高中数学新授课课堂实录：三角函数的诱导公式（视频）及教学设计

本节教学内容是三组三角函数诱导公式的推导过程及其简单应用.承上，有任意角三角函数正弦、余弦和正切的定义、三角函数线、同角三角函数关系、诱导公式（一）等；启下，学生将学习利用诱导公式进行任意角三角函数的求值化简以及三角函数的图象与性质（包括三角函数的周期性）等内容.同时，学生在初中就接触过对称等知识，对几何图形的对称等知识相当熟悉，这些构成了学生的知识基础.诱导公式的作用主要在于把任意角的三角函数化归成锐角的三角函数，体现了把一般化特殊、复杂化简单、未知化已知的数学思想.

目标定位

诱导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，但是随着计算器的普及，上述意义不是很大.我们认为，诱导公式的教学价值主要体现在以下几个方面：

第一，感受探索发现，通过几何对称这个研究工具，去探索发现任意角三角函数间的数量关系式，即三角函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性质）的代数解析表示.

第二，学会初步应用，能够选用恰当的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数问题并求解.

第三，领悟思想方法，在诱导公式的学习过程中领悟化归、数形结合等思想方法.

第四，积累数学经验，为学生认识任意角的三角函数既是一个起源于圆周运动的周期函数又是研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”做好准备.

课型 新授课

二、教学设计分析

在进行本课教学设计时，有以下两条典型教学路线可供选择：（1）两个角的终边有哪些特殊的对称关系？（2）怎样把非第一象限的角转化为第一象限的角？笔者最终选择了第一条路线，主要基于以下两点考虑：

尊重教材的编写方式：从对教材的分析来看，教材将三角函数作为一种数学模型来定位，力图在单位圆中借助对称性来考察对应点的坐标关系，从而统整各组诱导公式.教材的编写处理体现了教材专家的集体智慧和版本教材的一贯特色，教师应该努力体会和把握，不宜轻率抛开教材另搞一套.

切合学生的认知水平：利用学生熟悉的圆及其对称性研究三角函数的相关性质，符合学生的认知心理.同时，单位圆及其对称性的表象对学生推导诱导公式、理解公式之间的内在联系、形象记忆三角函数诱导公式都将起到事半功倍的效果.

三、教学目标分析

（一）教学目标

知识与技能

1.能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式；

2.能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题.

过程与方法

1.经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力；

2.通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力.

情感态度与价值观

1.通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度.

2.在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神.

（二）教学重点、难点

教学重点：探求π－a的诱导公式.π＋a与－a的诱导公式在小结π－a的诱导公式发现过程的基础上，教师引导学生推出.

教学难点：π＋a，－a与角a终边位置的几何关系，发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”.

四、教学方法

问题教学法、合作学习法

五、教学准备

教具：三角尺、多媒体课件（几何画板）

学具：圆规、三角尺

六、教学程序

基于以上分析，我们确定了如下的本节课教学路线图：

围绕这个教学路线（当然也是学生的研究路线），我将教学分成6个环节并设计成问题串的形式，通过这些问题解构教材，让学生学习数学知识，培养数学能力，体会数学思想，积累数学经验。

教学过程设计

环节1 问题提出

如何利用三角函数定义求任意角三角函数.

教师活动：同学们，我们已经将角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值怎么求呢？先看一个具体的问题：求的正弦值.

学生活动：学生利用结合任意角三角函数定义自主探究并回答问题.

【设计意图】前面的学习中，已经将角的概念从锐角扩充到了任意角，学习了任意角三角函数的定义，接下来自然地会提出任意角的三角函数值怎么去求.于是，先安排求特殊值再过渡到一般情形比较符合学生的身心特点和认知规律，意在培养学生从特殊到一般归纳问题和抽象问题的能力，引导学生在求三角函数值时抓坐标、抓角终边之间的关系.

环节2 尝试推导

如何利用对称推导出角π- α与角α的三角函数之间的关系.

教师活动：

利用三角函数定义，我们得到，请大家回忆一下哪一个锐角的正弦值也等于？

并引导学生利用定义验证.

通过交点的横纵坐标关系，进而得到：

教师活动：

〖思考〗请大家回顾一下，刚才我们是如何获得这组公式(公式三)的?

学生活动：学生小组讨论并回答问题

教师活动：师生共同总结

因为与角α和角π-α终边关于y轴对称且单位圆也关于y轴对称，利用这种对称关系，得到它们的终边与单位圆的交点的纵坐标相等，横坐标互为相反数.于是，我们就得到了角π-α与角α的三角函数值之间的关系:正弦值相等，余弦值互为相反数，进而，就得到我们研究三角函数诱导公式的路线图：角的数量关系→终边及圆的对称关系→交点的坐标关系→三角函数值间关系.

