数学的灾难：古典主义的最后一场对决 | 展卷
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许多人都以为数学知识是确定无疑的，数学大厦是坚不可摧的。其实，与其他任何一门学科一样，数学的发展也充满了波折。25个世纪以来，数学史上发生了多次危机：非欧几何对欧氏几何的冲击、无理数的发现及数的扩张、微积分带来的分析困境、集合论悖论和其他逻辑悖论出现……数学大厦一次次面临倒塌的危险。
美国数学史大家、数学哲学家莫里斯·克莱因（Morris Kline，1908—1992）在《数学简史：确定性的消失》一书中，探讨了数千年来数学在直觉、逻辑、应用之间穿梭往复的炫目旅程，再现了真实数学的发展过程，阐述了数学的起源、数学的繁荣和科学的数学化，直到当代数学的现状：数学与确定性（逻辑，严密性，完备性）渐行渐远。透过数学史上的大事件，克莱因一步一步剥开数学思想与数学思维变迁的脉络。在不牺牲准确性的情况下，克莱因几乎没用公式，就用最短的篇幅讲述了数学2500年惊心动魄的历史。
本期展卷节选自该书第十二章“灾难”。留言被点赞最多（截至7月14日中午12点）的四位读者可获赠《数学简史：确定性的消失》一本。
撰文 | 莫里斯·克莱因
翻译 | 李宏魁
回顾以往，1930年时数学基础的状况可说是差强人意。已知的悖论已经被解决，但是几个学派为此使用了特定的方法。诚然，对于什么是正确的数学这一问题已不再有一致的观点，然而每一位数学家都能采用他所喜欢的方法，进而依据该方法的原理发挥他的创造力。
但是，两个问题继续困扰着数学界。第一是建立数学的相容性，这恰恰是希尔伯特在1900年的巴黎讲演中提出的。虽然已知的悖论已经解决，可再次发现新悖论的危险依然存在。第二个问题被称为完备性 （completeness），一般而言，完备性意味着任何数学分支的公理对于判别涉及该分支的概念的所有有意义的断言的真伪性是充分的。
完备性问题就是一个合理的欧氏几何的命题，例如“三角形的三条高线交于一点”这个命题能否根据欧氏公理证明或证伪。更进一步，在超限数域中，连续统假设又是一个例子。完备性要求根据构成超限数理论基础的公理证明或证伪该假设。类似的，完备性要求根据数论中的公理证明或证伪哥德巴赫猜想（Goldbach's hypothesis）：任一偶数都是两个质数之和。事实上完备性问题包括了许多其他的命题，对它们的求证向数学家们所发起的挑战已逾几十年甚至上百年。
对于相容性问题和完备性问题，几个学派采取了稍有不同的态度。罗素实际上放弃了他的逻辑方法中使用的逻辑公理是真理的信念，并且还承认了他的约化公理的人为属性。他的类型论避免了已知的悖论，而且罗素确信它能避免所有可能的悖论。然而，信心不能代替证明，罗素没能解决完备性问题。
尽管集合论公理化主义者自信他们的方法不会引起新的矛盾，但这一信念缺乏证据。同样，人们关注的主要不是完备性，直觉主义者对相容性问题漠不关心。他们认为被人类思维所承认的直觉具有自然而然的相容性，形式论的证明是不必要的，也与他们的哲学不相干。至于完备性，他们的看法是，人类的直觉是如此的强有力，以至于能判断绝大多数有意义的命题的真伪，即便有个别例外。
与之相反，由希尔伯特领导的形式主义学派并没有自鸣得意。在20世纪的最初几年，希尔伯特为解决相容性问题做了一些初步的工作。此后，在1920年，他的研究工作又一次回到了相容性和完备性问题。
在他的元数学中，希尔伯特找到了相容性的证明方法。对于完备性， 在1925年的论文“论无限”中，他再次从根本上对1900年巴黎演讲所表明的观点进行了阐述：“每一个明确的数学问题必须能被正确地解决。” 在1925年的文章中，他进一步强调了这一观点：
作为可以用来处理基本问题的方法的一个例子，我更乐于选取一切数学问题均可解决这样一种观点。我们都相信这一点，吸引我们去研究一个数学问题的最主要的原因是：在我们中间，常常听到这样的呼声，这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有什么不可知！
