2019年高考数学全国2卷解析几何压轴题的源与流

昨天刚刚结束的2019年高考数学理科全国2卷难度有所回归，特别是最难的压轴题21题是一个圆锥曲线最值问题，计算量很大，题目如下：

画出示意图如上，参考答案的解法如下：

本题算是分为三问，按梯度层层递进，难度步步高升。最后一问技巧性强，运算比较复杂，要表达出面积，最后用对勾函数的性质及函数单调性完成证明。似乎是一个难得的好题。

但是如果对历年高考题目比较熟悉，就会发现其实本题是一个非常常见的结构，第一问求轨迹是利用椭圆的“第三定义”——斜率乘积为定值。第二问中的第一小问也是常见的俗套问题。几乎是2011年江苏高考题原题。

2011年江苏高考题第18题为：

可以发现今年全国2题目第二问的第一小问的证明略显复杂，不过他算是给第二小问做了铺垫。

2012年湖北高考理科第22题也是此题，只是x,y轴交换了一下而已。

22.【2012高考真题湖北理】（本小题满分13分）

第22题解答图

不难发现本题最简洁的证明方法还是用椭圆的第三定义做。

当然此类问题已经十分泛滥，我在前面公众号里面的文章[1]中已经将其一般化并推广，其中的第3题为：

注：本题是高考真题的一般化推广，初看有些迷茫。但是只要思路清晰，合理的消去参数m，将结果转化为含有已知比例的等式，思路还是比较流畅的。最终得到的结果也非常漂亮。当A’T⊥x轴时即为上题。

下面说说最复杂的第三问，其实本质上是求▲POG面积2倍的最大值.此时最好的一般性方法是利用参数方程的方法，此方法在前面圆锥曲线系列文章中[2],[3]中都有介绍，如果用参数方程既本质又简洁，而且可以推广到一般的结果。

参 考 文 献 [1] 椭圆的第三定义及点差法应用——圆锥曲线系列讲义之四