高中数学新授课课堂实录：弧度制（视频）及教学设计

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江苏省梁丰高级中学陈庆菊执教。陈老师是设区市学科带头人，张家港市吴新建名师工作室成员，曾获江苏省高中数学评优课一等奖、基本功竞赛一等奖。

一、教材分析

教材截图

（考虑到部分教师未有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

1．内容

引入弧度制的必要性，弧度制的概念，弧度与角度的互化．

2．内容解析

（1）为什么引入弧度制？

引入不同的单位制，在使用单位时，通过选择恰当的单位，能给我们解决问题带来方便．弧度制的本质是用线段长度度量角的大小，这样的度量统一了三角函数自变量和函数值的单位．高中函数的概念中强调函数必须是实数集合与实数集合之间的对应，因为只有这样才能进行基本初等函数的运算（四则运算、复合、求反函数等），使函数具有更广泛的应用性．

此外，弧度制的引入能为后续学习微积分的运算提供方便，其中最著名的就是当自变量为实数时，使得重要极限成立．特别是，利用三角函数能够较好地描述钟摆、潮汐等周期现象，这时的自变量不一定是角度，可以是时间或其他的量．

总之，不论从满足函数定义的要求，还是简化运算的需要，亦或是从三角函数的可用性等方面来看，引入弧度制都是必要的．因此，随着学生学习的深入，会对弧度制引入的必要性的体会越来越深．

（2）弧度制的定义．我们规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．为什么用等于半径的弧所对的圆心角作为角的度量单位？在半径不同但圆心角相同的的扇形中，利用初中所学的扇形的弧长公式能够得出弧长与半径之比不变，该比值与圆半径的大小无关，因此，用该比值度量角的大小是合理的．既然角的弧度与扇形所在圆的半径大小无关，就可以在单位圆中直观地认识到，在单位圆中可以用长度为1的弧所对圆心角作为角的度量单位．

弧长与半径、角度之间的简单正比关系成为弧度制定义的来源．这种通过比值来定义一个量的方法，在物理学有广泛的应用，比如加速度、压强，密度等概念．

从数学史中有关两种角的度量制度的发展过程来看，角度制与弧度制的产生有一个共同的特点，就是如何划分圆周长．角度的出现，是源于对圆周运动的观察．古巴比伦人经过长时间的观察发现，地球围绕太阳公转，发现公转的周期是360天（实际是365天），所以圆被分为360等份，其中的1份为．而弧度制划分圆周长的方式，统一了角度和长度单位，在不同半径的圆中周长是不同的，但周角是不变的，我们需要一个定值来刻画这个不变的量，经过观察发现周长与半径的比值是一个定值2π，因此用2π来刻画周角的大小是合理、科学和自然的．事实上，角的度量在历史上还有很多其它进制，比如法国把直角分为100等分的百分度，苏联的密位制等等．

（3）弧度与角度的换算．同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间一定存在内在联系，认识其中的联系性是数学研究的重要内容之一．弧度制、角度制都是角的度量制，所以它们之间一定可以换算，这体现了事物之间的联系性．弧度与角度在本质上没有差别，只是角度的单位进行了变换而已，这两种角度制之间的关系是：．学生在进行弧度与角度的换算时，要紧紧抓住这一关键，即，，直观感受，从角度到弧度，角度的量数放大了57倍多．学生在熟悉角度制与弧度制的互化后，可以直接用计算器完成换算．另外，教科书中列出特殊角的度数与弧度数的对应值，学生不仅要会换算而且要记住．最后，例3利用角度与弧度的转换公式完成了弧度制下扇形的面积公式的证明，利用证明了，弧度制下的扇形面积公式相比角度制形式更加简单，进一步体会引入弧度制的必要性．

