2018年CMO第4题---几何法在圆锥曲线中的应用1

    2018年CMO第二天的第一题（即第4题）出乎人的意料，虽然确实是一个几何题，但是是一个与椭圆有关的尺规作图题，题目为：

给定一个椭圆  （不含中心和焦点），

（1） 证明存在一个唯一的与椭圆外切的面积最小的菱形

（2） 用尺规作出此菱形

思路分析：

    先看第一问，此题有点像高考解析几何题，首先由直觉上的对称性可知此菱形中心应该为原点，对角线应该为椭圆主轴。这样只需考虑第一象限即可。如图，设过E的椭圆的切线交坐标轴于A,B,用参数方程表示出A,B坐标，由均值不等式即可解决第一问，不难想象离心角为45°时面积最大。

    第二问承接第一问，只要通过仿射变换，作出大圆，再做过原点倾斜角45°直线交大圆于P，过P作x轴垂线交椭圆于P'点即为切点，不过证明还是需要一些代数运算。

    不过原来的椭圆中还需要找到中心和焦点，这是经典方法，有两个思路，要么利用共轭直径，要么利用椭圆上四点共圆，则倾斜角互补的结论作图。

解：（1）设椭圆长轴,短轴为a,b,a>b>0,

首先将椭圆经过仿射变换y变为ay/b,x不变，则椭圆变为半径为a的圆，

椭圆外切平行四边形依然为平行四边形，故原菱形中心为原点，

相对切点关于原点对称，由其为菱形知相邻切点关于坐标轴对称。

从而此菱形中心为原点，对角线为坐标轴。

设第一象限切点为E(acosθ,bsinθ)(θ为离心角)，

则易得A(a/cosθ,0),B'(0,a/sinθ),

从而B(0,b/sinθ),

OA*OB=ab/(sinθcosθ)=2ab/sin2θ≥2ab(当且仅当θ=45°时取得等号)

从而存在一个唯一的与椭圆外切的面积最小的菱形。

（2）由(1)中证明可知，只需θ=45°即可。

如上图，作出以O为圆心a为半径的圆，作∠E'OA=45°,E'在第一象限的

圆弧上，过E‘作x轴垂线，交椭圆于E，连接AE交y轴于B，

作出A、B关于原点的对称点C、D，则ABCD即为所求作的菱形。

下面的问题就是如何作出椭圆的中心和原点，有两种方法。

作法一：任作椭圆的弦AB,CD,使得AB//CD,及另两条弦A'B',C'D',使得A'B'//C'D'

AB,CD中点的连线与A'B',C'D'中点的连线交点O即为椭圆中心。

以O为圆心作圆与椭圆交于E,G,H,Q,则EG,GH中垂线即为y,x轴。

（当然如果需要作出焦点，只要以J为圆心OI为半径画圆与x轴两交点即为焦点）

这里用到了一个结论：一族斜率为k的平行线截椭圆，截得弦的中点的轨迹为过原点的直线，证明如下：

即M点的轨迹为过原点的一条线段，其所在的直线方程如上

注：一般的，椭圆一组平行弦的中点所在的直线，称为此平行弦确定的椭圆的直径。

作法二：任作圆与椭圆交于A,B,C,D四点,

AB交CD于E，∠BEC角平分线交椭圆于FG，

则FG中垂线即为x轴， 以下显然。

证明如下：

即对于主轴在x轴上的二次曲线E，过定点P做两条直线，与E有四个交点，当且仅当他们的斜率互为相反数时四交点共圆。

注：此题比较另类，历年CMO中好像也没有考过与圆锥曲线有关的问题，也很少考察尺规作图问题。

    但是此题是一个比较好的题目！它考察了学生的综合能力和数学素养，本题相关的这些知识，如尺规作图作椭圆中心问题，可以作为高考、自招题目，竞赛题目却很少涉及，所以一般竞赛老师应该不会给学生讲解。即使我对此非常熟悉，也几乎不会给学生讲解，因为感觉竞赛不考，如果讲了，完全是浪费学生的时间。而如果学生没有接触过相关问题，短时间很难想出来合理的作图方法。此题算是“偷袭”，是给辅导老师的一个教训，让我们不要过分的猜题、押题，还是要全面提升学生的数学素养。只要有趣的、有用的数学知识，都可以给学生讲解。

    我对尺规作图还是很有兴趣的，后面还会继续讲解平面几何方法在圆锥曲线中的应用，还有一些有趣的尺规作图问题。我经常给初学几何的学生推荐一款数学游戏《欧几里得(Euclidea)》,这就是一个尺规作图的数学游戏，非常值得一玩，这里推荐给大家。后面我想专门写一个关于此游戏的系列专题。