洪一平等——2021汕头市高三质量检测压轴题解法大比拼

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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2021汕头市高三质量检测压轴题

解法大比拼

福建      刘锋艺

河北邢台      霍忠林  

浙江省平阳中学     洪一平

湖北省阳新县高级中学     邹生书

22.已知f(x)=ae^x-ln(x+1)-1.

 (1)当a=1时, 求f(x)的最小值;

 (2)若f(x)≥ln(1/a)恒成立, 求a的取值范围.

解：（2）法1：用指对不等式e²≥x+1和x-1≥lnx放缩求解

评注：上面用指对不等式放缩求出的参数a≥1只是不等式f(x)≥ln(1/a)恒成立的充分条件，并非充要条件。

下面证明a≥1又是这个不等式恒成立的必要条件，则只要证明：

法2：同构等价转化求解   福建刘锋艺   提供

法3：同构法  浙江省平阳中学    洪一平  提供

由题设得ae^x +lna≥ln(x+1)+1, 即

e^x+lna +x+lna≥ln(x+1)+x+1=e^ln(x+1)+ln(x+1)恒成立,

设g(x)=e^x+x, 易知g(x)是R上的增函数,

且g(x+lna)≥g[ln(x+1)],得x+lna≥ln(x+1)恒成立,

即lna≥ln(x+1)-x恒成立, 易得[ln(x+1)-x]_max=0,

故lna≥0, 即a≥1.  

解法4：反函数法  洪一平  提供

解法5：变更主元法   洪一平  提供

设g(a)=f(x)+lna=ae^x+ lna-ln(x+1)-1,

a>0, x>-1,则"x>-1, g(a)是(0, +∞)上的增函数,

且g(a)≥0恒成立,由(1)知g(1)=e^x-ln(x+1)-1≥0,

故当a≥1时, g(a)≥g(1)≥0;

当0<a<1时, 令x=0, 则g(a)=a+lna-1<1+ln1-1=0,

即f(0)<ln(1/a).  

综上, a≥1.  

解法6：先必要后充分   河北邢台   霍忠林  提供

若f(x)≥ln(1/a)在x>-1时恒成立,

则f(0)=a-1≥ln(1/a),

得a+lna-1≥0,而g(a)=a+lna-1是增函数，

且g(1)=0,所以a≥1.

即a≥1是不等式f(x)≥ln(1/a)恒成立的必要条件。

下面证明a≥1是不等式f(x)≥ln(1/a)恒成立的充分条件。

当a≥1时，f(x)=ae^x-ln(x+1)-1≥e^x-ln(x+1)-1，

由（1）知e^x-ln(x+1)-1≥0，所以左边f(x)≥0，

而a≥1时，右边ln(1/a)≤0，故不等式f(x)≥ln(1/a)恒成立。

综上，a的取值范围是[1,+∝）。

下附原卷参考答案解法如下：

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