”在1928年意大利博洛尼亚国际数学家大会的发言中，希尔伯特批评了以前的完备性证明，因为它们使用了元数学所不允许的逻辑原理。但他对自己系统的完备性则充满了信心：“我们的推理并不具有任何秘密的技术，它只不过按照确切、清楚的规则进行而已，正是这样的规则保证了判断的绝对客观性。”他还说，每个数学家都相信，任何明确的数学问 题必是可解的。在1930年的论文“自然知识和逻辑”中，他又这样说：“我认为，孔德没有能找到一个不可解的问题的真正原因是，本来就不存在不可解的问题。”
在1927年完成，1930年发表的《数学的基础》中，希尔伯特详细论述了他在1905年的观点：使用他的元数学方法（证明论）可以来建立相容性和完备性。他断言：
我力求用这种建立数学基础的新方法达到一个有意义的目标，这种方法可以恰当地被称为证明论。我想把数学基础中所有的问题按照其现在提出的形式一劳永逸地解决，换言之，把每一个数学命题都变成一个可以具体表达和严密推导的公式。经过这样的处理，数学所推导出来的结果就会无懈可击，同时又能为整个科学描绘一幅合适的景象。我相信我能用证明论达到这一目标，尽管为此还要做大量工作。
”显然，希尔伯特对于用证明论解决相容性和完备性问题是非常乐观的。
截至1930年，人们已取得了若干完备性的相关成果。希尔伯特自己构造了一个只包括算术且具有一定人为色彩的系统，进而建立了它的相容性和完备性。不久其他人也得到了类似的局部结果，从而相对平凡的公理系统（例如命题演算）被证明是相容的，甚至是完备的。这些证明中的一部分是由希尔伯特的学生完成的。1930年，后来成为普林斯顿高等研究院教授的哥德尔证明了包括了命题和命题函数在内的一阶谓词演算的完备性。所有这些成果使形式主义者备受鼓舞。希尔伯特本人也确信，他的元数学和证明论将会成功地确立全部数学的相容性和完备性。
但就在第二年，哥德尔发表的另一篇论文却打开了潘多拉的盒子。这篇题为“论《数学原理》中的形式不可判定命题及有关系统”（1931年）的论文包含了两个惊世骇俗的结论。其中对数学界尤具毁灭性的断言是：任何数学系统，只要其能包含整数的算术，其相容性就不可能通过几个基础学派（逻辑主义学派、形式主义学派、集合论公理化学派）采用的逻辑原理而建立。这一结果特别适用于形式主义学派，原因是希尔伯特已经仔细地限定了元数学的逻辑原理，能使用的逻辑工具之少甚至连直觉主义者都认为可以接受。难怪外尔对此评论说：上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。
上述哥德尔的结果，是他的更为惊人的结果的一个推论，被称为 “哥德尔不完备性定理”（Gödel incompleteness theorem）。这一定理表明， 如果一个形式理论 T 足以容纳数论并且无矛盾，则 T 必定是不完备的。这意味着，有这样一个数论的有意义的语句 S，使 S 和非 S 用这个理论都证明不了。因为 S 或非 S 总会有一个是真的，于是就有一个数论的语句 S，它是真的，又是不可证明的，故其是不可判定的。尽管哥德尔并不十分清楚其所涉及的公理系统的分类，但事实上他的定理不仅适用于罗素 - 怀特海系统、策梅洛 - 弗伦克尔系统、希尔伯特的数论公理化，而且事实上是一个被广泛接受的公理系统。很明显，相容性是以不完备性为代价的。我们可以通过那些超越前面所提到的形式系统的逻辑的证明，也就是推理的规则，来说明某些不可确定的语句。
就像人们猜测的，哥德尔并非很轻易地就得到了他那令人惊异的结果。他的方案是将数与逻辑主义者和形式主义者在数学方法中所用的符号及符号的顺序相联系。进而对于任何构成证明的命题或者命题集合， 他同样确定一个哥德尔配数（Gödel number）与之对应。