【设计意图】阶段小结，让学生将对称作为研究三角函数问题的一种方法使用.将上述研究过程进行梳理，得出“角的数量关系→终边及圆的对称关系→交点的坐标关系→三角函数值间关系”的研究路线图.

环节3 自主探究

如何利用对称推导出π+ α与α，- α与α的三角函数值之间的关系.

教师活动：

刚才我们利用单位圆，得到了终边关于y轴对称的角π-α与角的三角函数值之间的关系，我们常见的对称关系中还有什么情况？

学生活动：学生回忆相关知识并回答问题

教师活动：

两个角的终边关于 x轴对称, 这两个角有怎样的数量关系?三角函数值之间呢？两个角的终边关于原点对称呢？

学生活动：学生以小组为单位讨论后，分组汇报并给出论证思路

教师活动：上面的公式一到四都称为三角函数的诱导公式，他们有什么特征呢？

结论：的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．总结为一句话：函数名不变，符号看象限

【设计意图】从两个角的终边关于y轴对称的情况进行自然过渡，给学生留下了自主探究的空间，让他们再次经历公式的研究过程，从而得出公式二和四，并将问题2研究方法一般化.

环节4 应用提升，小试牛刀

例：求下列各三角函数值：

(1) ；

(2) ；

（3）

学生活动：学生独立动脑思考，完成说理，其中后两小题由学生板演

教师活动：师生共同分析，再作评价

教师活动：通过练习，你能体会出这四组公式的作用吗？

教师活动：师生共同分析

用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:

例2 化简：

【设计意图】初步熟悉诱导公式的使用，让学生感悟在解决问题的过程中，如何合理地使用这几组公式.此外，引导学生注意同一个三角函数的求值问题可以采用不同的诱导公式，启发学生这些公式的内在关系和联系，体会数学方法的多样性.

环节5 回顾反思

教师活动：请你选择下面一个或几个关键词谈一谈研究的过程中的体会：

知识、方法、思想、收获、喜悦……

学生活动：知识上，学会了四组诱导公式；思想方法层面：诱导公式体现了由未知转化为已知的化归思想；诱导公式所揭示的是终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系.主要体现了化归和数形结合的数学思想.

【设计意图】开放式小结，使得不同的学生有不同的学习体验和收获.这些问题的提出，侧重于诱导公式推导方法的回顾和反思，侧重于个体情感体验的分享和表达，从而区别于侧重公式规律的总结和记忆.

环节6 分层作业

1.阅读课本23-24页，体会三角函数诱导公式推导过程中的思想方法；

2.必做题：必做题课本27页第1、2、3题；

3.选做题：

角α和角β的终边还有哪些特殊的位置关系（比如关于y=x,y=-x对称）你能探究出它们的三角函数值之间的关系吗？

【设计意图】分层作业有利于不同层次的学生巩固知识，提升思维能力.阅读课本旨在引导学生教科书是学习的根本，阅读课本有利于培养学生良好的回归课本的学习习惯.而出现选做题目，目的是提供多元化和挑战性选择，促使学有余力的学生课后思考和自主探究几组公式之间的内在联系.

板书设计

七、教后思考分析

1．关于设计定位的反思

就三角函数的诱导公式来说，教学设计定位时一般会出现以下几种倾向：其一，定位于知识的学习，学生知道存在一些公式，可以将任意角的三角函数进行一些转化。其二，定位于公式的学习，学生努力分析和总结各组公式的形式规律，背诵“函数名不变，符号看象限”等口诀，追求灵活运用等解题能力的提高。公式理解强过公式记忆。关于公式规律的总结和口诀的记忆，当然很重要，但这不是第一节课的重点内容。此外，采用本课的利用对称性的方法来学习诱导公式，可以通过图形的对称性来形象记忆，可以减轻学生记忆负担，规避死记硬背现象的发生。其三，聚焦诱导公式的推导过程，强调对公式产生的过程的深入理解。其四，在关注知识学习的同时，渗透数学思想方法的理解和领悟。本课主要涉及数形结合、从一般到特殊或从特殊到一般、模型思想、化归思想、追求简易等数学思想方法。我们认为新授知识是很重要的，而数学思想方法是蕴含其中的，应该潜移默化地渗透，不能贴标签，更不能因为数学思想方法的重要而喧宾夺主地过渡渲染。

2．关于教学难点的突破

1）本节课的难点在于从问题2出发，发现关于y轴对称的三角函数诱导公式，从而总结出研究线路图。从对教材的分析来看，教材将三角函数作为一种数学模型来定位，力图在单位圆中借助对称性来考察对应点的坐标关系，这样处理的好处是简化了任意角的象限分类和化归，起到了利用直观的对称这个工具和研究手法去研究诱导公式的变化规律的目的，揭示了代数和几何的有机结合和统一。

