邹生书——圆锥曲线阿基米德焦点三角形的若干性质
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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圆锥曲线阿基米德焦点三角形
的若干性质
湖北省阳新县高级中学 邹生书
圆锥曲线弦的两个端点和在这两端点处的切线的交点所构成的三角形叫做阿基米德三角形，这条弦叫做阿基米德三角形的底，两切线的交点叫做阿基米德三角形的顶点。特别地，我们把底边过焦点的阿基米德三角形称之为阿基米德焦点三角形。笔者借用几何画板研究发现圆锥曲线阿基米德焦点三角形有如下美妙性质。
【性质1】如图1，已知点P是抛物线y2=2px(p>0) 过焦点F的弦AB在两端点处的切线的交点，则
（1）PA⊥PB；
（2）点P在抛物线的准线上；
（3）PF⊥AB；
（4）△PAB面积的最小值为p2。
综上可知，圆锥曲线阿基米德焦点三角形有如下统一性质：
【定理】圆锥曲阿基米德焦点三角形的顶点在焦点对应的准线上，顶点在底边上的射影就是焦点，当底边为通径时阿基米德焦点三角形面积最小，其值为圆锥曲线的通径长与焦准距的积的一半。
上述性质实际上就是圆锥曲焦点弦的性质。由文[1]知，圆锥曲线的焦点和准线是一对极点和极线，阿基米德三角形的顶点和底边所在的直线也是一对极点与极线，弦端点和该端点处的切线仍为一对极点与极线，因此本文的性质也就是极点与极线的性质。
参考文献
[1]邹生书。圆锥曲线极点与极线的一组性质。中学数学教学，2010（4）
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