云韬量子：量子-经典混合计算在量子化学中的应用与实践

量子-经典混合计算 整理: Wang,  校对:Yoking

“if you want to make a simulation of nature, you’d better make it quantum mechanical".    

-- Feynman (1981)

近年来，量子计算领域不断取得突破性进展，尤其是谷歌9月宣称实现了量子霸权（Quantum supremacy），对特定的任务，在量子芯片上展示了相对传统计算机的巨大优势。通用量子计算机（Universal quantum computer）被认为可以提供远超传统计算机的运算能力。然而，如同所有诗和远方都伴随着面包和牛奶的现实问题，近期可用的量子芯片是含有噪音、无纠错的中等规模（<100 个量子比特）芯片，即处在NISQ  (Noisy Intermediate-Scale Quantum) 时代。当前的任务之一就是如何充分发挥NISQ时代量子硬件的能力，有效地解决一些有价值的问题，从而展现具有实际意义的量子优势。

量子化学求解分子的基态能等性质，对药物研发等具有重大意义。在量子计算的众多应用中，量子化学被认为是可以在近期取得量子优势的领域之一。由于计算量指数墙的限制，用传统计算机模拟化学分子是一项非常困难的工作。其中，与其他量子化学算法（例如Quantum phase estimation）相比，变分量子本征求解(Variational Quantum Eigensolver, VQE) 采用量子-经典混合计算架构，其中量子计算部分可在较短时间内进行，减少退相干的影响，从而有利于在近期的量子硬件上实施。

所谓量子-经典混合的计算架构，通常是指在一个系统中，同时包含了量子计算机和经典的CPU/GPU计算部分。利用量子计算机芯片来制备相应量子态并测量，再通过经典计算机算法来分析测量结果并优化量子计算机的参数等。更普遍来讲，可以设计算法让量子计算部分与经典计算部分传递信息，合作来完成计算任务。通过这种量子-经典混合架构，可以充分发挥量子计算的优势，同时借用成熟的经典计算方案来弥补早期量子芯片的噪声、退相干等问题。

在这篇文章中，笔者通过简单的示例，来阐述量子经典混合计算的基本思想，用于优化求解量子化学问题。基于HiQ/ProjectQ和Openfermion框架的所有代码，可以参考Github链接[1].  在文章最后，还会提到我和合作者最近在量子化学中的一个很有意思的工作，借鉴了蛇的运动特点，设计了一种量子-经典混合算法，来集体优化不同键长的分子的基态问题。希望对大家有启发，借鉴不同领域的想法，更巧妙地设计经典算法的部分去挖掘近期量子计算的潜能。

举例

在量子化学的计算中，我们通常需要根据体系的哈密顿量的具体形式，来求解此哈密顿量基态能量与基态波函数。变分量子本征求解 (VQE) 通过制备带有参数的试探波函数(Ansatz)，通过测量体系哈密顿量在该波函数下面的平均值，最后使用经典优化算法来最小化这个平均值，从而确定波函数相关参数。根据基本的原理：

通过对参数变分从而最小化哈密顿量的平均值，同时得到的试探波函数就近似对应着系统的基态波函数。

下面我们通过一个简单例子来演示VQE的基本思想和算法流程。首先我们需要求解的单比特哈密顿量为：

使用HiQ/ProjectQ框架来模拟量子线路，并定义系统哈密顿量：

import projectq
from projectq.ops import All, Measure, QubitOperator, TimeEvolution
from projectq.ops import CNOT, H, Rz, Rx, Ry, X, Z, Y
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import minimize_scalar, minimize
import numpy as np
# 定义哈密顿量
hamil = 0.5 * QubitOperator("X0") + 0.7 * QubitOperator("Y0")

对于这样一个简单的哈密顿量，我们可以对角化其哈密顿量矩阵得到这个二能级系统的能级：

hamil_matrix = 0.5* X.matrix + 0.7 * Y.matrix
np.linalg.eigh(hamil_matrix)
(array([-0.86023253,  0.86023253])

