思路清晰，合理的消去参数m，将结果转化为含有已知比例的等式，思路还是比较流畅的。最终得到的结果也非常漂亮。当A’T⊥x轴时即为上题。下面说说最复杂的第三问，其实本质上是求▲POG面积2倍的最大值.此时最好的一般性方法是利用参数方程的方法，此方法在前面圆锥曲线系列文章中[2],[3]中都有介绍，如果用参数方程既本质又简洁，而且可以推广到一般的结果。参

解析几何最大的特点就是含有大量复杂的字母运算，这对于初学者是最大的障碍。这里必须要踏踏实实、认认真真的做上一些经典的题目才能真正掌握其中的运算技巧、积累运算经验、增加解题信心。

本系列前面四篇文章分别讲述了圆锥曲线的方程、定义、焦点三角形、点差法等基本内容。这些只是“饭前甜点”，从本节起，开始进入解析几何最核心也是最基本的内容里面：计算！特别是字母运算。这才是解析几何的“正餐”！解析几何最大的特点就是含有大量复杂的字母运算，这对于初学者是最大的障碍。这里必须要踏踏实实、认认真真的做上一些经典的题目才能真正掌握其中的运算技巧、积累运算经验、增加解题信心。运算的基本功就是联立方程，韦达定理。这说起来似乎很简单，但是运用之妙、存乎一心。在具体的题目中还是要考虑各种具体的运算技巧，例如用哪种形式的直线方程，如何利用条件减少运算量等，还是要积累相当多经验才能知道具体哪一类问题要用哪种方法。这方面的辅导资料虽然很多，但是往往要么过于杂乱，只是高考真题的简单堆砌，没有本质的逻辑联系，而且讲不清楚每个问题的本质和与其他问题的联系。再一个高考真题往往是具体的数字，这样会让背后的结论淹没在具体的数字中，而且容易让人只见树木不见森林，所以本专题的题目都是对一般的椭圆的结果，不涉及具体的数字。如果熟练掌握了这些一般性的结论，对于具体的数字当然就可以秒杀，一眼看出最终的结果了。还有一些辅导资料虽然总结了很多圆锥曲线的一般性质，却又有点贪多求全，动辄几十上百条性质，却只是杂乱的结论的堆积，没有理清楚问题的来龙去脉，先后顺序。往往让初学者望而生畏、无从入手。这个专题具体又分为6个小专题，我按照直线与椭圆相切、相离、相交三种关系，通过自己的积累，提取了50个经典的直线与椭圆位置关系的问题模型。这些都是从常见高考、自招、竞赛等题目中抽象出来，对于一般的椭圆得到的有趣结果，而且都是很典型的问题。有些问题之间往往有着本质的联系，单独解决起来比较复杂，但是有了一些基本的结论，熟悉了套路以后往往简单很多。希望初学者按照其中脉络先一步步自行推导相应结果，然后再对照我的结果对比得失。相信做完这50个题目，你会很快对解析几何上手的。本节继续讲解直线与椭圆位置关系常见问题，第4节主要解决直线与椭圆相交的以下8个椭圆与直线及向量综合的问题34向量OE=tOP参考文献：[1]

圆锥曲线本系列前面四篇文章分别讲述了圆锥曲线的方程、定义、焦点三角形、点差法等基本内容。这些只是“饭前甜点”，从本节起，开始进入解析几何最核心也是最基本的内容里面：计算！特别是字母运算。这才是解析几何的“正餐”！解析几何最大的特点就是含有大量复杂的字母运算，这对于初学者是最大的障碍。这里必须要踏踏实实、认认真真的做上一些经典的题目才能真正掌握其中的运算技巧、积累运算经验、增加解题信心。运算的基本功就是联立方程，韦达定理。这说起来似乎很简单，但是运用之妙、存乎一心。在具体的题目中还是要考虑各种具体的运算技巧，例如用哪种形式的直线方程，如何利用条件减少运算量等，还是要积累相当多经验才能知道具体哪一类问题要用哪种方法。这方面的辅导资料虽然很多，但是往往要么过于杂乱，只是高考真题的简单堆砌，没有本质的逻辑联系，而且讲不清楚每个问题的本质和与其他问题的联系。再一个高考真题往往是具体的数字，这样会让背后的结论淹没在具体的数字中，而且容易让人只见树木不见森林，所以本专题的题目都是对一般的椭圆的结果，不涉及具体的数字。如果熟练掌握了这些一般性的结论，对于具体的数字当然就可以秒杀，一眼看出最终的结果了。还有一些辅导资料虽然总结了很多圆锥曲线的一般性质，却又有点贪多求全，动辄几十上百条性质，却只是杂乱的结论的堆积，没有理清楚问题的来龙去脉，先后顺序。往往让初学者望而生畏、无从入手。这个专题具体又分为6个小专题，我按照直线与椭圆相切、相离、相交三种关系，通过自己的积累，提取了50个经典的直线与椭圆位置关系的问题模型。这些都是从常见高考、自招、竞赛等题目中抽象出来，对于一般的椭圆得到的有趣结果，而且都是很典型的问题。有些问题之间往往有着本质的联系，单独解决起来比较复杂，但是有了一些基本的结论，熟悉了套路以后往往简单很多。希望初学者按照其中脉络先一步步自行推导相应结果，然后再对照我的结果对比得失。相信做完这50个题目，你会很快对解析几何上手的。本节继续讲解直线与椭圆位置关系常见问题，第3节主要解决直线与椭圆相交的以下面积最值问题，此类问题综合性强，是数形结合的典范。希望初学者多多练习。

