DP还能干这个？深度势能描述氘的超固体相

研究背景固体的反常超流相 (Kim & Chan, 2004)通常也被称为一种超固体（supersolid），在这种状态下，长程的平移不变性和超流性被认为是可以共存的。超固体的概念之所以饱受争议，是因为在固体中，核密度应该处于平衡位置附近，而在超流体中，原子核的波函数则应该由于交换相互作用的存在而变得非局域。理论研究者指出，这种超固体相能够稳定存在的原因，可能是特殊的粒子间相互作用，体系的维度或者光学耦合。
研究介绍
在这篇文章中，研究者通过数值计算，给出了低温高压下氘可以转变为超固体相的有力证据。之所以选择氢的同位素氘作为研究的对象，一方面是因为氘核的质量较轻，此时原子核的量子效应变得不可忽略；另一方面，诸如DFT和量子蒙特卡罗等高精度的数值计算，预示着氘在的高压下金属相的存在。在这样的高压下，原子核间的软核相互作用被认为有助于超固体相的形成(Cinti et al., 2010)，并且这样的相变条件有望在不久的将来被实验所验证。
为了对体系的性质做更进一步的计算，研究者首先使用基于第一性原理的DFT计算数据，训练出DeePMD的神经网络，从而得到原子能量、受力及位力的信息。在这里，研究者首先通过DFT计算，随机采样了50000个分子动力学组态，以此训练出第一个ML势能；基于这个势能，考虑原子核的量子效应及交换相互作用，研究者采用基于路径积分的分子动力学模拟，再次采样50000个组态，训练出最终的神经网络，对于800,1000及1200GPa的压强，分别得到了全温度范围下的DP势能。

基于第一性原理的DFT计算给出了（不考虑氘核的量子效应时）核之间的相互作用。为了考虑氘核本身的量子效应，研究者将费曼路径积分的数学形式离散化，在经典的“环状”积分路径[1]下对体系的量子配分函数进行了采样(Thonhauser et al.,2007)。为了进一步考虑氘核之间的玻色交换相互作用，研究者使用了玻色版本的费曼路径积分(Hirshberg, Rizzi,& Parrinello, 2019)，通过式1指所定的递推关系，计算出个玻色子在费曼路径积分下的势能，这里的下标代表考虑了玻色交换相互作用。
    
这里的，并且若取时间切片的数目为P，则有
 
其中为在第j个时间切片中第l个原子所在的位置，且，或者在其他情况下，，这样的算法将时间复杂度从降为。在不考虑交换相互作用时，图2a~2c中的氘核波函数存在交叠，暗示了交换相互作用不可忽略；而当计及玻色交换相互作用，图2d~2f中原子核的确切位置确实已经变得难以区分。

乍一看，图2d~2f中的固体似乎已经变成了一个玻璃状的系统，但细致的分析表明， 的对称性在这样的体系中依然未被完全破坏。为此，研究者首先计算了体系的结构因子：
        
计算的结果表明，无论是否考虑交换相互作用，所有的布拉格峰都在同一位置清晰可见，这表明交换相互作用并没有破坏体系的长程序，也就是说保留了体系原本的对称性。同时，无论是否考虑交换作用，电子云的角分布都依然能够得到保持，如图3所示。也就是说，即便是在强交换相互作用下（由图2所指示），体系依然处于固体相一般的金属态上。

研究者指出，之所以出现这样的结果，是因为氘的这一反常相保留了长程的有序性，正因如此，该相能量的态密度与氘的固体相极为相似，如图4所示。如果超固体相的无序确实存在，其电子的态密度或应呈现局域化的特征（即安德森局域化）；而图4右图之中的绿线为电子在某态上出现期望的倒数，确实呈现非局域化的特征。

研究者还将所有时间切片上的粒子视为相互独立，计算它们对结构因子的贡献:

注意这里对时间的求和同样相互独立，得到的图像如图5所示。尽管粒子的位置随时间发生的变化是剧烈的，但即便是对所有个组态计算时间和空间上的平均，长程序依然能够得到保持，这暗示着电子间强关联的交换作用机制。

绕数（winding number）的计算可以被用于判断体系是否处于超流态。计算的结果显示在温度低于1.0K时，超流态的凝聚现象开始产生，此时计算得到更大的超流比（superfluid fractions）同样证实了这一结果。最终的计算结果表明，高压下氘的无缺陷超固体相确实是有可能存在的，这一预测有待于实验的证实。（作者：程琪皓）
[1]这里的原文为 “Nuclear quantum effects are described by usinga discretized version of Feynman’s path integral expression for the quantumpartition function that is sampled in molecular dynamics simulations (PIMD) byexploiting its well-known isomorphism with a system of classical ringpolymers.” 即由于空间各向同性，只需要令积分的路径随时间的演化回到积分的开始点，形成“环状”结构。这在数学上体现为作用量中的动能部分求和（即中对i的求和）采用周期性边界条件，，P为时间切片的数目。

参考文献

1. Cinti, F., Jain, P., Boninsegni, M.,Micheli, A., Zoller, P., & Pupillo, G. (2010). Supersolid Droplet Crystalin a Dipole-Blockaded Gas. Physical Review Letters, 105(13), 135301.doi:10.1103/PhysRevLett.105.135301

2. Hirshberg, B., Rizzi, V., &Parrinello, M. (2019). Path integral molecular dynamics for bosons. Proceedingsof the National Academy of Sciences, 116(43), 21445.doi:10.1073/pnas.1913365116

3. Kim, E., & Chan, M. H. W. (2004).Probable observation of a supersolid helium phase. Nature, 427(6971), 225-227.doi:10.1038/nature02220

4. Myung, C. W., Hirshberg, B., &Parrinello, M. (2022). Prediction of a Supersolid Phase in High-PressureDeuterium. Physical Review Letters, 128(4), 045301.doi:10.1103/PhysRevLett.128.045301

5. Thonhauser, T., Cooper, V. R., Li, S.,Puzder, A., Hyldgaard, P., & Langreth, D. C. (2007). Van der Waals densityfunctional: Self-consistent potential and the nature of the van der Waals bond.Physical Review B, 76(12), 125112. doi:10.1103/PhysRevB.76.125112

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