丁位卿——日本初中奥数决赛第三大题的纯几何证明（附全部赛题）

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日本初中奥数决赛第三大题的纯几何证明

  河南省许昌长葛市        丁位卿

这道日本初中奥数决赛题（第3题），下面笔者用纯几何法证明，非常简单明了，证明过程如下：

第一个实线圆是w，为方便，设第二个实线圆 （B,D,E,C四点共圆的那个圆）为α.

连接EG,IC.先证A,D,E,G四点共圆，因为FA,FD,FB为两个实线圆的三条割线，两次由割线定理可证明之。

即FG·FA=FC·FB=FE·FD,所以 A,D,E,G四点共圆

所以，∠BDE=∠AGE,在圆α（下面的小一些的实线圆）中，

∠ECF=∠ BDE,结合上面的等角得∠AGE=∠ECF,.

推出E,C,G,F四点共圆，

推出AG·AF= AE·AC= AD·AB(割线定理，同时考虑α圆)……(1)

又在欧米伽和阿尔法α圆中，有

∠AEH=∠ABC=∠AIC,推出H,I,C,E四点共圆，

推出AE·AC=AH·AI(割线定理)......(2)

则由(1)(2)两式可得  AH·AI=AG·AF,

推出F,G,H,I四点共圆(割线定理的逆定理)，完毕

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