数学模型是怎样描述传染病的?别担心,数学没学好也能看懂
在人类与传染病作斗争的漫长历史中,除了在一线救死扶伤的医生,还有一个特殊的群体为遏制疾病蔓延做出了重要的贡献,那就是数学家。
在大多数人印象中,数学是抽象而晦涩的,似乎和公共卫生完全搭不上关系。事实上,大家在面对传染病时遇到的问题,比如为什么接触过患病者的人需要被隔离、疫情爆发 1 个月后有多少人被感染、拐点什么时候能够到来,都或多或少可以从数学模型的角度来做出预测和解读。也正是依靠数学家对于传染病抽象化的研究,人们对于传染病的传播模式和严重危害有了更为深刻的认识。
对传染病建模的历史
用数学模型研究传染病的做法,最早可以追溯到 18 世纪初。那时候天花病毒正在肆虐欧洲,人们发现东方传入的人痘接种术似乎能够治愈这种疾病,但接种后仍有很高的死亡率,这引起了大数学家丹尼尔 · 伯努利(Johann Bernoulli)的注意。伯努利是流体力学的祖师爷,同时也学过一点医学,听说了天花接种的疗法后,他便开始琢磨怎么用数学去描述天花的传播以及接种的功效。
数学家丹尼尔 · 伯努利 | Wikimedia Commons
受限于时代,伯努利的想法比较朴素,他将人群分成感染者与未感染者,感染者既有可能治愈变成未感染者,也会因病死亡。伯努利的高明之处在于,他考虑了人的年龄也就是时间因素,假定疾病治愈率与研究人群的年龄段相关,以此建立了数学方程。
伯努利的模型类似于后来的 SI 模型
是最为简单的传染病模型之一 | 参考资料 [ 3 ]
经过一番计算研究,伯努利得出结论:尽管有一定风险,人痘接种在统计上仍然能让人的寿命延长 3 年左右。
虽然以现在的眼光看,伯努利的研究一点也不严谨,得出的结论也是显而易见的(接种疫苗有助于控制疾病传播),人痘接种术在牛痘疫苗出现后也几乎销声匿迹,但伯努利是第一个尝试用数据和方程去分析传染病传播趋势、判断控制措施有效性的数学家,这种科学思维在那个人类完全被传染病支配的时代显得尤为珍贵,直到今天仍然是用数学方法研究传染病的最基本思想。
牛痘疫苗为人类消灭天花做出了重要贡献 | The Conversation
100 多年后的 20 世纪初,用数学模型研究传染病的方法(后来发展为一门叫 " 数理流行病学 " 的学科)迎来了飞速发展,这很大程度上要归功于苏格兰军医麦肯德里克(Anderson Gray McKendrick)和生物化学家威廉 · 克马克(William Kermack)。
提出 SIR 模型的麦肯德里克和克马克 | 参考资料 [ 4 ]
麦肯德里克曾在印度服役,当时印度鼠疫横行,夺去了数十万人的生命。然而与大多数医生钻研医术不同,麦肯德里克竟然 " 不务正业 ",把很多心思放在了研究数学方程上,并发现鼠疫的感染人数趋势和数学的某些函数曲线非常相像。
从印度回国后,他与生物化学家威廉 · 克马克(William Kermack)合作,开始对鼠疫爆发的患病人数、患者生存天数等数据进行分析,最终提出了数理流行病学中里程碑式的模型:SIR 模型。直到今天,绝大多数从数学角度分析传染病的研究都或多或少有这个模型的影子。
西班牙流感等传染病在 20 世纪初肆虐全球
造成数以亿计的伤亡 | Wikimedia Commons
如何用 SIR 模型描述传染病?
