2019年高考数学全国1卷概率统计压轴题溯源

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2019年高考数学刚结束，很多人都在惊呼今年数学题目难度很高。最受人瞩目的全国1卷最后一道压轴题居然是概率统计，这在全国卷中是史无前例的。而且此题超长，字数很多，阅读量大，场景陌生，除了考察概率统计还综合了数列的证明和求解，让人望而生畏、心生退意。题目为：

21．（12分）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

官方公布的参考答案为：

看到题目，我的第一时间我自己动手做了一下，感觉其实并不难，和参考答案的方法大同小异。其实只要正确理解题目，将其转化为大家耳熟能详的离散型随机变量分布列及数列求通项问题即可。题目中已经给出了递推公式和两个条件，只要按图索骥用大家熟悉的累加法求出等比数列通项公式，不难算出结果。最后根据概率极小说明实验设计的正确性也是情理之中的事情。

所以本题的计算量和计算技巧都是学生很擅长的，唯一的难点就是题目有意无意的增大了阅读量，对学生造成了较大的心理负担。可能会导致无法正确理解题意或者学生的数字计算出错等失误。

所以可以说本题的难度其实并不大，只是由于放到最后一题出乎了大家的意料，给学生造成了巨大的心理压力。

虽然概率统计压轴全国卷以前没有出现过，但是这应该是大势所趋的事情。在以后的高中教学中，概率统计的地位一定会越来越高，因为它对生活特别有用，而且它在经济学、计算机等领域应用都非常广泛。我们需要深入学习相关内容。这是国内教学以前所缺乏的。

本文主要想对此题进一步探究，希望能改进其解答，将其推广到一般的情形，并溯本求源，找到其本质，并尝试挖掘出其在概率论中的背景。

首先考虑对上述解答改进

第一问是常规问题，没什么可说的。第二问的计算还是能改进的，

其次考虑将其推广

第二个方面的推广是：

题目中给出的初始条件和递推公式是否合理？是否多余？能否根据题意推出这些条件呢？

事实上，初始条件和递推公式是不需要给出的，是可以根据题意推出的！

所以本题完全可以不给初始条件和递推公式，而且第二问的第一小问证明等比数列其实也是可以不要的。可以直接问最后一问即可。

将这些条件都给出来实际是为了降低题目的难度，之所以要证明等比数列也是为了增加梯度，给学生提示解题思路的。这些当然都是出题老师煞费心血帮助学生的。

所以很多人在嚷嚷出题老师多么残忍甚至冷酷无情，其实老师已经心慈手软、大发慈悲了，可以说把最难的求递推公式的部分直接给出来了，而且由递推公式求通项公式的时候也先给出第一问证明作为提示。所以可以说出题老师已经仁至义尽，把题目简化到不能再简单的地步了！

当然如果本题不给初始条件和递推公式，直接问最后一问。那样本题的难度就大大的提升了，已经远远超过了高考的难度。不过作为竞赛和自主招生题目倒是非常合适的，这些年许多高校的自主招生中此类问题是屡见不鲜的。而且在没有提示的情况下作为高考题，也是违背高考原则的，因为这些年高考一直坚持的原则是数列简化，坚决不考由数列递推公式经过复杂的变形求出数列通项公式的问题了。如果要考此类问题，一定会给出提示，先证明一个辅助数列是等差或者等比数列，也就是像原题中那样，所以此题中求通项公式是很常规的考察方式，一点都没有超纲。

再次，考虑此问题的本质

抛去前面的文字叙述类的“伪装”，本题本质上是考察了数列中由递推公式

这当然也是老生常谈、经久不衰的话题，本质上求数列的通项公式相当于解差分方程，其分类类似于一元方程，每一项只和与其相邻的前两项有关，我们一般称其为二阶的递推公式，又没有常数项，而且是一次的。此类问题一般性的方法是用“特征方程”来解，这在竞赛中算是很基本的知识，在每本与数列有关的竞赛资料中都有，这里不再赘述。当然差分方程和微分方程本质相同，所以此方法也是求解常微分方程的常用套路，在大学学习《常微分方程》课程中还会遇到此方法。

最后，进一步挖掘本题的概率论背景

当然本问题相当于有两个边界0,8，到达边界后即停止。

所以更准确的说是“有双侧吸收壁的直线上的随机游走问题”，形象的描述就是“盲人骑瞎马，夜半临深池——前途危险极了”。

另外一种描述就是“醉汉回家问题”，即一个醉汉要回家，他在某条直线上随机行走，当然此类问题通项公式的求解方法和上面如出一辙。

当然这里面进一步的问题是，如果盲人骑瞎马，随机走动即前进后退的概率均为0.5，某一侧有一个“深池”，则盲人瞎马一直走下去，最终盲人跌入深池的概率有多大。最终可以算出来，概率为1，即其最终一定会跌入深池！

当然仁者见仁智者见智，这个结论乐观的看就是醉汉随机走动，最终他一定会走进自己的家门！

进一步可以考虑平面上及空间上的随机游走问题，可以类似的得到，平面上随机游走必能回家。空间中随机游走，一定不会走到家里。可以通俗的解释为喝醉的小鸟回不了家。称波利亚回归定理

或者是“盲人骑瞎马，夜半临深池”如果在空间中只有一个深池，他随意走动，最终不会掉进深池中！这算是一点正能量吧。

此类问题还能进一步大大推广到空间中的布朗运动问题，在排队论和时间序列分析、动力系统中非常常见，一般称为马尔科夫（Markov）过程或者马尔科夫链，它是概率论中至关重要的一类问题。应用非常广泛。有兴趣的读者可以查阅概率论的专业书籍进一步学习。