更明确地讲，他的算术化在于为数学概念指派自然数：1 指派给1， 2 指派给等号，3 指派给希尔伯特的否定符号，5 指派给加号，等等。于是符号串 1=1 就变成了整数符号 1，2，1。然而，哥德尔并不是将 1，2， 1 指派给公式 1=1，而是一个单一的，但却能表明各个指数的数。他选取了最小的三个质数2、3、5，从而得到21 · 32 · 51=90，所以对 1=1 他指派了自然数 90。由于注意到 90 只能唯一地被分解为 21 · 32 · 51，因此我们能够再次得到符号 1，2，1 。
对考察的系统中每一个公式，哥德尔都指定了一个数，而且对构成证明的整个公式序列，他同样指定了一个数，该数的各个指数正是每个公式的数值，尽管它们本身并不是质数，可与它们相对应的底数都取质数。例如 2900 · 390，就是一个证明的哥德尔配数，此证明由公式900和公式90构成。于是，从一个证明的哥德尔配数出发，我们可以重新构造出构成这一证明的公式。
在此基础上，哥德尔进一步指出，他所考察的形式系统的元数学概念同样可以用数值表示出来。因此，元数学的任何断言都有指派给它的哥德尔配数，一个元数学语句的数同时还是某个算术语句的数值。这样，元数学也就被“映射”为算术了。
使用这些算术术语，哥德尔证明了如何构造一个算术论断 G，用元数学语言来说就是，具有哥德尔配数 m 的陈述不可证明。但是 G 作为一串符号，具有哥德尔配数 m，于是 G 对自己说：“我是不可证明的。”但如果纯粹的算术论断 G 是可证明的，它就断言了自己不可证明；反之， 如果 G 是不可证明的，那么正如它所断言的，G 就是不可证明的。然而，既然算术断言要么可证明，要么不可证明，那么算术论断所从属的形式系统如果无矛盾，必定不完备。即使这样，算术论断 G 确实是真的，因为它是一个关于整数的论断，可以通过较形式系统所允许的更直观的推理而建立。
人们还可以从下面的例子中把握和领会哥德尔的方案的精髓所在。考察“这句话是假的”这样的陈述，我们遇上了矛盾。若这句话为真，它断言自己是假的；如果该句话为假，那么它为真。对此，哥德尔用“不可证明”取代“假”，这时句子变为：“这句话是不可证明的。”于是，如果这句话不可证明，那么它讲的是真的；相反，如果这句话可以证明，那么它为假，或是按照标准逻辑，如果它为真，则不可证明。因此，当且仅当这个陈述不可证明时，它为真。这个结果没有矛盾，但却出现了一个不可判定的真陈述。
在展示了他的不可判定陈述之后，哥德尔将“算术是相容的”这一元数学陈述表述为一个算术陈述 A，而且他证明了 A 蕴涵 G。因而如果 A 是可证明的，那么 G 也是可证明的；如果 G 是不可判定的，那么 A 就是不可证明的，也就是不可判定的。这一结果表明，能被转换为算术系统的任何方法或逻辑原理，对于证明相容性都是无能为力的
看上去似乎可以通过向形式系统加入逻辑原理或数学公理来避免不完备性。但哥德尔的方法表明：如果新加入的语句可以按他的方案，即对符号和公式指派一个哥德尔配数，用算术术语表示，那么不可判定的命题仍能被构造出来。唯一可行的方法是，使用不能被“映射”为算术的推理原理来避免不可判定的命题，并证明一致性。下面是一个不很严密的类比：如果推理原理和数学公理是日语，哥德尔的算术化是英语，那么只要日语可以翻译成英语，哥德尔的结果就能得到。
哥德尔不完备性定理断言，不仅仅是数学的全部，甚至任何一个系统，都不可能用类似哥德尔使用的能算术化的数学和逻辑公理系统加以概括。因为任何这样的公理系统都是不完备的。存在着有意义的陈述从属于这些系统，却不能在系统内部得出证明。然而非形式的论证可以证明其正确性。这个结论——公理化的能力具有局限性——与19世纪末的观点形成了尖锐的对比。那时人们认为数学与公理化了的各分支的总和具有相同的广度，所以哥德尔的结果是对内涵公理化一个致命的打击。公理化方法的这个缺陷本身并不是一个矛盾，但却是惊人的。因为数学家，尤其是形式主义者，原本期望任何一个真命题一定会在某个公理系统的框架内确立起来。因此，当布劳威尔弄清楚了直觉上明确的东西不及经典数学上证明的东西多时，哥德尔却证明了直觉的可靠超出了数学的证明。正像伯奈斯所说的，过分推崇公理体系是不明智的。当然，上述论点并没有排除这样的可能性，新的证明方法可能优于几个基础学派接受的逻辑原理所允许的方法。