SIR 模型的基本概念并不难,即使完全没学过数学也能看懂:
S 代表 Susceptible,易感者,也就是可能被传染但还没有感染的人;
I 代表 Infected,感染者,即已经被传染但尚未死亡的人;
R 代表 Removed,移除者,他们有可能被感染后痊愈了,也有可能是因病死亡。
当然还有一个样本人数不变的假设,也就是易感者 + 感染者 + 移除者的人数之和假定不变。
SIR 模型示意图 | Perception Heallth
有了这样一个数学模型,我们需要研究三个群体随时间的变化趋势——比如说,第 1 天有了 3 个感染者,到了第 10 天会有多少人感染?因痊愈或死亡产生的移除者又会有多少个?
为了求出不同人群与时间的关系式,数学家引入了一组微分方程。它看起来很复杂,但这个唬人的玩意儿本质上和解 "2+x=4" 是一个道理,数学家的任务就是解出这个复杂方程里的 S、I、R 与时间 t 的关系函数。
微分方程解出来的结果不一定能用数学式子来表示,一般来说我们更习惯用下面这样的图像表示 SIR 模型的传染趋势:横轴代表时间,纵轴代表群体的人数。你可以很直观的看到,I 代表的感染者数量随时间迅速增长,S 代表的易感者相应变少,最后的结果是大部分被 " 移除 " 了(可能是治愈或者是病死),不再存在感染者。
数学建模的作用
说到底,我们为什么要想方设法找到准确的数学模型来描述传染病呢?最重要的一个原因是,我们希望以此定量评估可能的感染人数和感染速度,并且分析出更为有效的防疫治疫措施。
在家隔离,是大家近来最熟悉的防疫措施,怎样用数学模型证明隔离能有效控制疫情传播呢?不妨假设有一个 1000 人的群体,其中有一个人不幸感染病毒后开始传播。在 COSMOL 等仿真软件里输入 SIR 模型的数学方程,可以得到下图的结果:未感染病毒的人数(蓝色曲线)不断下降,疫情在第五天达到顶峰,感染者数量(绿色曲线)达到总人数将近一半。
数学模型也能对不同的疾病控制措施的效果进行评估。2013 年埃博拉疫情在非洲爆发,英国开始对来自高风险国家的入境人员进行筛查。然而有团队在建立数学模型后发现,只有 7% 的埃博拉感染者可能在国家边境被发现,加上病毒潜伏期也比较长,病毒携带者初期可能并没有表现出任何症状,最有效的措施还是在病毒发源地对感染者(以及疑似感染者)进行隔离来遏制病毒传播。正是通过这样的方式,数学模型在遏制传染病传播起到了越来越重要的作用。
文章选自:培杰国际数学文化
2011—2019年新课标全国1卷理科数学高考分析及2020年高考预测(含Word)
1
往期精选
部分文章推荐阅读,点相应标题即可跳转阅读全文,更多优质文章,可关注《妙解之慧》后,查看历史消息。
28:章建跃:注重数学的整体性,提升系统思维水平(含PPT)
公众号里大约有1800篇优质文章,需要查看的朋友,可关注公众号,查看历史消息,今后持续更新。
目前设有初高中教师交流群,群里不定期公益分享一些优质的学习资源,不作任何利益,想要进群交流的朋友可,长按并识别下方二维码,添加微信,备注地区身份,通过验证后,回复需要进的群。
一点数学学习方法:
水有源题有根,茫茫题海寻根悟法方是岸,若将形形色色的试题分门别类,剖析其相似,相关性,同源性。探索一题多解,尝试一题多变,感悟多题共法,多做一些;基础和能力,运算和思维都好的秒题,再从解法探究,一般推广,类比延拓三个方面展开,深度研究,意在学会分析题意,转化问题,追根溯源,触类旁通,从静态的文本俩都想到动态的思维活动,把数学冰冷的美丽里,变成火热的思考,就能举一反三,跳出题海,精学一题,妙解一类,固化于型,内化于心,达到事半功倍,融会贯通,高效学习的目的!更多精彩内容,可长按并识别下方二维码,关注后查看历史消息。