根据上述分析，确定本节课的教学重点是：在了解弧度制引入的背景下，理解弧度制的概念，能进行角度制与弧度制的互化．

二、目标与目标解析

1．目标

（1）初步体会弧度制引入的背景及必要性，明白同一个量可以用不同的单位制来度量．

（2）在半径不同但圆心角相同的的扇形中，利用初中所学的扇形的弧长公式能够发现弧长与半径之比不变，从而体会用该比值作为弧度制定义的合理性，加深弧度制概念的理解．在此过程中，学生可以感悟数学抽象的层次性及逻辑推理的严谨性．

（3）体会弧度制是度量角的一种方式，并能利用进行弧度制与角度制的互化，利用单位圆中弧长等于半径的圆心角，直观感受用长度度量1弧度的大小，能证明并灵活运用一些关于扇形的公式，同时能理解角与实数之间的一一对应关系；

2．目标解析

（1）通过比较扇形弧长公式和面积公式的两种角度制的不同表达形式，发现弧度制可以简化公式，初步达成体会引入弧度制的必要性的目标；通过问题1达到体会同一个量的度量可以有不同的单位制的目标．

（2）在探求如何科学合理地定义弧度制这一新概念的过程中，学生经历从特殊到一般的探求过程，首先从不同半径的圆周中提炼出不变的量是周角的大小和周长与半径的比值，进一步推广到更为一般的圆心角为所对的弧长与半径的比值不变，通过认识、理解、把握弧度制的本质，学生经历概念形成的全过程，能描述1弧度角的概念，达成理解弧度制这一目标．这一过程不仅有利于学生逐渐养成一般性思考问题的习惯和在学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题，而且可以逐步培养培养学生直观想象和数学抽象的核心素养．

（3）在弧度制概念的应用过程中，学生认识到角度制和弧度制之间的关系，体会新概念的“去脉”，学生能找到两种度量制之间的换算桥梁是，通过写特殊角的弧度数来熟练角度与弧度的换算，提高运用有关知识解决问题的能力，达成角度与弧度的互化的目标；通过例3证明弧度制下扇形的弧长和面积公式，培养实事求是和扎实严谨的数学态度，达成进一步体会弧度制的优越性这一目标．

三、问题诊断分析

生硬地记忆弧度制的概念及形式化地运用公式进行计算是容易的，但真正理解为什么引入弧度制，如何定义1弧度有一定难度的．比如很多学生习惯用角度制的转换来代替1弧度角的定义．也就是说，很多学生在学习了弧度制，这部分内容后，留下最深刻的印象是弧度制与角度制的转化，而忽略了1弧度角定义的核心和依据，这应该是与学生接触的练习题的类型有关系，不论是练习册中的习题还是各类测试考试，学生都只是不断地对角度与弧度的转换进行着一遍又一遍的运算，这种单一形式的练习，导致了一些学生把数学看作就是运算过程，而把定义及定义的学习过程看作是细枝末节甚至是无意义的符号游戏．

一些学生由于“习惯”了角度制，觉得角度制可以用量角器度量很直观而拒绝用弧度制，还有部分学生在后续学习中经常把角度制与弧度制混用，以及一些学生认为π就是弧度制中角的单位，另外，还有少数学生混淆了弧长与弧度的概念等等，这些都是学生理解弧度制的背景和形成弧度制的概念不够深刻的原因导致的。

基于此，本节课教学难点是：弧度制概念的理解．

更多：https://www.pep.com.cn/gzsx/xrjbgzsx/xrjgzwd/201911/t20191128_1947634.html

四、教学重点、难点

重点：在了解弧度制引入的背景下，理解弧度制的概念，能进行角度制与弧度制的互化．

难点是：弧度制概念的理解．

五、数学学科素养

1.数学抽象：理解弧度制的概念；

2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；

3.直观想象：区域角的表示；

4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.