哥德尔的两个结果都是毁灭性的。相容性的不能证明给予希尔伯特形式主义哲学以沉重打击，因为希尔伯特计划了以元数学为工具的这样一种证明，而且相信它能成功。然而，灾难大大超出了希尔伯特的方案所能解决的范围，哥德尔关于相容性的结论表明，我们使用任何数学方法都不可能借助于安全的逻辑原理来证明相容性，现已提出的各种方法概莫能外。这可能是20世纪某些人声称的数学的一大特征，即其结果的绝对确定性和有效性已经丧失。更为糟糕的是，由于相容性的不可证明，数学家们正冒着传播谬误的风险，因为不定什么时候就会冒出一个悖论。如果真的发生了这种情况，而且悖论又不能消除，那么全部数学都会变得毫无意义。因为对于两个相互矛盾的命题，必定有一个是假的，而且被所有的数理逻辑学家采用的蕴涵的逻辑概念（称为实质蕴涵）都允许一个假命题推出任何命题，因而数学家们正工作在厄运即将来临的威胁之下。不完备定理则是另一场沉重打击，这里又一次直接牵涉希尔伯特，即便这个定理适合于所有关于数学的形式化方法。
虽然数学家们一般并没有像希尔伯特那样自信，可他们确实希望解决一切明确的问题。例如证明费马大定理（其断言没有大于 2 的整数满足 xn+yn=zn）的努力，到1930年为止，已经产生了数百篇冗长而深奥的相关论文。这些努力有可能完全是徒劳的，因其很可能是不可判定的。
在某种程度上，哥德尔不完备性定理是对排中律的否定。我们相信一个命题非真即假，从现代数学基础的观点看，这意味着依据该命题归属的特定学科的逻辑规律和公理，它或者可以证明，或者可以证伪。但是哥德尔表明，有些命题既不能被证明，也不能被证伪。这是有利于直觉主义者的又一论据，只不过他们是从其他角度出发反对排中律的。
然而，证明相容性的可能依然存在，只要人们能够用不同于哥德尔的方法给出一个包含了不可判定命题的系统。这是因为——根据前面提及的理由——实质蕴涵表明如果存在一个矛盾，任何命题都是可以证明的，但是迄今为止并没有得到上面的结果。
希尔伯特不相信他的失败，他是一个乐观主义者，对人类推理和理解的能力具有无限的信心。这种乐观主义给他以勇气和力量，但却阻止了他去了解可能存在的不可判定的数学命题。对希尔伯特来说，在数学领域中研究者除了自身的能力之外，没有任何其他的限制。
在哥德尔1931年的发表成果的时候，希尔伯特正在和伯奈斯合作写一部关于数学基础的著作（第一卷，1934年；第二卷，1939年）。因此，在第二卷的前言中作者们提出下面的观点：人们必须扩充元数学中的推理方法，包括超限归纳法。希尔伯特觉得，这些新原理仍然在直观上是可靠的，并且会被普遍接受。他坚持了这一方向，却没能取得新的成果。
在经历了严酷的1931年之后，进一步的进展使情况更加复杂，进而挫败了任何定义数学及何为正确结果的企图。但其中的一项工作还是值得一提。根岑，希尔伯特学派的一员，他放宽了在希尔伯特元数学中对证明方法的限制，例如使用超限归纳法，在1936年设法确立了数论和分析中一些受限制部分的相容性。
根岑的相容性证明为一些希尔伯特主义者支持和接受，他们认为根岑的工作并没有超出人们乐于接受的逻辑的限制。于是为了捍卫形式主义，人们必须从有限的布劳威尔逻辑发展到超限的根岑逻辑。根岑方法的反对派争辩说：“可接受”的逻辑是如此深奥莫测，而且我们对算术相容性的怀疑竟然可以用同样值得怀疑的元数学原理来消除，这太不可思议了。事实上，早在根岑之前，对于超限归纳法的使用就有过争论，并且一些数学家尽量在任何可能的场合从证明中消除它。这不是一个直觉上使人信服的原理，正如外尔评论的那样：这样的原理降低了有效推理的标准，并且把原本可靠的东西变得模糊了。
哥德尔不完备性定理引发的附属问题同样应当提及。既然无论多么错综复杂的数学分支都有不可判定的断言存在，那么我们对某一特定断言能否判定呢？这就是著名的判定问题（decision problem）。它要求一个有效的程序如同计算机一样，能在有限次步骤之内判定一个陈述或一类陈述的可证性。