2）α任意性循环上升。在这节课中，角α的任意性是一个教学难点，为此我们设置了三个点：（1）问题2中非30°不可吗？任意角α行不行？（2）几何画板拖动演示感受角α的任意性。（3）习题中进一步深化学生认识。随着学生学习的深入，对这个问题还会有进一步的认识。事实上，有许多同学在一开始是将角α当成锐角去处理的，但我在教学中不过分强调角α的任意性，因为对待数学知识的教学不能一步到位，不应毕其功于一役，而应循环上升，力求顺其自然，水到渠成。

3．关于问题串的设置调控

在本节课中，我们将教学设计成以一以贯之的问题串形式，通过这些问题串起相互关联的数学问题，使学生学习知识，形成能力，发展认知。我在设计过程中，尽量将问题的难易程度定位在学生的最近发展区内，问题的设计从思维的角度来说具有一定的开放性，使得学生可以从不同的角度来思考；问题的设计从解决的难度来说具有一定的层次性，使得不同的学生尽量愿意提出自己的见解。教师通过问题串的这个脚手架便于组织教学，并和学生形成互动，促进学生在学习知识的同时形成网状知识联结。实践证明，问题串的使用让教学组织有章可循，内容推进自然而不造作，完整而不破碎。

研讨素材二

“三角函数的诱导公式(第1课时)”

教学设计

授课教师：天津市静海第一中学李月英

一、教学内容与内容解析

“三角函数的诱导公式”是普通高中课程标准实验教科书人教A版必修4第一章第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六，是三角函数的主要性质.学生在前面已经学习了诱导公式一和任意角的三角函数的定义，这节课在此基础上，继续学习公式二至公式四.三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，利用对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得“数”与“形”得到紧密结合，成为一个整体.通过简单问题的提出、诱导公式的发现、问题的解决，体会由未知到已知的转化，为以后的三角函数求值、化简、简单证明以及后续学习的三角函数图像和性质等知识打好基础．

诱导公式的主要用途是把任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值.诱导公式的推导过程，体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化”的数学思想方法，反映了从特殊到一般的归纳思维形式．对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有积极的作用. 诱导公式的学习和推证过程还体现了三角函数之间的内部联系，是定义的延伸与应用，在本章中起着承上启下的作用.

本节课的重点是诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单函数式的求值与化简，提高对数学知识之间（圆的对称性与三角函数性质）联系的认识，把过去渗透在具体数学内容中的重要的方法以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们.

二、教学问题诊断分析

在教师的组织和引导下学生以自主探索、动手实践、合作交流的方式进行学习.在学习中了解和体验公式的发生、发展过程，让学生领会到诱导公式是前面三角函数定义、单位圆对称性等知识的延续和拓展，应用迁移规律，引导学生联想、类比、归纳推导公式.

在教学中可能会遇到如下几个问题：

1．在利用多媒体引导学生从特殊到一般的学习过程中，部分学生认为只要记住公式，会做题就可以，对公式的推导重视不够.为了尽量避免这种情况的出现，我采用小组讨论制，考虑到学生的个体差异，把“强”、“中”、“弱”合理搭配，安排组长监管收集讨论的结果，记录收集每一阶段的过程材料.

2．角的任意性，怎样向学生交代清楚是这节课我一直思考的问题.为了解决这个问题我自己利用几何画板制作教学课件，通过用角终边的任意一点的拖动，显示三角函数值在各个象限的变化，让学生明白角不局限为第一象限的角，它具有任意性，从而突破了难点.

3．公式的记忆也是个难点.特别是十字口诀更是理解不深.对于幻灯片中的公式，教师对照几何画板课件逐字逐句的分析，让其明白公式中的角是任意的，而记忆时将其看成锐角.另外，反思学习过程时，体会角的终边的对称性与三角函数值之间的关系也有利于公式的记忆.

三、目标和目标解析

（一）教学目标

1.能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出诱导公式,会利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值与化简.

2.通过诱导公式的推导过程，体会数形结合及转化思想的运用.

3.培养学生由特殊到一般的归纳意识，学会用联系的观点看待问题.

（二）目标解析

在初中学生已经学习过关于原点、x轴以及y轴对称的点的坐标的内在联系，并且前面学生能运用三角函数的定义和公式一进行三角函数求值，但对于任意角的三角函数之间存在的联系还不清楚，或者只有一点模糊的感性认识．数学课程标准强调：“学生要获得必要的数学基础知识和基本技能，理解数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用．通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程．”所以，根据课程标准、教材的特点、对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标．

根据教学内容的结构特征及教学目标，本节课采用了“问题——发现——归纳——类比”的教学方法和“自主探究——小组合作”的学习方式.由问题驱动，通过诱导公式二至四的探究，概括得到诱导公式的特点，提高对数学内部关联的认识，理解求任意角三角函数值所体现出来的化归思想，培养学生的探究能力.

教学目标实现过程：

1．利用已有知识导出新的问题，创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的.