五、教学过程：见《研讨素材二》

研讨素材二

研讨素材一

导读：

   教材首先通过类比引出用不同的单位制度量角的问题，在初中已有的弧长公式的基础上，先讨论弧长与弧所在圆的半径的关系，给出用弧长与半径的比值度量圆心角的弧度制；然后通过探究得到弧度与角度的换算方法，再通过具体例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性；最后强调了引进弧度制后，角的集合与实数集形成一一对应关系，为学习任意角的三角函数奠定基础，与以往教材比较，这里加强了用初中已学的弧长与半径的关系解释弧度制定义的合理性。

教材分析： 

1.为什么要引入弧度制

第三章中学习了用集合语言和对应关系描述的函数定义，函数是两个实数集之间的对应关系，而实数采用的进位制是十进制.为了研究周期性变化现象，我们需要建立任意角的三角函数.若沿用锐角三角函数的做法，角的度量采用六十进制的角度制，则与函数定义的要求不符.因此，我们需要引入新的度量制，它必须是十进制，它的单位应与实数的单位一致，从而使三角函数的自变量、函数值都是实数.

也许有人认为，把上述因素作为引入弧度制的理由并不充分，因为就像锐角三角函数一样，在角度制下研究三角函数也是可以的。我们要指出的是：尽管在角度制下也可以定义三角函数概念，但在后续研究中，自变量与函数值的度量单位不统一会引起很多麻烦。另外，周期性变化现象中的自变量不一定是角，像简谐振动、潮汐现象等的自变量是时间，所以，引进弧度制可以使三角函数在刻画现实世界中的周期现象时变得更好用，在解决实际问题时，有时需要同时应用几种不同类型的函数，有时需要进行自变量的值与函数值的运算，例如圆的渐开线的参数方程：

它实际上是由两个函数和确定的，其中r是圆的半径，θ是圆心角、如果只有角度制，那么θsinθ,θcosθ的意义就不得而知了，事实上，随着数学学习的不断深入，弧度制的必要性会越来越显著、例如微积分中的重要极限,如果自变量x是六十进制的角度，那就没有意义了，

总之，从满足函数定义的要求、三角函数的可用性，以及有利于数学的后续发展需要等方面看，引入弧度制都有基本的重要性。

2.弧度制的引入

弧度制的本质是用线段长度度量角的大小，具体而言就是定义弧长等于半径的圆心角的大小为1弧度。

教材首先通过类比长度、质量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，而且不同的单位制各有优点；然后，利用初中学过的弧长公式，探索圆心角、所对弧长与半径之间的关系，发现圆心角a所对的弧长与半径的比值随a的确定而唯一确定，从而使学生体会利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角的合理性；最后给出定义、几何表示和代数表示，这里，弧度制的建构过程是

背景（引入弧度制的必要性、如何定义是合理的）—定义—表示，

其中，必要性只能有限涉及；合理性从“如此度量角的大小是唯一确定的”给出，这里可以提示学生注意数学中度量一个量的大小的方法；“表示”给出了几何表示和代数表示，即借助单位圆给出1弧度角的大小示意图，半径为r的圆中弧长为的弧所对的圆心角为a弧度，则|a|=1,a的正负由角a的终边的旋转方向决定。

3.弧度制的教学

理解1弧度的含义，即把握弧度制的单位，是了解弧度制并能进行弧度与角度换算的关键，在引进弧度制后，可以引导学生利用单位圆中的圆心角与所对弧的关系理解弧度制的本质，角的范围推广后，圆心角与弧的概念也随之推广：圆心角有正角、零角、负角，相应地，弧也就有正弧、零弧、负弧；圆心角、弧的正负与角的终边的旋转方向相对应，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负，在直角坐标系中，如果以单位圆与x轴的交点A(1,0)为起点，圆心角α的终边与单位圆的交点P为终点，那么圆心角α与弧是一一对应的，这样，在单位圆中，用圆心角所对应弧的大小（注意，弧的大小的取值范围是R)刻画角大小的完备性和纯粹性兼备.