为了具体化一个判定程序的概念，让我们考察一个很普遍的例子。为判定一个整数是否能被另一个整数整除，可以进行除法，如果没有余数，回答就是能。这同样适用于对多项式的整除的判定。类似地，对于判定方程 ax + by = c 是否有整数解，同样存在一个明确的方法（这里a， b，c 是整数）。
在1900年巴黎国际数学家大会的著名演讲中，希尔伯特提出了一个非常有趣的问题：人们能否通过有限步骤判定丢番图方程是否有整数解 （希尔伯特第十问题）。由于方程ax + by = c 涉及两个未知数且解必须为整数，所以它属于丢番图方程，而希尔伯特第十问题则更加一般化。在任何情况下判定问题都大大复杂于希尔伯特第十问题，但人们往往喜欢称这一类判定问题为希尔伯特第十问题，因为在希尔伯特问题上取得成果这一事实本身就使得该成果引人注目。
何为有效的程序？普林斯顿大学的教授丘奇用递归函数，或者说可计算函数，给出了它的概念。让我们考察递归性的一个简单例子：
如果定义 f (1) =1，
f (n+1) ＝f (n) +3。
那么，f (2) = f (1) +3 或 1＋3 或 4，
f (3) 即 f (2) +3 或 4+3 或 7。
依次类推，我们能连续地计算 f(n) 的值，函数 f(x) 就称为是递归的。丘奇对递归性的定义更加一般，将其等价于可计算性。1936年，丘奇使用他新发展的递归函数的概念表明一般不存在判定程序。因此，对一个特定的断言，我们并非总能够找到一个算法判定它是否能证明。在所有特定的情况下人们都有可能发现一个证明，然而这样的证明能否被发现则在事先并没有检验标准。于是，数学家们尝试求证什么是不可以证明 的可能就是在浪费时间。至于希尔伯特第十问题，马季亚谢维奇于1970年证明：一般情况下没有算法能够判定相应的丢番图方程是否有整数解。这一问题也许并非不可判定，但不存在有效的程序，这意味着对今天大多数的数学家而言，没有一个递归的程序（不必是上面所描述的那一个）能预先告诉我们它是否可解。
不可判定的命题与不存在判定程序的问题之间存在着某种微妙而明确的区别。不可判定的命题在一个特定的公理系统内是不可判定的，它们存在于任何有意义的公理系统中。例如，欧几里得平行公理就不能依据其他平行公理判定，另一个例子是断言实数是满足通常实数公理性质的最小集合。
还未得到解决的问题也许可判定，但这不总是能预先决定的。尺规作图的三等分角问题至少有数百年被错误地看作是不可判定的问题，可它已被证明是不可能做到的。丘奇定理表明，不可能预先确定一个命题是否能被证明或证伪，或许二者都不能，即该命题不可判定，但这可不像已知的不可判定命题那么明显。哥德巴赫猜想目前仍没有得到证明，也许依据数论的公理它是不可判定的，但现在还没能明显地看出这一点，这与哥德尔的例子恰恰相反。因此，也许在某个时候，它能被证明或证伪。
尽管哥德尔对不完备性所做的工作及提出不可能证明相容性所带来的震撼已经过去10年了，但它们还没有从数学界完全消散，而新的震撼又一次来临。这次仍旧是哥德尔，他发表的一系列研究论文引起了更大的困惑：什么是正确的数学，它又正在向什么方向发展？我们再一次回想起起源于20世纪初的数学方法之一：在集合论的基础上构建数学大厦。正是基于这一理由，策梅洛公理系统获得了发展。
在“选择公理和广义连续统假设二者与集合论公理的相容性”（1940年）一文中，哥德尔证明，如果策梅洛 -弗伦克尔系统在除去选择公理后仍是相容的，那么加上这条公理以后这个系统也是相容的。这就是说，选择公理不能被证伪。同样地，康托尔的连续统假设（没有基数存在于
在一定程度上，选择公理和连续统假设的相容性是令人信服的，就像对待其他的策梅洛 - 弗伦克尔系统的公理那样，人们至少是在充满自信地使用着它们。
