和数学家一样思考的10种方法

像数学家一样思考》是英国数学教授Kevin Houston的一本科普书，与作品相伴的还有一套简化版的PPT，如下:

01

质疑一切

在我看来，数学的真正美妙的地方之一在于它可以被检验；你不必把任何人的话当做圣经。如果有人给你说一些事情是真的，那你可以让他证明；最好是，如果你真的想同数学家一样思考，那你可以尝试主动证明它。不要等着有人拿勺子喂你；

对于一些人的话，你的反应应该是怀疑，并且试图去找到一个反例；即便是真的，这种对你的锻炼也是有益的，同时也能帮助我们对事情的判断力；（注意，在真实生活场景中过度这么做可能会失去朋友—— 一直挑别人的刺，谁都会不爽）

某报纸的一份来信说时间旅行从逻辑上是不可能的，因为如果时间旅行是可能的，那我们是会看到很多来自未来的人。我有一些想法来反驳这个逻辑：或许时间旅行只允许我们穿越到过去某点时间（比人类历史还要长）；或许时间旅行者不允许和我们交流；或许时间旅行有一个范围，能穿越的时间不超过一年，而时间旅行在数年后才出现（并且时间旅行的机器不能穿越）。

02

写下来

写下来？你可能会问，这跟和数学家一样思考有个啥关系。是这样的，语言是由一些论据构建的。高水平数学家的论据都是证明的形式（不仅仅是给出正确的数字答案）

学生通常看不到写下来的需要；他们常常说：’我来大学不是来写作文的’，’我已经知道正确答案了’，’你懂的’。他们的作业都是一些没有关系的符号堆砌但依然可以获取高分。但是，如果你想去理解数学并且思路清晰，通过写的练习可以迫使你对自己的观点想的更清楚。如果你不能正确的描述，那么很可能你并不是真正理解了你要表达什么。这是一个可以学习和发展自己技术的很好机会。其实写的一手好文章在任何领域都是很有用的技术。

彩蛋：一个提高自己数学写作和思考的方式是学会恰当的使用隐含符号  =》

03

试试逆？

语句A=>B是数学的核心，我们可以表述为如果A是真的，那么B就是真的；A=>B的逆就是B=>A，例如：”如果我是丘吉尔，那我是英国人”的逆是”如果我是英国人，那么我是丘吉尔”；这个简单的例子说明了，即便是一个语句是真的，那么其逆可能非真；可能真也可能非真，说之前要搞清楚；一个好的数学家，当提出一个A隐含B的语句时，通常会思考”其逆为真么？”，把这个问题印到脑子里，作为你和数学打交道的工具；然后，其逆是否为真并不是很重要，关键是磨练数学的能力；说个题外话，通常人们会犯一个大错误，就是当A=>B时，认为如果A非真的，那么B也非真的；这是不对的，这个语句只是在说当A为真是会发生什么，并没有说A非真时的情况。现在可以像一个数学家一样思考一下，给一个例子。

04

试着互逆

一条语句’A => B’ 的互逆是 ‘not B => not A’；

例如：

1）『如果我是丘吉尔，那么我就是英国人』的互逆就是『如果我不是英国人，那么我就不是丘吉尔』

2） 『如果我不是美国人，那么我就不是德克萨斯人』的互逆就是『如果我是德克萨斯人，那么我就是美国人』

3） 『x^2 – 4x – 5 = 0  => x >= -2』的互逆就是『x<-2 => x^2-4x-5 != 0』

A=>B的互逆命题和自身的真假惊奇的一致！也就是说，如果A=>B是真的，那么not A => not B就是真的，反之亦然。可以验证一下上面的例子。一开始可能很难在脑子里形成固有概念 – 其实大多数人都不相信；有一个著名的关于互逆的教育实验，叫做Wason的选择任务。可以看一看你是否能通过测试，只有不到10%的人通过了；

由于互逆经常用做证明，并且日常推理也经常搞错，所以你应该掌握。

05

考虑极端情况

面对一个命题，要在少量极端的假设情况下看看；如果需要的参数为0或者1会怎样？如果把需要的函数定义为f(x)=0会怎样？数据集为空呢？如果需要的序列为1，1，1，1。。。呢？直线或者圆会有什么结果？

这些例子可以帮我们更深刻的理解，意味着命题可以应用的场景；考虑一个极端的例子『如果Y=X^2，Z=Y^2，所以Z != X^2』。貌似Y和Y^2一般场景下是真的，但其实不然，比如Y=1，当X=1的条件下；

用一个极端的例子说明下列原理是错误的：

原理：假设a,b,c,d是正整数，如果ab=cd，a=c，那么b=d；

想给出好的极端例子需要积累，因此需要平时注意收集，用到的时候信手捏来，有一个训练方法，想象你正在酣睡，突然大半夜有人把你摇醒说：快！给我一个X的好例子，快！X可以是群组、向量、函数等数学对象。

06

构造自己的例子

真正的数学家创造自己的例子，不管是标准例子，极端例子还是非实例！让我们看看工作示例（例如过程、算法等）。

考虑到极大值和极小值在微积分中的标准。我们首先定义如何区别一个函数。然后将奇点定义为导数为零的点。其次，我们告诉我们奇点有3种类型：极大值、极小值和拐点。然后显示函数的二阶导数决定类型。在这些例子之后：这里有一个函数，这里是奇点的位置，这是奇点的类型。

学会方法后可以使用函数找到奇点类型，但如果我反过来问你，能否创建一个变量为x的函数f，函数的最大值和最小值分别为x=2和x=-6，这将是一个更加困难的考验。但在尝试这样做时，你可以学到很多数学知识。

因此，拿到计算方法后，您应该将其反转以创建新的问题。此外，如果你和你的朋友一起制造这些问题，那么你可以交换他们（交换的是问题，而不是朋友），并从中得到更多的实践。你也可以设置一个竞赛：看看谁能设置最难但还在解决范围内的问题。

07

假设用在哪里

学生们常对我说他们很难理解证明，这是正常的。因为证明的重点在于逻辑性和推导性，而不是提供洞察定理的陈述或它的证明是如何被发现的。普通学生在解题时面临的问题往往是“不知从何处入手”。因此，理解证明是学习成为数学家最困难的部分之一。

《像数学家一样思考》第18章的全部内容都是用各种方法来理解证明的，例如，把它分解成部分，把证据应用于一个例子。我们只考虑下面的技巧。

每个定理都有假设。例如，毕达哥拉斯定理假设我们有一个直角三角形。这些假设是证明的必要条件或背景。因此，可以从假设入手，积极寻找公式定理的应用方向，你将开始了解数学证明。

有些假设可能是隐藏的。例如，证明中往往会有“根据定理5.7，我们可以看到……”的字样，这说明定理5.7是我们需要的假设之一。（顺便说一下，如果一个定理在不同的证据中一次又一次地被使用，它一定是非常重要的，并且有潜力被用在你的证明中，所以要学好它。）

通过寻找假设，你将开始数学证明之旅，并将清晰地看到它是推导的过程以及构造，作为无偿的奖励，你也会加深对证明的理解。

08

从复杂的一面开始

从复杂的一面开始，这是我能够给出的，证明等式成立的最高秘诀。从更复杂的部分入手，通过替换来降低表达式另一端的难度。

09

问“如果有……那么会怎样”

好的数学家喜欢问：“假如我放弃这个假设会发生什么？通过思考这个问题，我们可以更好地理解为什么一个结果是正确的，或者为什么定义是这样的。有时我们可以通过弱化假设来创造一个新的定理！

10

交流！

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