对于用等于半径的弧所对的圆心角作为弧度制的度量单位的合理性，教学中可以利用信息技术帮助学生认识。如图5-4(1),先用信息技术画一个圆，并在圆上截取等于半径OA,再作射线OB,便得到一个圆心角∠AOB,这个角就是1弧度的角，按此方法再画一个与上述圆半径不同的圆（图5-4(2)),同样可得到另一个圆心角∠COD.经测量，∠AOB=∠COD。

另外，分别在图5-4的两个圆内取两个同样大小的圆心角，可测得它们所对的弧与各自半径的比值相等。这就说明，当圆心角一定时，它所对弧长与半径的比值是一定的，与所取圆的半径大小无关，因此，用圆心角所对弧长与半径的比值来度量这个圆心角是合理的。这样，教学时就可以引入单位圆，让学生直观地认识到，在单位圆中可以用大小为1的弧所对的圆心角作为角的度量单位.

引入弧度制后，应与角度制进行对比，使学生明确：

第一，弧度制以线段长度来度量角，角度制是“以角量角”；

第二，弧度制是十进制，角度制是六十进制；

第三，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1°的角是周角的;

第四，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值，由此借助单位圆理解角的度量制很方便；等等.教学中要注意防止出现角的两种度量制混用的现象，写出与角a终边相同的角（连同角a在内）时，要根据角a的单位来决定后一项的单位。也就是说，两项所采用的单位制必须一致，写或60°+2kπ是不规范的.。

4.弧度与角度的换算

(1)换算问题的提出

关于单位换算，学生在义务教育阶段学过同一度量制下两种单位的换算，例如米、厘米、毫米之间的换算，平方米、平方厘米的换算，克、千克、吨的换算，度、分、秒的换算等；两种不同度量制的换算，只学过公顷与平方米的换算。弧度与角度的换算是两种不同度量制之间的换算，教材通过探究栏目提出问题：“角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算.如何换算呢？”教学时要提醒学生注意这里的问题是如何发现的，实际上这是在告诉学生，同一个数学对象从不同角度去刻画它，所得到的结论一定有内在联系，发现这种内在联系是数学研究的一个基本任务.

(2)探究换算公式，

关键是找到联系两种度量制的桥梁，教学时可以问学生：“你认为联系两种度量制的桥梁是什么？”因为单位圆的周长是2π,所以周角的弧度数是2π;学生已知周角的度数是360,于是就有360°=2πrad.接下来只要单位化就可以得出换算公式了，这里可以利用计算器.

教学时可以引导学生通过写出30°,45°,60°,90°,120°,135°,15°,270°等特殊角的弧度数，来熟悉度角度与弧度的换算公式，并要让学生记住，当然，记住180°=πrad是最重要的。

(3)角的度量制，除了角度制、弧度制外，军事上还常用密位制，密位制的单位是“密位”.1密位就是圆周的所对的圆心角（或这条弧）的大小，因为360°=6000密位，所以

=0.06°=3.6'=216".

密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如7密位写成0-07,读作“零，零七”，478密位写成4-78,读作“四，七八”.密位不属于我国法定计量单位，所以不必在课内介绍.

5.例题

(1)例1和例2都是角度与弧度的换算，教学时要提醒学生注意，“度”的单位“。”“'”“"”“不能省略，“弧度”的单位“rad”先不要省略，并且不要用“rad”的中文名称“弧度”作为单位写在数据的后面.。

这两道例题在角度与弧度转化之后，都使用计算器进行了计算，在学生熟悉了弧度与角度的换算后，一般可以让学生直接用计算器来完成换算.

例2后面列出的对应表，不仅要求学生会换算，而且要让学生记住这些特殊角的度数与弧度数的对应值。

.

(2)例3表明，弧度制下的扇形弧长、面积公式非常简单，这是引入弧度制带来的一个便利.教学中可以让学生思考：“为什么在弧度制下这些公式简化了？”实际上，角度制下角的度量制是六十进制，与长度、面积的度量进位制不一样，于是在公式中要有“换算因子”，而弧度制下角度与长度、面积一样，都是十进制，就可以去掉这个“换算因子”了。【以上文本部分参考或引用自《普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册》，版权归原作者、原出版者所有，摘录、转载是为没有带纸质用书时研讨使用】  