2．由特例与30°与30°，与30°的关系提出问题，启发学生的思维，引导他们分析角的终边对称关系，利用定义进行推导得到公式二，再利用多媒体动态演示，使学生对“为任意角”的认识自然合理.之后如法炮制公式三、四，通过联想，类比、方法迁移，学生很轻松的发现公式，每小组积极发言并且通过实物展台展示交流，发现任意角与，，三角函数值的关系，体会了从特殊到一般的归纳推理过程，使学生的思维得到科学训练，有助于培养学生的概括能力和创新能力.

3．采用问题设疑，观察演示，步步深入，逐层引导，探究合作的教学方法，旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律（公式），培养学生的创新意识和创新精神.通过引导学生探索并发现公式，将发现与证明合为一体，体现了“数形结合”的思想方法.

4．通过例1和变式，把诱导公式（一）、（二）、（三）、（四）的应用进一步拓广，发展学生的思维能力和计算能力.例2的扩展让学生认识到公式的实用性和学习的必要性.

本节课的教学设计力求体现 “问题性”、“科学性”与“思想性”，以多媒体为辅助手段，采用教师为主导学生为主体的启发式与探究式相结合的方法，使学生快乐地学习.

三、教学支持条件分析

在进行本节课的教学时，学生已经学习了三角函数的定义、各象限角的三角函数值的符号和公式一，这些内容是学生理解、归纳公式二至公式四的基础，因此教学时应充分注意利用这一有利条件，引导学生多进行归纳与概括.另外，信息技术的使用也为突破教学难点、启发学生思维、增加课堂容量提供了有力的支持.

五、教学过程设计

（一）创设问题情境

师生活动：教师提问，学生思考、回答，学生口述的同时，教师加以引导并用幻灯片展示．

问题1：

（1）各象限内三角函数值的符号是什么？（只讨论正弦、余弦、正切）

（2）任意角的三角函数的定义是什么？

（3）公式一的内容与作用是什么？

问题2:已知如何求的值.

教师引导：能否再把0°～360°间的角的三角函数，化为我们熟悉的

0°～90°间的角的三角函数问题呢？这节课我们就来学习和研究这样的问题.

【设计意图】通过复习旧知，为新知识的学习打下基础.特别是各象限三角函数的符号，对于诱导公式记忆起关键作用.提出的新问题，引导学生进一步思考，激起学生们的兴趣.

(二)探索开发新结论

教师引导：为了解决以上问题，我们采用各个击破的方法.首先看，如果我们知道一个任意角与(＋)三角函数值的关系，问题就解决了.

探究一：任意角与(＋)三角函数值的关系.

问题3：

①与 (＋)角的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称）

②设与(＋)角的终边分别交单位圆于点P₁，P₂，则点P₁与P₂位置关系如何？（关于原点对称）

③设点P₁(x，y)，那么点P₂的坐标怎样表示？（P₂(－x，－y)）

④sin与sin(＋)，cos与cos(＋)，tan与tan(＋)的关系如何？

经过探索，归纳成公式

------公式二

【设计意图】公式二的三个式子中，是第一个解决的问题，由于方法及思路都是未知的，所以采取教师引导，师生合作共同完成办法．通过脚手架式的层层提问，引导学生自主推导诱导公式二，让学生体验证明猜想的乐趣，凸显学生学习的主体地位.同时，试图通过环环相扣的问题给学生传递“由宏观到微观考虑问题”的思维习惯，从而达到“授人以渔”的目的.后两个均由学生类比讨论完成．

学生活动：小组讨论，代表发言交流．

问题4：公式中的角仅是锐角吗？

【设计意图】课前提问的问题是以引入的，之后的讨论只是用代数方法换成了一般形式的角，有些同学肯定会有这样的疑问，所以这个问题的解决好，就是突破难点的关键.引导学生互相讨论，交流可以使学生记忆更深刻.

师生活动：演示几何画板课件，首先作出第一象限的任意角，之后得到相应的三角函数值，拖动其终边上任意点，再让学生观察每一象限内三角函数值的符号和它们之间存在的对称关系，从而验证了猜想，使学生更好的理解了这个公式．

【设计意图】通过多媒体演示，发现变化规律，从而总结出三角函数的诱导公式．

类比第一个问题的解决方法，我们再来解决后面的两个问题.观察，由公式一知的终边与的终边相同，所以我们必须知道一个任意角与(-)三角函数值的关系.

探究二：任意角与(-)三角函数值的关系.

问题5：

①与(－)角的终边位置关系如何？(关于x轴对称)

②设与(－)角的终边分别交单位圆于点P₁，P₂点P₁与P₂位置关系如何(关于x轴对称)　　

③设点P₁(x，y)，则点P'的坐标怎样表示？[P₂(x，－y)］

④sin与sin(－)，cos与cos(－) ，tan与tan(－)关系如何？

经过探索，归纳成公式

-------------公式三

【设计意图】通过学生自主探究与合作交流，完成由角的终边点的对称性得到公式的过程，充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望，让他们既动脑又动手，让学生参与教学活动.让学生体验数与形的关系，尝试自主探究的乐趣.