接下来我们选取带有变分参数的试探波函数，并在量子线路中测量哈密顿量在该试探波函数下的平均值。这个平均值可以写为变分参数\theta的函数：

def small_vqe(theta, hamiltonian):
   eng = projectq.MainEngine()
   qubits = eng.allocate_qureg(1)
# 定义试探波函数
   H | qubits[0]
   Rz(theta[0]) | qubits[0]
   
   eng.flush()
   energy = eng.backend.get_expectation_value(hamiltonian, qubits)
   All(Measure) | qubits
   return energy

然后，我们通过经典计算的优化算法来优化测量后得到的平均值：

minimum = minimize(lambda theta: small_vqe(theta,hamil), [0.])
minimum.fun
fun: -0.8602325267042619

对比发现，VQE的所得到的基态能量和精确对角化取得的结果相符。

然而在实际中，试探波函数的形式并不一定能完全描述真正的基态波函数。如果选取另一个试探波函数：

def small_vqe(theta, hamiltonian):
   eng = projectq.MainEngine()
   qubits = eng.allocate_qureg(1)
# 定义新的试探波函数
   Z | qubits[0]
   Rx(theta[0]) | qubits[0]
   
   eng.flush()
   energy = eng.backend.get_expectation_value(hamiltonian, qubits)
   All(Measure) | qubits
   return energy

minimum = minimize(lambda theta: small_vqe(theta,hamil), [0.])
minimum.fun
-0.6999999999999997

则最小化后的“基态能”与真实基态能相差甚远。因此，根据具体问题选取合适的试探波函数也是VQE求解的关键因素。

求解步骤

接下来我们通过LiH分子的例子来介绍VQE在量子化学中的计算流程。首先，分子的电子结构属于费米子问题，需要采用合适的变换，把问题转化为量子计算机能求解的形式。这一部分可以直接用openfermion来求解。然后，设计合适的变分波函数，并用VQE来优化求解。

1、从系统的第一性原理出发，考虑所有电子结构的哈密顿量，即所谓的TOE(theory of everything)：

通过二次量子化，可以将TOE写为如下形式：

2、上一步的哈密顿量需要进一步表示成可以用量子芯片直接测量的形式。通常可以使用Bravyi-Kiteav、Jordan-Wigne或者Parity变换将产生湮灭算符转换为qubit泡利算符。对于LiH分子，在STO-6G基经过BK变换的qubit哈密顿量涉及12个qubit。通过考虑有效的电子轨道等近似，LiH分子的哈密顿量可以用三个qubit的泡利算符有效表示为：

3、上述的哈密顿量涉及三个qubit之间的相互作用。在VQE中，我们通常可以采用UCC (Unitary coupled cluster) 来构建试探波函数。对于LiH分子问题，我们使用如下的演化算符构建试探波函数：

根据此UCC得到的试探波函数可以描述上述具有两两耦合项的3-qubit哈密顿量。

4、接下来我们使用量子计算芯片制备相应的试探波函数，然后测量哈密顿量每一项在该态下面的平均值并求和得到总期望值。这个期望值是UCC参数的一个函数。随后，使用经典计算算法优化这个期望值函数并更新UCC参数，用来制备新的试探波函数。通过反复迭代这个量子-经典混合的运算，最终迭代得到系统基态能量以及近似的基态波函数。