课件精选 

【后面有相应教案】

教案精选 

教学目标：   1、了解弧度制引入的必要性，理解弧度制定义的合理性，能正确进行弧度与角度的换算； 2、了解角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，会用弧度制解决简单的实际问题；3、经历建立弧度制的探究过程，感受引入弧度制的必要性，了解数学知识发展的过程，提升数学抽象，逻辑推理的数学素养；教学重点：理解弧度的定义；正确进行弧度与角度的换算教学难点：弧度制概念的生成教学过程： 

  一、问题导入       1初中学过哪些度量角的单位？的角是如何定义的吗？度、分、秒又如何换算呢？
    有度、分、秒.将一个圆的圆周分成360等份，每一份的圆弧所对的圆心角叫做1度的角.这种度量角的单位制叫做角度制.       2.  等于多少吗？
   预计：认为两个量不能相加，因为单位不同，是角度，而是实数，所以无法相加.
我们知道度量不同的量要用不同的单位，对于同一种量，也可以运用不同的度量单位，比如，测量身高时，可以使用米，也可以使用尺；测量重量时，在不同的条件可以使用吨、公斤，也可以使用克等. 此外还有国际公制，有中国市制，那么，度量角的单位是否只有角度制一种呢？ 
   历史背景：公元六世纪，印度数学家家阿耶波多在创新制作正弦表时, 就发现了有一个问题不好解释，比如，他发现了什么问题呢？
在这个等式中，单位制是不同的，左边是60进制,右边是10进制为单位，单位不统一的两个数学对象分别放在等式的左右两侧, 所以阿耶波多想到了能否对角的度量采用十进制.
【设计意图】引发学生的认知冲突，让学生意识到角度不是实数，产生对角的单位有必要重新认知的需要，为引入弧度制作准备.    二、探究新知    探究活动：根据角的动态定义，射线绕端点旋转到形成角. 上点（不同于端点. )的轨迹是一条圆弧. 记.
   如果要把角的单位统一成十进制，那么就必须借助用十进制表示的量，这里很明显涉及到两个量：弧长和半径.
   问题3：射线上三个点旋转到点，在这个过程中，都涉及到哪些量，你能发现它们之间蕴含着哪些相等关系与不等关系？
涉及到三个量：弧长、半径和圆心角，显然，弧长、半径是不等的，也不相等，但角度是相等的.
【设计意图】从历史背景中引出数学问题，引导学生在熟悉的生活体验中，用数学的眼光进行观察相等关系与不等关系，为下面挖掘“弧长与半径比值为定值”这一隐含的数学现象做好铺垫.
   追问1、圆心角、半径、弧长这三个量之间存在什么关系呢？能否用我们以前学过的数学公式来表示他们之间的关系？
在初中我们学过弧长公式.
   追问2、你能否用弧长公式解释在这个运动过程中，弧长和半径都发生变化，而圆心角不变吗？
     圆心角与弧长和半径有关，.     当圆心角不变时，为定值.  所以，圆心角所对的弧长与半径的比值只与角的大小有关.如图，对同一个圆心角，可得：.   因此，弧长与半径的比值只与圆心角的大小有关，当圆心角确定时，也唯一确定.这就让我们想到可以用弧长与半径的关系度量圆心角.
当弧长与半径相等时，是一个定值，此时圆心角等于度. 我们把这时的比值1记为1个单位的角, 就可以用这个1个单位的角去表示其他的角.
比如当弧长时，所对圆心角为2个单位的角；当弧长时，所对圆心角为个单位的角，这里是一个实数，这样可以用来度量角的大小，解决了用实数度量角的大小问题.这就是度量角的另一种单位制——弧度制.弧度单位用符号表示，读作弧度. 规定：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作.【设计意图】通过对初中所学的弧长公式的回顾与变形，不仅从代数关系上说明了与角的大小有关，而且这个比值是一个实数，有弧长的参与，学生自然体会到弧度制的合理性，同时让学生经历从观察、分析到抽象、概括的过程，培养学生的理性数学思维.
三、理解新知 弧度制的精髓是把角度和弧度的度量统一起来，极大的简化了与之有关的运算，在高等数学里，优势相当明显.
   问题4：你能否作出大小的角？根据定义，，即时，弧长所对圆心角为. 问题5：任意角都可以用的比值表示吗？正角、负角和零角的弧度数如何规定呢？