教师引导：那，我们须知与(－)的三角函数值的关系，同学们继续发挥聪明才智解决它吧！

探究三：与(－)的三角函数值的关系．

问题6：

①与(－)角的终边位置关系如何？(关于y轴对称)

②设与(－)角的终边分别交单位圆于点P₁，P₂点P₁与P₂位置关系如何？(关于y轴对称)　　

③设点P₁(x，y)，则点P'的坐标怎样表示？[P₂(-x，y)］

④sin与sin(－)，cos与cos(－) ，tan与tan(－)关系如何？

经过探索，归纳成公式

------公式四

【设计意图】与探究二的教法相同，学生分组讨论，尝试推导公式，教师巡视，及时反馈、矫正、讲评．采用合作学习有助于观察的多种方式的呈现，通过学生多角度的观察所得到结论的交流，让学生感受数学美和发现规律（公式）的喜悦，激发学生更积极地去寻找规律、认识规律.同时让学生感受到只要做个有心人，发现规律并非难事.

(三)总结概括新结论

师生活动：为了更好的使学生们把自己的研究成果记忆牢靠，师生共同大声朗读这四组公式.

三角函数的诱导公式

公式一：

公式二：

公式三：

公式四：

说明：公式中的指使公式两边有意义的任意一个角．

问题7：你能用一句话概括公式一、二、三、四吗？

为了让学生更好的记忆公式，通过幻灯片展示，猜想验证，如果把角看成锐角，分别位于第一、二、三、四象限，由课前提问各象限内三角函数值的符号，学生可以试着叙述.

师生活动：总结概括公式一、二、三、四：

的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.公式特点：“函数名不变，符号看象限”

【设计意图】逐步理解十字口诀含义，并且训练学生的概括能力.

(四)巩固应用结论

例1 求下列三角函数值：

师生活动：学生板书，教师巡视，纠正错误．

（1）；（2）；（3）；（4）

分析：先将不是0～范围内角的三角函数，转化为0～范围内的角的三角函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到～范围内角的三角函数的值.

解：（1）．

（2）．

（3）．

（4）

=．

问题8：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是什么？（学生大胆说，互相讨论）

①化负角的三角函数为正角的三角函数；

②化大于的正角的三角函数为0～内的三角函数；

③化0～内的三角函数为锐角的三角函数．

变式：已知是第三象限的角且，求，（学生口答）

【设计意图】在得到诱导公式后，在此让学生独立去实践解决问题，，一般情况下，1、2小题都能很快解决，只是到了第3、4小题时，条件变化稍复杂一些，同学们就会出现思维障碍，需及时引导他们去进行角的转化，在实践中体会诱导公式在解题过程中的应用，使任意一个角都转化为他们所熟知的锐角，体会从未知到已知的化归思想，从而为总结出解题的一般步骤埋下伏笔.变式是为了让学生进一步理解公式中角的任意性而设立.

例2 化简．

（学生板书）

解：，

，

所以原式=．

变式：已知，求的值.

【设计意图】在例题的选取与设计上，主要体现“由易到难，由简单到复杂，层层推进”的想法，例1体现在求值上，例2主要体现在化简上，使学生明白公示的应用所在.变式需要利用诱导公式进行一下变形再求值，对于初学者有点难度，需要教师从旁指导.练习是递进，体现化归思想、整体思想、使学生思维得到锻炼，体验学习的乐趣，从而达到初步掌握知识应用的目的.

(五)课堂小结

问题9 ：通过这节课的学习，大家有什么收获吗？主要提示从以下三方面（由学生完成）

1．四组诱导公式及公式的记忆方法

2．求任意角的三角函数的步骤：

上述过程体现了由未知转化为已知的化归思想.

3．公式中的的任意性.

【设计意图】通过提问的形式，引导学生概括归纳已有知识，发现知识规律及其结构特征，形成知识系统；深化对诱导公式内涵和实质的理解，挖掘知识形成过程中所体现归纳和转化的思想方法，形成知识网络和方法网络，培养学生的抽象概括能力，．

（六）作业布置：

1．思考题

给定一个角，终边与角的终边关于直线对称的角与角有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？能否证明？

2．27页练习2、3

【设计意图】通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力；思考题的设置为了下节课学习公式五、六做预习准备的.教会学生利用所学知识进行数学学习，这是本节内容的一个提高与拓展.

