邹生书——得分率很低的抛物线切点弦试题的多种处理方法赏析

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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得分率很低的抛物线切点弦试题的

多种处理方法赏析

湖北省阳新县高级中学       邹生书

   这是编者所在学校高三年级第二学期期初收心考试数学卷的第21题，第1问求抛物方程比较简单，第2问难度较大，无人问津，得分率很低，几乎为零。第2问涉及切点弦AB所在直线方程的求解和点O到直线AB距离的最大值。求切点弦方程，考生举棋不定不知从何入手，切入了深入难析出更难。从下面的解法可以知道，第2问的解答综合性强，对考生的综合素质、数学素养和运算求解能力等诸方面的要求较高，只有实力强大功底深厚的考生才能完成解答。这道题目虽然难度较大，但解法多样且个个精彩，值得好好品味欣赏，下面我们来赏析这道题目的多种解法。

解析：（1）编者从阅卷看到考生主要有如下两种解法。

法1：用两点间的距离公式最后转化为一元二次方程求解

法2：用抛物线定义求解

由抛物线定义知道抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等，

点评：用两点间的距离公式求解的考生注意了，此题用抛物线定义求解较为简单快捷。回归定义大道至简。定义很重要的。

（2）解法1：设点A处的切线方程为y-y₁=k(x-x₁)求解

怎样求这个函数的最大值呢？下面我们采取换元后构建二次函数来求解

感觉这个解法不太理想，是否还有其他的解法呢？能用导数工具求解吗？怎么用？可以的，解法如下：

另解：运用导数求最值

点评1：比较上述求点O到直线AB距离的最大值的两种解法可知，导数方法运算量相对较少。运用导数求最值具有普遍性，是通性通法，当其他方法难以生效时，应该考虑用导数方法求解。是否还有更加简单的解法呢？回答是肯定的，并且解法出乎意料的简单，简解将在文章最后抛出压轴，请耐心等待。

点评2：在求切点弦AB所在直线方程时，上述解法是采取围魏救赵的战术，通过设点A处的切线PA的方程为y-y₁=k(x-x₁)入手求解，然后用曲线与方程的关系，得出点A的坐标满足直线方程，从而点A在直线上，同理点B也在此直线上，从而得出直线AB的方程。这种点满足方程从而点在方程所确定的曲线上的思想很有意思，有一种幸福突然降临的感觉，如梦如幻，耐人寻味。

下面我们再给出直线AB一个“另类”的点斜式设法

解法2：设点A处的切线PA的方程为x-x₁=m(y-y₁)求解

点评：解法2中切线PA方程的点斜式设法非常基本，但运算量有点大，解法3这个“另类”点斜式设线法显然运算量要小很多。说明解题时选择比努力更重要。

还可以设过点P的切线方程求解，解题效果与解法2相当，解法如下：

解法3：设过点P的切线PA方程为x-x₀=m(y-y₀)求解

解法4：用隐函数求导法则求切线斜率切入求解

解法5：运用二级结论抛物线在某点处的切线方程求解

思考：上述解法用的都是间接法求直线AB的方程，能否直接通过设直线AB的方程入手求解呢？回答是可以的，解法如下：

解法6：设切点弦AB所在直线方程为x=my+n求解

评注：上面对切点弦AB的方程给出了6种解法，对原点O到直线AB距离的最大值给出了两种解法，如若用圆锥曲线极点极线的理论还则可直接写出切点弦AB的方程。另外，注意到直线AB过定点利用几何法可以得出原点O到直线AB距离最大值的一个简单解法。

解法7：用圆锥曲线极点极线的性质可得简解

由圆锥曲线极点极线的性质知，切点弦AB所在直线就是点P对应的极线，其方程为y₀y=x+x₀，由此方程易知,当点P确定时，直线AB过定点D(-x₀,0),过点O作AB的垂线，垂足为E,则OE就是点O到直线AB的距离，由垂线段最短知OE≤OD=-x₀，由-3≤x₀≤-1，得1≤-x₀≤3，所以OE≤3，当x₀=-3时等号成立，即当点P的坐标为(-3,0)时，点O到直线AB的距离等于3最大。

根据以上解法，来一优化组合，给出一个高中生能接受的优美解法如下：

由此方程易知,当点P确定时，直线AB过定点D(-x₀,0),过点O作AB的垂线，垂足为E,则OE就是点O到直线AB的距离，由垂线段最短知OE≤OD=-x₀，由-3≤x₀≤-1，得1≤-x₀≤3，所以OE≤3，当x₀=-3时等号成立，即当点P的坐标为(-3,0)时，点O到直线AB的距离等于3最大。

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