洪一平——2017年福建高中数学竞赛第8题的几个精彩解法

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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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洪一平，83年毕业于浙江大学数学系，后在某学院任高数助教，89年获浙大数学系硕士学位。现任教于浙江省一级重点学校、国家级外语实验学校、浙江省现代教育技术实验学校——平阳中学，数学高级教师。《数学解题与写作交流群》大家公认的解题高手、数学名师和答疑解难热心人，群里朋友纷纷加他为微信好友以便进一步交流学习。洪一平老师是一位很受师生尊重和欢迎的好教师。

2017年福建高中数学竞赛第8题的

几个精彩解法

浙江平阳中学        洪一平

题目（袁旭华提供）关于x的方程x²+ax+b-3=0(a, b∈R)在区间[1, 2]上有实根, 则a²+(b-4)²的最小值为_____

这是袁旭华老师在”数学解题与写作交流群”里提出的一道征解题，这道题是2017年福建高中数学竞赛第8题。邹生书老师分享了这类问题的解法文章《用根表示系数求多参数式子的取值范围》,下面给出笔者与李鑫老师在群里交流的解法与大家分享。

解法1：设t是方程x²+ax+b-3=0在[1, 2]上的实根,

则1≤t≤2, 且at+b+t²-3=0, 将其当作坐标平面aOb上的一条动直线,设P(a, b)是这直线上的任意一点, 设Q(0, 4), 由垂线线段最短知Q到直线上的任意一点P的距离大于等于点Q到直线的距离，即

a²+(b-4)²=|PQ|²≥()²=t²+1≥2，

 等号在t=1时成立, 故a²+(b-4)²的最小值为2。

 解法2:设方程的根为s, t, 且1≤t≤2, 

由韦达定理得 -a=s+t, b-3=st,

 则a²+(b-4)²=(s+t)²+(st-1)²=s²+t²+(st)²+1

=(s²+1)(t²+1)≥t²+1≥2,

等号在s=0, t=1,即a=-1, b=3时成立, 

故a²+(b-4)²的最小值为2。

解法3:设t是方程x²+ax+b-3=0在[1, 2]上的实根, 

则1≤t≤2, 且b=3-at-t²,

则a²+(b-4)²=a²+(at+t²+1)²

=a²(1+t²)+2at(t²+1)+(t²+1)²

=(t²+1)[(a+t)²+1]≥t²+1≥2,

等号在t=1, a= -1, b=3时成立,

故a²+(b-4)²的最小值为2.

解法4：（李鑫提供）设是关于x的方程x²+ax+b-3=0(a, b∈R)在区间[1,2]上的一个实根，

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