研讨素材三

课题：1.3三角函数的诱导公式

(第1课时)

授课教师：敦化市实验中学张丽梅

教材：人教A版高中数学必修四

Ⅰ．教学内容解析

本节课的教学内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式四，是三角函数的主要性质。前面学生已经学习了诱导公式一和任意角的三角函数的定义，在此基础上继续学习公式二至公式四为下节课研究公式五，公式六以及以后的三角函数求值、化简打好基础。三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，利用对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得“数”与“形”得到紧密结合，成为一个整体.诱导公式的学习和推证过程还体现了三角函数之间的内部联系，是定义的延伸与应用，在本章中起着承上启下的作用.

诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值.诱导公式的推导过程，体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化”的数学思想方法，反映了从特殊到一般的归纳思维形式．对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有积极的作用.

本节课的重点是诱导公式的探究，即利用三角函数的定义借助单位圆，通过寻找角的终边的对称性与角终边与单位圆交点的对称性发现并推导出诱导公式，从而提高对数学知识之间（圆的对称性与三角函数性质）联系的认识。

Ⅱ．教学目标设置

1.能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出诱导公式,会利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值与化简.

2.学生经历自主探究发现问题（任意角的三角函数值与的三角函数值之间的内在联系），提出研究方法（利用坐标的对称关系，从三角函数的定义得出相应的关系式）并完成推导过程，体会数形结合及转化思想的运用.

3.在探究活动中，学生通过独立思考和合作交流，发展思维，从探索中获得成功的体验，感受数学中结构的对称美，形式的简洁美。

Ⅲ．学生学情分析

授课班级学生敦化市实验中学实验班学生．

1.学生已有认知基础

学生已经学习了三角函数的定义、各象限角的三角函数值的符号和公式一，这些内容是学生理解、归纳公式二至公式四的基础，推导公式的关键是明确单位圆上对称点的坐标关系，这一点对于实验班的学生来说是可以独立完成的，学生数学基础与思维能力较好，具有一定的分析问题和解决问题的能力，初步养成了独立思考、合作交流的学习习惯．

2.难点及突破策略

难点：

1、如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现问题，提出研究方法。

2、怎样帮助学生理解公式中角的任意性。

3、怎样记忆公式二至公式四

突破策略：

1.教师通过复习任意角三角函数的定义先引入单位圆，引起学生对单位圆这一有效工具的注意，从总体上认识研究的目标与手段．

2.教师利用几何画板的演示帮助学生直观感受的任意性。

3.通过小组内交流，组间相互补充，展现思维过程后师生共同归纳概括公式的记忆方法。

Ⅳ．教学策略设计

根据学生已有学习基础，为提升学生的学习能力，本节课的教学，采用自主学习方式．通过教师引领学生经历诱导公式二至四的推导过程，认识研究的目标与策略，在研究的过程中逐渐完善研究的方法与手段。

本节课学生需探究的问题如下：

给定一个角:

(1)角的终边与角的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？

(2)角的终边与角的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？

(3)角的终边与角的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？

(4) 诱导公式一至四的共同特征是什么，怎样记忆更容易？

Ⅴ．教学过程设计

（一）.创设问题情境

师生活动：教师提问，学生思考、回答，学生口述的同时，教师板书问题的结果。

问题1：（1）我们是怎样利用单位圆定义任意角的三角函数的？

（2）终边相同角的各三角函数之间有什么关系？

问题2:

sin390°=？

那sin570°=？

教师引导：由公式一可将sin570°化为sin210°，210°虽然在0°～360°之间可是也不能直接获得其三角函数值，能否再把0°～360°间的角的三角函数值化为我们熟悉的

0°～90°间的角的三角函数问题呢？如果能，那么任意角三角函数求值问题都可以化归成锐角三角函数求值，特殊的锐角有特殊值，而非特殊锐角的三角函数值可以通过查表最终解决。这节课我们就来学习和研究解决这类问题的方法.

【设计意图】通过复习旧知，提出的新问题，引导学生进一步思考，为新知识的学习打下基础，激起学生们的兴趣.

(二）探索新知，汇报交流

问题3： 你能用我们刚刚复习的方法求出sin210°吗？

师生活动1：教师提出具体问题，学生独立思考并回答老师的提问。

师生活动2：教师追问：390°的终边与锐角30°角的终边重合，那210°角的终边与那个锐角的终边有关系呢？它们的三角函数间又有怎样的关系呢？

【设计意图】教师通过问题引导，从课前提出的具体问题入手，用定义求解学生是可以想到并完成的，但借助学生熟悉的特殊角去建立30°角的终边与210°角的终边的位置关系，再转化为角的终边与单位圆交点坐标之间的关系需要教师引导，从这个过程中让学生体会研究此类问题的思路和方法，为下一步研究任意角和个三角函数之间的关系做好铺垫。

探究一：给定一个角:

角的终边与角的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？

师生活动：学生进行组内探究，教师走进小组，观察学生探究的进展，指导组内生生互助，共同完成任务。然后学生代表为全体学生讲解研究过程．

经过探索，归纳成公式

------公式二

【设计意图】有了30°和210°角各三角函数关系的推导，学生们对问题3的研究思路和解决问题的方法有一定的认识，在此基础上引导学生自主推导诱导公式二，让学生体验证明猜想的乐趣，凸显学生学习的主体地位.

