邹生书、郑琴庄——椭圆中以长轴为边的内接三角形最大角问题的解法研讨
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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椭圆中以长轴为边的内接三角形最大角
问题的解法研讨
湖北省阳新县高级中学 邹生书
福建省泉州市 郑琴庄
问题：已知AB是椭圆的长轴，△PAB是椭圆的内接三角形，求证：当点P是椭圆短轴的顶点时，∠APB最大。
这是陕西省咸阳市李宝峰老师在高中数学解题交流二群时提出的一个数学问题，他用到角公式和斜率公式获得了证明，寻求更好解法和最美解法，原帖子如下：
证法1：用和角正切公式及函数单调性证明
福建泉州郑琴庄 提供
故当点P是椭圆短轴顶点时，∠APB最大。
证法2：用差角的正切公式和斜率公式证明
点评：用差角的正切公式和斜率公式求解绕开了到角公式，实际上也是用到角公式的证明方法求解。
证法3：构造外接圆，用圆与椭圆的位置关系证明
设C为椭圆的上顶点，设△ABC的外接圆圆心为M,因为CA=CM,所以点M在y轴上，设点M(0,m).由相交弦定理得OC•OD=OA•OB,即b•OD=a2,所以OD= a2/b.
故上半椭圆都在圆弧ACB的上方，且它们只有一个公共点C.
由同弧所对的圆外角小于圆内角知∠APB≤∠ACB（也可用三角形外角大于不相邻的每一个内角证）,当且仅当点P与点C重合时，等号成立。所以当点P是椭圆短轴顶点时，∠APB最大。
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