然而，数学家们的得意——如果存在的话——将被接下来的进展击得粉碎。哥德尔的结果并没有排除这样一种可能性，选择公理或是连续统假设（或者两者都）能够基于其他策梅洛 - 弗伦克尔公理得出证明。选择公理不可能在此基础上证明的思想至少可以回溯到1922年，从这一年开始的几年中，包括弗伦克尔在内的几个人，证明了选择公理的独立性。但是他们每一个人都发现，为了得出证明，必须向策梅洛-弗伦克尔系统加入某个辅助公理，并且以后其他人的证明也存在同样的缺陷。哥德尔在1947年推测连续统假设同样独立于策梅洛-弗伦克尔公理以及选择公理。
然而，在1963年，斯坦福大学的数学教授科恩证明了选择公理和连续统假设二者同时独立于其他策梅洛-弗伦克尔公理（如果它们是相容的）。换言之，这两个论断并不能基于其他策梅洛-弗伦克尔公理得到证明，而且即使把选择公理保留在策梅洛-弗伦克尔系统中，连续统假设或广义连续统假设，也还是无法得到证明（然而，策梅洛-弗伦克尔系统与广义连续统假设选择公理）。这两个独立性结果意味着在策梅洛-弗伦克尔系统中，选择公理和连续统假设都是不可判定的。特别是，对于连续统假设，科恩的结果表明了有可能在
和
就原理而言，科恩的称为“力迫法”（forcing method）的方法，与其他的独立性证明并没有什么不同。由此人们可能会联想到，为了表明平行公理确实独立于其他欧氏几何公理，人们必须要找出一个解释或者模型，它能满足除去存有疑问的平行公理之外的所有其他公理。这一模型必须相容，否则它也许会满足存有疑问的公理。相对于弗伦克尔、哥德尔等人早期的证明，科恩的改进在于他仅仅使用到了不包括任何辅助公理在内的策梅洛-弗伦克尔公理。此外，与选择公理的独立性存在早期证明（尽管不尽人意）相反，连续统假设的独立性在科恩的工作之前一直悬而未决。
因此，为了在集合论基础之上（甚至在逻辑主义基础之上或是在形式主义基础之上）构造数学，人们可以有几种不同的做法。一种做法是避免使用选择公理和连续统假设，这将会限制一些能够证明的定理。《数学原理》在它的逻辑原理中就没有包括选择公理，可是确实在一些定理的证明中用到了它，并得到了明确的表述。事实上，在现代数学中它是一个基本的定理。另一种做法是承认或者否认选择公理以及连续统假设。否认选择公理，可以假定即使对集合的可数族也不存在明确的选择；否定连续统假设，可以假定
有许多种数学和集合论（除去其他的数学基础）可以向许多方向发展。进而，人们可以只对集合的有限族使用选择公理，也可只对集合的不可数族使用选择公理。自然，还可以对任何集合族使用选择公理。这种种做法，均有人尝试过。
由于科恩的独立性证明，数学陷入了类似于非欧几何所造成的混乱 那样的窘境。众所周知，平行公理独立于其他欧氏几何公理的事实，使几种非欧几何的构造成为可能。科恩的结论提出了如下的问题：面对这两个公理，数学家们该做何种选择？即使只考察集合论公理化的方法，选择的多样性也同样令人不知所措。
这种选择之所以不能轻易做出，其原因是在每种情况下都会产生正面的和反面的效果。就像已经提及的，克制不用这两个公理，将会严格地限制能够被证明的定理，并且迫使人们排除许多在现存的数学中一直 被认为是基础的东西。即使是证明任何无限集合 S 具有可数无穷子集，也需要选择公理。需要选择公理才能证明的许多定理在现代分析、拓扑学、抽象代数、超限数理论以及其他一些领域中都是基础性的定理。因此，不接受选择公理会使数学家们举步维艰。
与之相反，如果承认选择公理，那么某些得到证明的定理至少是违 反直觉的。著名的“巴纳赫-塔斯基悖论”（Banach-Tarski paradox）即是其中之一，其可以描述如下：两个实心球体，一个大小与篮球相仿，另一个大小与地球一样，它们能够分别被分割成互不重叠的有限份，而且使得大球体的每一份与小球体的每一份对应全等。或者也可这样描述：可以把整个地球分成有限份，然而重新拼装成一个篮球大小的球体。在1914年发现的这个悖论的一个特例表明，一个球面可以分割成两部分并重新组合成两个完整的球面，每个新球面的半径都与原球面相同。与19世纪集合论碰到的悖论不同，这些新发现的悖论并不存在矛盾，它们只不过是集合论公理与选择公理的逻辑推论。
