如何优雅地证明平方差公式？
聊点儿轻松的：）
出一个初中数学题：平方差公式怎么证明？
即，如何证明：a² - b² = (a + b)(a - b)
这个问题，在我们初中学习的过程中，证明思路大概是这样的：
首先，我们知道了多项式和的乘法公式，即：
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
然后，我们就可以把c = a，d = -b带进这个公式：
(a + b)(a + (-b)) = a*a + a*(-b) + b*a + b*(-b)
注意，中间的两项，a*(-b) 和 b*a 是相反的，所以可以消掉，就剩下了两项。a*a 和 b*(-b)，即 a² - b²
所以我们证明出了：(a + b)(a - b) = a² - b²
当然，我们整个推导过程，每一步都是”等价于“，所以从左推到右和从右推到左都是可以的。我们就有了：
a² - b² = (a + b)(a - b)
上面的证明，是一个典型的代数证明。但是，代数证明的缺点是：太过抽象。
实际上，平方差公式有一个优雅的几何证明方式：）
因为一个数字的平方，就对应于以这个数字为边长的正方形的面积。
所以，我们可以想象：a² 是一个大正方形的面积；b² 是一个小正方形的面积。我们将两个正方形这么摆：
很显然，我们要求的 a² - b²，就是蓝色部分面积。
我们添加一条辅助线：
很显然，下面绿色部分的矩阵，面积是(a - b) * b；上面蓝色部分的矩形，面积是(a - b) * a。
我们要求的 a² - b²，就是把橙色部分的 b*b 的正方形扔掉，蓝色和绿色两部分面积之和。
由于这两个矩形，都有一个边是 a - b 这么长，我们可以把它们合起来。就是这样的：
这个矩形整体的面积是什么？就是 (a + b)(a - b) 啊！
得证：a² - b² = (a + b)(a - b)
对了，这篇文章的配图都是我在ipad上手绘出来的，允许我炫耀一下
很多代数表达，都有很优雅的几何证明方式。
通常，几何证明的缺点是，有局限性。比如，在上面的证明中，其实隐含了很多假设：我们的a和b都必须是正数，同时，a还要比b大。但我们知道，平方差公式，是对任意数，甚至是复数，都成立的。
但是，几何证明最大的优点，是直观。它能帮助我们迅速将抽象的代数表达和具体的图形之间建立联系，帮助我们”看到“代数式到底在表达什么意思。
对于很多数学问题，直观的几何表达都能轻易帮助我们更快速的理解，之后，我们也能轻松将代数表达推广到更抽象的范围，比如数字是负数或者复数的情况：）
是不是很酷？
有机会，再向大家介绍更多代数问题的几何证明：）
大家加油！：）
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