圆锥曲线系列本系列前面四篇文章分别讲述了圆锥曲线的方程、定义、焦点三角形、点差法等基本内容。这些只是“饭前甜点”，从本节起，开始进入解析几何最核心也是最基本的内容里面：计算！特别是字母运算。这才是解析几何的“正餐”！解析几何最大的特点就是含有大量复杂的字母运算，这对于初学者是最大的障碍。这里必须要踏踏实实、认认真真的做上一些经典的题目才能真正掌握其中的运算技巧、积累运算经验、增加解题信心。运算的基本功就是联立方程，韦达定理。这说起来似乎很简单，但是运用之妙、存乎一心。在具体的题目中还是要考虑各种具体的运算技巧，例如用哪种形式的直线方程，如何利用条件减少运算量等，还是要积累相当多经验才能知道具体哪一类问题要用哪种方法。这方面的辅导资料虽然很多，但是往往要么过于杂乱，只是高考真题的简单堆砌，没有本质的逻辑联系，而且讲不清楚每个问题的本质和与其他问题的联系。再一个高考真题往往是具体的数字，这样会让背后的结论淹没在具体的数字中，而且容易让人只见树木不见森林，所以本专题的题目都是对一般的椭圆的结果，不涉及具体的数字。如果熟练掌握了这些一般性的结论，对于具体的数字当然就可以秒杀，一眼看出最终的结果了。还有一些辅导资料虽然总结了很多圆锥曲线的一般性质，却又有点贪多求全，动辄几十上百条性质，却只是杂乱的结论的堆积，没有理清楚问题的来龙去脉，先后顺序。往往让初学者望而生畏、无从入手。这个专题具体又分为6个小专题，我按照直线与椭圆相切、相离、相交三种关系，通过自己的积累，提取了50个经典的直线与椭圆位置关系的问题模型。这些都是从常见高考、自招、竞赛等题目中抽象出来，对于一般的椭圆得到的有趣结果，而且都是很典型的问题。有些问题之间往往有着本质的联系，单独解决起来比较复杂，但是有了一些基本的结论，熟悉了套路以后往往简单很多。希望初学者按照其中脉络先一步步自行推导相应结果，然后再对照我的结果对比得失。相信做完这50个题目，你会很快对解析几何上手的。第一节主要解决以下直线与椭圆相切的以下9个问题，为了行文方便，正文中不再具体写出题目序号和内容，只是将各题的序号标在答案处。注：上述判别式虽然开始形式比较复杂，但是化简完结果还是非常漂亮简洁的。这是直线与圆锥曲线联立的第一步，也是运算的必经之路。有些学生直接把最终答案背下来，考试时候直接默写出来。如果记忆准确，当然是能提升运算速度的。不过我一般不提倡死记硬背，我自己也不刻意背诵。我觉得只要记住最终结果的大概形式，多运算几次就能记住了。在考试的时候建议还是算一遍比较保险，毕竟容易记错。而且熟能生巧，多练习才能真正提升解析几何的内功——计算能力！

圆锥曲线是高中教材中的内容，是高考中的重点和难点，一般高考卷中的最后两个压轴题中会有一个是圆锥曲线。当然她也是自主招生及数学竞赛中的一块“硬骨头”。因为往往有很大的计算量，对字母运算的要求相当高，一般高中数学联赛一试的大题中必有一个圆锥曲线的计算题，而且往往是最后一题压轴题。今年CMO中第4题又考察了椭圆的尺规作图问题，这更突显了她的重要地位。她既能联通高考与竞赛，又能联系代数和几何，还能贯通中学与大学，是所有学生都必须熟练掌握的内容。

圆锥曲线是高中教材中的内容，是高考中的重点和难点，一般高考卷中的最后两个压轴题中会有一个是圆锥曲线。当然她也是自主招生及数学竞赛中的一块“硬骨头”。因为往往有很大的计算量，对字母运算的要求相当高，一般高中数学联赛一试的大题中必有一个圆锥曲线的计算题，而且往往是最后一题压轴题。今年CMO中第4题又考察了椭圆的尺规作图问题，这更突显了她的重要地位。她既能联通高考与竞赛，又能联系代数和几何，还能贯通中学与大学，是所有学生都必须熟练掌握的内容。

第二问承接第一问，只要通过仿射变换，作出大圆，再做过原点倾斜角45°直线交大圆于P，过P作x轴垂线交椭圆于P'点即为切点，不过证明还是需要一些代数运算。

上海辞书出版社注：本文发表于《数学通讯》2011年第二期教师刊，本文做了修订和补充

公众号“金磊讲几何构型”20180826文章

最后还想提醒读者的是，所谓“旧时王谢堂前燕，飞入寻常百姓家”，上面5个问题的时间顺序很清晰的展示了题目的“生成轨迹“，先是竞赛题，然后是自主招生考试，最后“沦落”为高考题甚至课本练习。参考文献[1]