邹生书——三角形面积的向量坐标表示及应用
请点击上方蓝色字体“邹生书数学”，订阅本微信公众号；
请点击右上角的“…”，发送给朋友或分享到朋友圈。
公众号“邹生书数学”创建于2018年8月28日。
开号宗旨：为热爱学习和研究的高中数学教师和教研员搭建学习交流平台，提升教学能力，促进专业发展。本公众号致力传播数学文化，发表教研成果，交流教学经验，探讨数学问题，展示解题方法，分享教学资源，为服务高中教学作贡献。
邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
公众号“邹生书数学”诚请高中数学教师、教研员和热爱数学的朋友不吝赐稿。来稿请注明真实姓名、工作单位和联系方式，一般只接受word文档格式的电子稿件，文稿请认真审查，防止错漏，文责自负。
投稿邮箱：zoushengshu@163.com；
投稿微信号：13297228197。
本公众号对优秀作者和名师实行“双推学习”，在分享文章的同时推介作者简历，让读者朋友更好的了解作者的研究成果和研究方向，以便进一步研读作者的相关文章。
欢迎转载本公众号文章，转载请注明：
“文章来源：邹生书数学”等字样。
三角形面积的向量坐标表示及其应用
湖北省阳新县高级中学 邹生书
文章发表于《中学数学研究》（广州）
2018年第4期
三角形面积公式大家最为熟悉的有S=0.5ah和S=0.5absinC，还有大家不太熟悉的用三角形三个顶点坐标表示的三阶行列式公式。自从向量知识下放到高中数学教材后，高中数学知识就注进了新鲜血液，向量知识与三角、几何、解析几何等知识的融合与深透，给高中数学带来新的生命和知识的增长点，给我们解决数学问题也带来了全新的视角。向量运算和向量的坐标运算给数学带来了新结论和新方法，用向量的视角来解读和诠释数学问题，给我们带来不一样的精彩。本文向读者介绍三角形面积的向量坐标公式及其在解题中的应用。
评注 证法1原始简朴，通过辅助线将三角形进行补形和分割，把任意三角形的面积转化为直角梯形和直角三角形面积求解，化难为易，体现化归转化思想和数形结合思想，没有根号只有加减乘除四则运算，初中学生都能接受。证法2综合严紧，用到了三角形面积公式、同角三角函数间的平方关系、二次根式性质、平面向量数量积的定义、两点间的距离公式和数量积的坐标运算等。证法3雅俗共享，用向量共线求直线方程避免对斜率存在性的讨论，用点线距离公式和两点的距离公式分别求三角形的底和高，最后用底乘高的一半求三角形面积。证法4奇巧优美，将旋转变换、三角公式与平面向量数量积完美结合，计算没有根号解法精彩。
评注 推论1用三角形两边的向量坐标表示三角形面积，形式简洁结构优美，比三角形顶点坐标的三阶行列面积公式应用更为方便快捷。三点共线可以看作是这三点围成平面区域的面积为零，在公式中当三角形面积为零时x1y2-x2y1=0，这恰好是此时A,B,C三点共线的条件。至此，三点共线的充要条件与三角形面积公式和谐统一。由此不仅得出三点共线的又一面积解释，而且还可以用向量共线的充要条件帮助理解和记忆三角形面积的向量坐标公式。
评注 本题是北京航空航天大学李尚志教授命制的北京航空航天大学自主招生考试热身题（一）中的第1题，第1题就非常难，无现成的题型套路可寻，考生束手无策不知从何下手，一开始就给考生一杀威棒，甚至是几杀威棒。高考试题整体上按先易后难的顺序排列，自主招生的目的就是选拔优秀学生，在考查数学核心素养和创新意识的同时，还考查考生先易后难的解题策略和处变不惊的心理素质。所以命题风格也别具一格，这份试题是两头难中间相对较易，并且中间某个或几个题目与前面的难题有密切关系，考生可通过做中间的题目得到启发后杀回马枪再来解决前面的难题。李尚志教授指出：能够死记硬背现成公式用来解决现成模式的问题，就是数学核心素养中的“数学运算”。而能够用现成公式加以变通解决不现成的问题，就是数学核心素养中的“数学建模”。高考以死记硬背为主，稍微来几道灵活运用的，让死记硬背的考生也能考上一般的大学，让灵活应用的考生考上名牌大学。
长按或扫描二维码关注本公众号！