问题4：公式中的角仅是锐角吗？

【设计意图】课前提问的问题是以引入的，之后的讨论只是用代数方法换成了一般形式的角，有些同学肯定会有这样的疑问，这也是本节课的一个教学难点，所以这个问题的解决好，就是突破难点的关键.

师生活动：演示几何画板课件，首先作出第一象限的任意角，之后得到相应的三角函数值，拖动其终边上任意点，再让学生观察每一象限内三角函数值的符号和它们之间存在的对称关系，从而验证了猜想，使学生更直观的理解了这个公式．

问题5：你知道与(-)终边有怎样的对称性吗？它们的三角函数之间有什么关系呢？

探究二：任意角与(-)三角函数的关系，及与(－)的三角函数值的关系．

经过探索，归纳成公式

-------------公式三

【设计意图】类比公式二的推导方法，大多数学生应该能够完成公式三的推导及证明了，仍然设计以学生分组讨论，合作学习的方式来完成探究任务的目的是在活动中借助生生互助，相互交流来培养学生的合作意识，让学生感受数学中的对称美，激发学生更积极地去寻找规律、认识规律.

探究三：如果两角的终边关于y轴对称，那么这两个角之间有什么关系？

它们的三角函数之间又有什么关系？

----------公式四

师生活动：教师展示学生的研究成果，学生叙述其研究过程，教师板书公式四。

【设计意图】借助终边关于y轴对称找出两角的关系要比终边关于原点，x轴对称难度找两角的关系大一点，前面已经有了两次探究的体验，研究问题的思路学生已经清楚了，只要能找出终边关于y轴对称的两角的最简表示形式即与，公式四的推导就会水到渠成。在此过程中充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望，让他们既动脑又动手，让学生体验数与形的关系，尝试自主探究的乐趣.

师生活动：教师提问，学生思考并回答问题。

问题6：除了再次利用单位圆的对称性推导公式三公式四外，你还有其他方法吗？

【教学预设】在类比公式二的推导方法完成公式三和公式四的推导及证明（图形中点的对称——几何角度）后继续拓展学生的思维，利用角的任意性结合角的整体代换的思想（代数角度）由公式二，三可以得到公式四，这也是对刚刚获取的新公式的一次应用，作为实验班的学生应该有这样的想法。另外借助三角函数线也可以完成这几组公式的推导，教师作适当点拨，引导有兴趣的学生课下继续研究。

(三）总结概括新结论

师生活动：教师利用PPT将公式一至公式四一起展示在屏幕上，为总结概括公式的特征和记忆的方法做好准备。

三角函数的诱导公式

公式一：

公式二：

公式三：

公式四：

说明：公式中的指使公式两边有意义的任意一个角．

探究四：诱导公式一至四的共同特征，归纳记忆方法

问题7：你能概括一下公式一、二、三、四的共同特征吗？

师生活动：教师提醒学生从三角函数名称和式子的符号两方面总结概括公式一、二、三、四的特征。

的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.公式特点：“函数名不变，符号看象限”

【设计意图】训练学生的概括能力，但是学生未必能总结出十字口诀，教师要适时引导和提醒。

(四)巩固应用

例1 求下列三角函数值：

师生活动：学生板书，教师巡视，纠正错误．

（1）；（2）；（3）；（4）

解：（1）．

（2）．

（3）．

（4）

=．

【设计意图】在得到诱导公式后，在此让学生独立去实践解决问题，在实践中体会诱导公式在解题过程中的应用，使任意一个角都转化为他们所熟知的锐角，体会从未知到已知的化归思想，从而为总结出解题的一般步骤奠定基础.

问题8：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是什么？（学生大胆说，互相讨论后师生共同归纳结论）

(五）课堂小结

问题9 ：通过这节课的学习，大家有什么收获吗？主要提示从以下三方面（由学生完成）

【设计意图】通过提问的形式，引导学生概括归纳已有知识，形成知识体系；深化对诱导公式内涵和实质的理解，挖掘知识形成过程中所体现归纳和转化的思想方法，培养学生的抽象概括能力．

（六）作业布置：

1．27页练习1、2、3（其中1题直接在书上填空）

2、（选做）

3．思考题(预习作业)

给定一个角，终边与角的终边关于直线对称的角与角有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？能否证明？

【设计意图】通过分层次布置作业，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力也让学有余力的同学“吃得饱”，思考题的设置为了下节课学习公式五、六做预习准备的.教会学生利用所学知识进行数学学习，这是本节内容的一个提高与拓展.

