金磊老师——圆锥曲线讲义《抛物线（五）》

WINTER

《易传》云：易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。

前面讲解了抛物线的一条切线的性质和焦点弦性质，本节进一步讲解抛物线两条切线性质。

设过抛物线上点A、B的切线交于C'，一般的，称△C’AB为阿基米德三角形。本节和下节研究此三角形的一些神奇的性质。

设抛物线焦点为F，M为AB中点,O'为△C'AB外心。有以下问题：

24 求满足AC’⊥BC’的点C’的轨迹，AB是否经过定点？

25求证∠FC’A=FBC'，∠FC’B=FAC'，∠C’FB=AFC'，

26 求证△C'FA∼△BFC',

27 求证C'F^2=FB*FA，

28 求证∠FC’A=BC'M，

29以C'O'为直径的圆是否恒过定点？

24 求满足AC’⊥BC’的点C’的轨迹，AB是否经过定点？

思路分析一：

设出切点，得到交点坐标，由切线垂直得到条件即可得到C’在准线上，下面利用准线性质或者上面性质即知切点弦过F。

证明一：

思路分析二：

利用上节焦点弦的性质易知C’在准线上，下面由一一对应证明C’的唯一性即可。

证明二：

设过A的切线交准线于C,弦AB’过F，由上节性质23知C’B’为切线，故B,B’重合。C,C’重合。由上节性质17知∠AC’B=90°，故C’在准线上。又由性质5知切线与切点纵坐标一一对应，故A的切线上只有点C’满足∠AC’B=90°，从而C’的轨迹为准线。

注：

本性质承上启下，既是焦点弦的性质，又和抛物线的两条切线有关。本性质即过抛物线焦点的弦在两交点处的两条切线互相垂直，而且交点在准线上，反之亦然。

此性质也是圆锥曲线共有的性质，对于椭圆轨迹为圆，一般称为蒙日圆或者准圆。可以参照本系列的第五篇(《直线与椭圆位置关系常见问题1—圆锥曲线系列讲义之五》)的问题5。双曲线性质类似，轨迹也是圆。抛物线中此圆退化为准线。相应的抛物线性质的计算量也就小了很多。

25求证∠FC’A=∠FBC'，∠FC’B=∠FAC'，∠C’FB=∠AFC'，

思路分析一：

求出C’坐标，直接计算夹角即可。

证明一：

从而得到∠FC’A=∠FBC'，

对称的，可以得到

∠FC’B=∠FAC'，

由三角形内角和知∠C’FB=∠AFC'。

思路分析二：

想到性质9，再结合四点共圆即可倒角证明本题。

证明二：

由上上节性质9知FT⊥TB，

对称的有FT’⊥T’A，

故TC’T’F共圆，

则∠FC’A=∠FTO.

又由性质10知TF平分∠OFCB，

故∠FBT=∠FTO.

故∠FC’A=∠FBC'，

对称的，可以得到

∠FC’B=∠FAC'，

由三角形内角和知∠C’FB=∠AFC'。

这样即得△C'FA∼△BFC'，

由对应线段成比例即得C'F^2=FB*FA。

当然命题27也能计算得到，计算过程如下：

这就一举证明了命题25，26，27.

注：

命题25，26，27系列性质美不胜收，惊为天人。他们既息息相关，环环相扣，又可以独立考察。证明方法要么用坐标及到角公式计算，要么结合切线的几何性质用纯几何方法证明。一般的，对于△C’AB,点F称为其第二布洛卡三角形的顶点，显然这样的点对每一个顶点都有一个，因此有三个，构成的三角形称为△C’AB的第二布洛卡三角形。在近代欧氏几何中，此三角形有很多有趣而优美的性质。

28 求证∠FC’A=BC'M，

证明：

由25的证明知

由性质6知C’M//OF,

故∠FC’A=BC'M.

注：

本性质虽然很简单，但是也很优美。在平面几何中，直线C’F称为△C’AB的陪位中线，他也具有丰富的几何性质。

29  以C'O'为直径的圆是否恒过定点，

思路分析：

由对称性，容易猜测以C'O'为直径的圆所过的定点为焦点F。下面只需利用定义求出O’坐标，通过斜率乘积为-1来计算证明FO’⊥FC'即可。

证明：

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本节主要讲了两条切线围成的三角形（即阿基米德三角形）的一些基本性质，里面有很多天然的等角、相似、共圆、圆过定点等。这些性质都非常优美，证明也都不太容易，可以用解析计算，也可以纯几何。当然进一步，此三角形还有一些更有趣的定值定点问题，欲知后事如何，且听下回分解！

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