5、最后，根据不同的Li与H原子间距离重复如上求解方案，可以计算出体系随着原子距离变化的能量曲线。进一步可以据此来求得分子的平衡键长等一系列性质。

代码演示

接下来我们通过具体的代码来演示使用首先我们通过第一性原理（使用openfermion及pyscf）确定分子在特定原子距离下的哈密顿量：

element_names = ['H', 'Li']
basis = 'sto-6g'
charge = 0
multiplicity = 1

# Single point at equilibrium for testing
spacings = [1.6]

# Set run options
run_scf = 1
run_mp2 = 1
run_cisd = 1
run_ccsd = 1
run_fci = 1
verbose = 1

# Run Diatomic Curve
for spacing in spacings:
   description = "{}".format(spacing)
   geometry = [[element_names[0], [0, 0, 0]],
                     [element_names[1], [0, 0, spacing]]]
   molecule = MolecularData(geometry,
                            basis,
                            multiplicity,
                            charge,
                            description)

   molecule = run_pyscf(molecule,
                        run_scf=run_scf,
                        run_mp2=run_mp2,
                        run_cisd=run_cisd,
                        run_ccsd=run_ccsd,
                        run_fci=run_fci,
                        verbose=verbose)
   molecule.save()

计算之后，LiH分子在特定原子间距下的哈密顿量各项具体形式和Pyscf计算得到的基态能都被存储在molecule的信息中。我们可以调取这些信息，并且转换为相应的费米子算符哈密顿量以及qubit哈密顿量：

molecular_hamiltonian = molecule.get_molecular_hamiltonian()
# Map operator to fermions and qubits.
fermion_hamiltonian = get_fermion_operator(molecular_hamiltonian)

随后我们将哈密顿量使用Bravyi-Kitaev变换转变为泡利算符形式：

qubit_hamiltonian = bravyi_kitaev(fermion_hamiltonian)
qubit_hamiltonian.compress()

直接转换后的qubit哈密顿量涉及12个qubit以及大量的关联项。通过考虑有效的电子轨道等近似，可以用只含有3个qubit的有效哈密顿量来描述成上一节公式中的形式。

在VQE的量子部分，我们使用HiQ/ProjectQ框架来制备、测量量子态；在经典部分，我们使用scipy.optimize.minimize来最小化期望值函数。哈密顿量的具体参数已经通过上述方法预先计算并保存。

通常描述2-qubit之间纠缠的UCC单元可以表示为：

描述3个qubit系统基态的试探波函数可以使用2个这样的UCC，通过分别纠缠0-1qubit和1-2qubit的方式组合而来。期望值关于波函数参数的函数可以表示为：

def variational_quantum_eigensolver(theta, hamiltonian):
    """
    Args:
        theta (float): variational parameter for ansatz wavefunction
        hamiltonian (QubitOperator): Hamiltonian of the system
    Returns:
        energy of the wavefunction for parameter theta
    """
    # Create a ProjectQ compiler with a simulator as a backend
    eng = projectq.MainEngine()
    # Allocate 3 qubits in state |000>
    wf = eng.allocate_qureg(3)
    # Initialize the Hartree Fock state |111>
    X | wf[0]
    X | wf[1]
    X | wf[2]
    # UCC-1
    Rx(-np.pi/2) | wf[0]
    Ry(np.pi/2) | wf[1]
    CNOT | (wf[0],wf[1])
    Rz(theta[0]) | wf[1]
    CNOT | (wf[0],wf[1])
    Rx(np.pi/2) | wf[0]
    Ry(-np.pi/2) | wf[1]
    # UCC-2
    Rx(-np.pi/2) | wf[1]
    Ry(np.pi/2) | wf[2]
    CNOT | (wf[2],wf[1])
    Rz(theta[1]) | wf[1]
    CNOT | (wf[2],wf[1])
    Rx(np.pi/2) | wf[1]
    Ry(-np.pi/2) | wf[2]

    # flush all gates
    eng.flush()
    # Calculate the energy.
    # The simulator can directly return expectation values, while on a real quantum devices one would have to measure each term of the Hamiltonian.
    energy = eng.backend.get_expectation_value(hamiltonian, wf)
    All(Measure) | wf
    return energy

将此函数用经典计算算法求最小值：

VQE_energies = []
thetas=[]
for i in range(len(bond_lengths)):
    minimum = minimize(lambda theta: variational_quantum_eigensolver(theta,hamiltonian), [0.5,0.5],method='nelder-mead', options={'xtol': 1e-5})
    VQE_energies.append(minimum.fun)
    thetas.append(minimum.x)