高中数学诱导公式全集

常用的诱导公式有以下几组：

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

　　sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）

　　cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）

　　tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）

　　cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z）

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π＋α）＝－sinα

　　cos（π＋α）＝－cosα

　　tan（π＋α）＝tanα

　　cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

　　sin（－α）＝－sinα

　　cos（－α）＝cosα

　　tan（－α）＝－tanα

　　cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π－α）＝sinα

　　cos（π－α）＝－cosα

　　tan（π－α）＝－tanα

　　cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（2π－α）＝－sinα

　　cos（2π－α）＝cosα

　　tan（2π－α）＝－tanα

　　cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π/2＋α）＝cosα

　　cos（π/2＋α）＝－sinα

　　tan（π/2＋α）＝－cotα

　　cot（π/2＋α）＝－tanα

　　sin（π/2－α）＝cosα

　　cos（π/2－α）＝sinα

　　tan（π/2－α）＝cotα

　　cot（π/2－α）＝tanα

　　sin（3π/2＋α）＝－cosα

　　cos（3π/2＋α）＝sinα

　　tan（3π/2＋α）＝－cotα

　　cot（3π/2＋α）＝－tanα

　　sin（3π/2－α）＝－cosα

　　cos（3π/2－α）＝－sinα

　　tan（3π/2－α）＝cotα

　　cot（3π/2－α）＝tanα

　　(以上k∈Z)

注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

诱导公式记忆口诀

※规律总结※

上面这些诱导公式可以概括为：

对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，

①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇变偶不变）

然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）

例如：

sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。

当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。

所以sin(2π－α)＝－sinα

上述的记忆口诀是：

奇变偶不变，符号看象限。

公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α

所在象限的原三角函数值的符号可记忆

水平诱导名不变；符号看象限。

各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀

“一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”．

这十二字口诀的意思就是说：

　　第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；

　　第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；

　　第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；

　　第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．

　　上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦

还有一种按照函数类型分象限定正负：

　　函数类型第一象限第二象限第三象限第四象限

　　正弦 ...........＋............＋............—............—........

　　余弦 ...........＋............—............—............＋........

　　正切 ...........＋............—............＋............—........

　　余切 ...........＋............—............＋............—........

同角三角函数基本关系

同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

　　tanα ·cotα＝1

　　sinα ·cscα＝1

　　cosα ·secα＝1

商的关系：

　　sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

　　cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

平方关系：

　　sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

　　1＋tan^2(α)＝sec^2(α)

　　1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

同角三角函数关系六角形记忆法

六角形记忆法：

构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。

（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；

（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。

（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。

（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

两角和差公式

两角和与差的三角函数公式

　　sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

　　sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

　　cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

　　cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

　　tan（α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ)

　　tan（α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋tanα·tanβ)

二倍角公式

　　二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

　　sin2α＝2sinαcosα

　　cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

　　tan2α＝2tanα/[1－tan^2(α)]

半角公式

　　半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

　　sin^2(α/2)＝(1－cosα)／2

　　cos^2(α/2)＝(1＋cosα)／2

　　tan^2(α/2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)

另也有tan(α/2)=(1－cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)万能公式

万能公式

　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

　　cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

　　tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

万能公式推导

附推导：

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，

（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）

再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝2tanα/(1＋tan^2(α))

然后用α/2代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

三倍角公式

　　三倍角的正弦、余弦和正切公式

　　sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

　　cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

　　tan3α＝[3tanα－tan^3(α)]／[1－3tan^2(α)]

三倍角公式推导

附推导：

tan3α＝sin3α/cos3α

＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα

　　＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα

　　＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^3(α)

　　＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα

　　＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)

　　＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))

　　＝4cos^3(α)－3cosα

即

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

三倍角公式联想记忆

★记忆方法：谐音、联想

正弦三倍角：3元减 4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）

余弦三倍角：4元3角减 3元（减完之后还有“余”）

☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

★另外的记忆方法:

正弦三倍角: 山无司令 (谐音为三无四立) 三指的是"3倍"sinα, 无指的是减号, 四指的是"4倍", 立指的是sinα立方

余弦三倍角: 司令无山与上同理

和差化积公式

　　三角函数的和差化积公式

　　sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]

　　sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]

　　cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]

　　cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]

积化和差公式

　三角函数的积化和差公式

　　sinα ·cosβ＝0.5[sin(α＋β)＋sin(α－β)]

　　cosα ·sinβ＝0.5[sin(α＋β)－sin(α－β)]

　　cosα ·cosβ＝0.5[cos(α＋β)＋cos(α－β)]

　　sinα ·sinβ＝－0.5[cos(α＋β)－cos(α－β)]

和差化积公式推导

附推导：

首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到

sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把两式相减,就得到

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的,我们还知道

cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

　　sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　　cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　　cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　　sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式。

我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

　　sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　　sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

　　cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　　cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

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