    任意角都是从旋转角度定义的，当半径一定时，旋转量从弧长可以判断，符号由旋转方向决定，所以任意角都可以用表示.正角、零角、负角分别用正数、零、负数表示.
   规定：如果半径为的圆的圆心角所对弧长为，那么角的弧度数的绝对值是，这里，的正负由角的终边的旋转方向决定.
   追问: 反过来任意一个实数都可以表示角吗？这种表示是唯一的吗？  对于任意一个实数满足，那么，此时的绝对值大小确定，再由的旋转方向确定的正负符号，所以任意一个实数都可以表示唯一确定的角.
这样就在角的集合与实数集之间建立了一一对应关系.  
【设计意图】帮助学生进一步理解弧度制可以度量角的大小，而且可以和实数集合建立一一对应的关系.
早在18世纪，瑞士数学家欧拉，在他的名著《无穷小分析引论》中倡导使用弧度制，统一了角与长度的单位，从而使得对三角函数的研究大为简化，并提出了弧度制的思想.
而弧度这个词产生于1873年，爱尔兰工程师詹姆斯·汤姆森（James Thomson）教授在其编著的一本考试集中创造性地首先使用了“弧度”一词.他将“半径（radius）”的前四个字母与“角(angle)”的前两个字母组合在一起，构成了一个新词radian，被人们广泛接受.【设计意图】在通过介绍弧度制及其名称符号的发展历史，让学生感受数学文化丰富的历史沉淀.    四、应用新知   问题6：角度制、弧度制都是角的度量单位，它们之间应该如何换算呢？
   当角的终边旋转一周，所得到周角的弧度数为，而在角度制下为，即，，所以. 反过来可得. 
   例1.（1）把化成弧度   （2）把化成角度（用度表示，精确到）
   借助前面的结论，可得                   用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，“弧度”二字或“”可以省略不写．但是“°”为单位不能省.
   练习：填写下面特殊角的度数与弧度数的对应表
 【设计意图】通过实际操作，让学生明白角度制与弧度制可以度量同一个角，所以它们之间可以互换并要掌握这种互换，同时要注意规范及掌握一些特殊角的角度和弧度值.
例2  利用弧度制证明下列关于扇形的公式
其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积.      解：从我们前面得到的弧度制公式出发，可得. 下面我们证明（2）（3）
   初中我们学过，在角度制下，半径为，圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别为，.           将圆心角转化为弧度，得.     所以，代入公式得到.     再将代入上式即得. 【设计意图】让学生体会弧度制，统一了度量弧与半径的单位，从而大大简化了有关公式及运算，通过例题进一步让学生熟悉公式，学会应用公式解决简单的实际问题. 五、归纳小结本节课我们学习了什么？  （1）在数学知识上我们学习了任意角的新度量制——弧度制.  ①弧度制的本质是用线段的长度度量角的大小，具体来说就是长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号表示，读作弧度；②如果半径为的圆的圆心角所对弧的长为，那么角的弧度数的绝对值是，这里，的正负由角的终边的旋转方向决定；③ 借助公式进行任意角的弧度制和角度制之间的互化，在今后的三角函数的学习中要熟练掌握特殊角的弧度数.（2）数学知识大多来源于现实或自然科学中出现的问题，我们通过对问题的理解、分析，学会用数学的眼光观察问题、用数学的思维思考问题、用数学的语言表达问题.
  在今天的学习中，我们运用了数形结合、转化与化归、特殊与一般等数学思想方法，在今后的学习中我们还要进一步熟悉和掌握这些思想方法.七、布置作业 教科书P175-176，习题5.1  第5、6、7、8题【教案来源于网络，作者：北京市第五中学 胡芳 指导教师:北京市东城区教师研修中心 李颖，版权归原作者所有,仅供各位老师学习和研究】   

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