迭代求解可得试探波函数参数以及LiH分子基态能量关于原子间键长的曲线：

拓展推广

在如上所介绍的传统VQE算法中，对不同原子键长的能量求解是完全独立的，优化时往往会受到局域最小值、测量的统计误差、芯片噪声等因素的影响。为了更有效地利用当前相对昂贵的量子资源，我们同华南师范大学张旦波博士团队合作开发了collective-VQE(cVQE)算法。相对于每次独立的求解VQE，借助计算机视觉领域中的snake算法，我们对不同键长的分子哈密顿量进行协同求解。其中，类似蛇在运动时，身体的相邻部位会相互影响，从而形成整体的运动，VQE的集体优化也会有类似的特点。下图可以看到，不同键长下的波函数变分参数会协同地趋近到目标值，有望节省量子资源：（体系分别为H2, LiH, HeH+）

更有趣的是，对于某些容易受到局域最小值干扰的非凸优化问题，相对于传统梯度下降优化方法，cVQE算法可以将掉入局域最优解的个别参数协同的“拉回”到全局最优解。

总结

我们通过VQE求解量子化学问题，展示了量子经典混合计算的特点。在NISQ时代，量子计算和经典计算的协作，将是一个重要的主题。我们将进一步地深入这个问题，发展更好的算法来挖掘量子计算的威力来解决问题，并设计更优秀的编程框架，让量子经典混合算法的设计更为易行。

量子计算作为融合不同学科的新兴科技，更需要来自各个方向专家的通力合作与创造。除了量子-经典混合架构之外，我们也期待更多的诸如量子-神经网络耦合、物理-计算机配合、科研-工业结合等各种丰富的形式，共同推动量子计算的产业化发展。

最后，感谢华南师范大学张旦波博士在本文撰写中提供的宝贵建议。文中所引用的图片版权归原论文所有。

作者简介

殷涛，现为深圳市云韬量子科技有限公司创始人，德国法兰克福大学量子物理博士，获得国家优秀留学生奖学金、深圳市海外高层次人才、华为开发者大赛（量子计算赛道）冠军团队等。曾入选加拿大“量子机器学习”创业孵化项目，与北美一线量子计算硬件公司 D-Wave、Rigetti、Xanadu 等建立合作关系。
云韬量子科技致力于量子计算技术的产业化发展以及商业应用，与布局量子计算领域的企业机构展开深度合作并提供“量子就绪”的整体解决方案。2018 年上线并发布了 “Bayesforge 全栈量子计算集成开发平台[2]”并与科研、教育机构开展战略合作。目前团队着力于量子- 经典混合计算的系统架构及其在化学药品研发、金融风险优化等领域的落地应用。

参考文献

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1.文中完整的代码请移步Github链接：

https://github.com/QuContractor/VQE_tutorial

2. https://market.cloud.tencent.com/products/8513

3.“Quantum Computing in the NISQ era and beyond,” Quantum 2, 79 (2018).

4.“Simulated quantum computation of molecular energies,” Science 309, 1704–1707 (2005).

5.“Simulation of many-body fermi systems on a universal quantum computer,” Phys. Rev. Lett. 79, 2586–2589 (1997).

6."Quantum computational chemistry", arXiv:1808.10402.

7.“From transistor to trapped-ion computers for quantum chemistry,” Scientific Reports 4, 3589 (2014)

8.“Quantum chemistry calculations on a trapped-ion quantum simulator,” Physical Review X 8, 031022 (2018).

9.“Openfermion: The electronic structure package for quantum computers,” arXiv:1710.07629 (2017).

10.“Huawei hiq: A high-performance quantum computing simulator and programming framework”.

11.“Collective optimization for variational quantum eigensolvers”, arXiv: 1910.14030.

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