​邹生书——湖北八市联考圆锥曲线压轴题解法探讨

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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【编者按】在高考和模拟考中，圆锥曲线大题大多放在倒数第二题的位置，函数大题最后压轴，而这次湖北八市联考一反常态，函数大题屈居倒数第二，让位圆锥曲线大题压轴试卷。事出有因，本卷函数大题难度不大，解法单一，放在最后压轴实在难以服众，而圆锥曲线大题第2问分设两小问，一小问为直线过定点问题，二小问为三角形面积最大值，均为重头戏，并且求三角形面积最大值用导数知识求解方为上策。另外，试题背景深厚，综合性强，问题涉及焦点弦、准线等。在考查知识的同时重点考查考生的综合素质和数学素养，考查探究能力和创新意识，以及运算求解能力。本卷压轴舍我其谁？非圆锥曲线大题莫属！

湖北八市联考圆锥曲线压轴题直线过定点

三角形面积最大值的解法探讨

湖北省阳新县高级中学      邹生书

（2）①法1：通过直线EN的方程求出定点P的坐标

由（1）知直线m的方程为x=-4, 焦点F(-1,0),依题意设直线MN的方程为：x=my+1,

法2：先定性再定量

即先根据对称性确定点P在x轴上，再用方程精准求出点P的坐标

由（1）知直线m的方程为x=-4,依题意由对称性知，P必在x轴上，F(-1,0),

法3：特殊引路，先探后证

依题意由对称性知，P必在x轴上，特别地，当直线MN与x轴垂直时，易知直线EN与x轴的交点就是线段HF的中点，其中H是直线x=-4的与x轴的交点，所以定点P的坐标为(-2.5,0).下面证明一般情形下N,P,E三点共线。

点评：上述三种解法要面对的一个共同点也就是问题能否解决的关键是：韦达定理非对称式如何处理？处理方法是：从根与系数关系得到的关于点M,N的纵坐标的和与积的关系出发，将m用这两点的纵坐标的和与积表示出来，将所求式子通过消去m实现两个纵坐标的非对称式向对称式子的转化，从而达到解决问题的目的。

法4：回归椭圆第二定义，几何助力轻松搞定

易知直线m:x=-4是椭圆的左准线，如图，分别过点M,N作直线m的垂线，垂足分别为E,G,设H为直线m与x轴的交点。设F₁N=r, F₁M=R,由椭圆第二定得,NG=2r,ME=2R.因为EM//F₁H//NG,由相似三角形性质及平行线分线段成比例定理得

所以PH=PF₁,即P为PF₁的中点，所以定点P的坐标为(-2.5,0).

当t=1时，m=0,直线MN与x轴垂直。

解法2：用椭圆圆第二定义切入求解

与第①问的解法4椭圆第二定义解法对应有此解法。如图，设直线MN的倾斜角为θ，且不妨设θ∈(0,π/2),设F₁M=R,F₁N=r,由椭圆第二定义得ME=2F₁M,即ME=MA+AE=MA+F₁H=Rcosθ+3=2R,

当t=1时，θ为直角，直线MN与x轴垂直。

评注：本小题也可直接用椭圆的极坐标方程求解。

点评：若用判别式或均值不等式求解三角形面积最大值则均无功而返，因为等号成立时t的取值不满足t≥1。判别式法或均值不等式求最值限制条件较多解法有局限性，而用导数求解最值则非常可靠，万无一失。

另解：由上面得到△OEN的面积为

θ为直角，直线MN与x轴垂直。

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