【怎样解题】难构之图 必美妙

写给自己的

为你的难过而快乐的　是敌人

为你的快乐而快乐的　是朋友

为你的难过而难过的

就是那些　该放进心里的人

读书感言

    畅销之作，散文笔法，从行文逻辑到思想，从思维方式到观念，都因其独创性而显得高妙异常！

    努力行进，完成自己的读书计划，静心重读这册著名数学家的手笔《怎样解题》，学习“探索法”，并以其正确思维指导自己怎样摒弃不相干的东西，直捣问题的心脏。

数学的趣味在于它需要我们推理和创造能力，在解一道几何题时，我们可能会在已知图中引入一些新的线，即辅助线，尤其是当我们的题目比较困难时，引入辅助元素是引入注目的一步. 在求作一个图形，引入辅助线更为突出与重要，我们需要不断组合辅助元素，逐步把条件添加到图形中，从而解决问题.

一

1

探索

题1.已知三角形的一边a，垂直于a的高h，以及a的对角α，求作这个三角形.

分析：

已知量：两条线段a和h，以及一个角α；

未知量：一个三角形.若作线段BC的长度等于给定的边长a，那么只要找到与a相对的顶点A，即可完成.

条件：（1）从A到BC的垂直距离为h；（2）∠BAC=α.

方案：（1）与BC的距离为h并平行于BC的直线上所有点；（2）定弦BC所对圆周角度数为α的一段圆弧上所有点.两条轨迹的交点就是点A.

例解

例1：已知三角形的一边长为4cm，这条边上的高为3cm，以有这条边所对的内角为40⁰，求作这个三角形.

思考

   从例题的作图获得怎样的启示？直线l与弧BPC，两条轨迹的交点存在三种情况.我们怎样证明？我们先从只有一个交点的特殊情况入手，即线段a和h的长度，以及角α的度数之间满足什么条件时，两条轨迹有且只有一个交点.

二

2

探索

题2.已知三角形的一个角α，从这个给定角的顶点向对边所作的高h，及该三角形周长p，求作这个三角形.

分析：

1.容易标出α与h，如何引入p呢？可以用不同的方式来尝试，如图2-1、2-2，但缺乏对称性.

2.设三条边长分别为a、b、c，由a+b+c=p知，b和c可以互换，提示我们如图2-3那样放置P；

3.观察这个新图形，就会发现当引入ED时，同时引入辅助线AD、AE，则有结论：

①等腰△ACE、△ABD；

②∠EAD与已知角α之间关系：∠EAD=90⁰+.

    当我们注意到这些之后，很自然就会想到先引入辅助元素构造△ADE，再构建此三角形.

例解

 例2：已知三角形的周长为10cm，其中一个角为40⁰，从这个角的顶点向对边所作的高为3cm，求作这个三角形.

思考

    我们需说明使得这个三角形存在的条件，即线段p和h的长度，以及角α的度数之间满足的关系式.

    以上两道作图题的分析与证明，我们获得怎样的启示？敬请感兴趣的读者与攀老师互动思考，期待思维的碰撞！

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