否定一般化的选择公理也导致了新奇的结论。一个技术结果或许对专家们更有意义，即每个线性集合都是可测的。换言之，既然选择公理蕴涵着不可测集合的存在，那么通过假定每个线性集合都可测就能否定选择公理。此外还有关于超限基数的新奇结论。至于连续统假设，无论承认它还是否认它，人们都冒着进入未知领域的风险。可是，有意义的结论迄今没有得到。然而，一旦假定
就像对平行公理的研究将几何学领到了一个十字路口那样，科恩对这两个有关集合的公理所做的工作将以集合论为基础的数学也领到了错综复杂的交叉路口。这开创了数学的几个发展方向，但却没能给出任何 明显的理由来说明哪个更为优越。事实上，自从科恩1963 年的工作以来，人们在策梅洛 - 弗伦克尔集合论中发现了众多不可判定的命题，使得人们对选择（使用基本的策梅洛-弗伦克尔公理再加入一条或多条不可判定命题）的多样性无所适从。选择公理和连续统假设的独立性证明就好比告诉一个建筑师，只要稍稍改动他的图纸，就可以用一个城堡取代他原来要建造的办公楼。
当前集合论的研究者希望他们能按照某种可靠的方式修改集合论公理，借此能确定是否可以从一组为数学家们广泛接受的公理出发推导出选择公理以及连续统假设。按照哥德尔的观点，这些可能性应该是可以实现的，为此人们已付出了巨大的努力，但迄今为止没有成功。或许在未来的某一天，对于使用什么样的公理最终会取得一致的意见。
困扰数学家们的并不仅仅是哥德尔、丘奇以及科恩的工作带来的问题，数学家们的麻烦与日俱增。由勒文海姆1915年开始的通过在1920年到1933年之间斯科伦发表的一系列论文得以简化和完成的一项研究，揭示了数学结构的又一缺陷，这就是为人们熟知的“勒文海姆-斯科伦定理”（ Löwenheim-Skolem Theory）。设想人们为数学的某个分支，或者说就是为可以作为整个数学的基础的集合论建立了合乎逻辑的数学公理。对此，最合适的例子莫过于用于整数的那组公理了。人们希望这些公理能确定整数的全部特性，并且仅仅是这些特性。然而奇怪的是，人们发现可以找出截然不同的解释或模型都能满足这些公理。因此，鉴于整数集是可数的，或者按照康托尔的记法，存在
这意味着什么呢？假定人们打算开列一张特征表，并认为它是且仅仅是刻画了美国人，令人吃惊的是，某人发现了一种动物，它具有表上所列的全部特征，但完全不同于美国人。换言之，试图用公理系统来描述一类唯一的数学对象事实上是不可能做到的。就像哥德尔不完备性定理告诉人们的，一组公理对于证明属于它们所覆盖的数学分支的全部定理是不充分的那样，勒文海姆-斯科伦定理告诉人们，一组公理能够容许比人们预期多得多的解释，而且这些解释具有本质的区别。公理没有限制住解释或是模型。因此，数学的真理性不可能严格地与公理化一致。
非预期的解释之所以可能，原因之一在于每个公理化系统内部都有无定义的概念。先前人们认为这些概念是被公理隐含地加以定义的，可事实上公理并没能做到这一点。因此，无定义概念的概念必须以某种非预期的方式加以更改。
勒文海姆-斯科伦定理与哥德尔不完备性定理同样惊世骇俗。对于 发端于20世纪初的公理化方法而言，它无疑是另一次沉重打击。直到不久前，公理化仍被认为是唯一可靠的方法，而且仍被逻辑主义者、形式主义者和集合论公理化主义者使用着。
从总体上来看，勒文海姆-斯科伦定理并不出人意料。哥德尔不完备性定理表明每个公理化系统都是不完备的，即存在着不可判定的命题。假定 P 就是一个这样的命题，那么不管是 P 还是非 P 都不能从这些公理中推导出来。因而，人们可以接受一个更大的公理系统：原来的公理集合加上命题 P 或是命题非 P。由于解释不会是同构的，所以这两个公理系统也不是无条件的，也就是说，不完备性是有条件的。但勒文海姆-斯科伦定理是以一种更强硬也更根本的方式否定了无条件性。它证实了对于一个给定的公理系统，可以存在完全不同的解释或模型，而这无须加入任何新的公理。当然不完备性是必须的，否则的话，完全不同的解释是不可能的。此外，为了不被所有的解释所共同包容，关于某个解释的一些有意义的陈述也必定会是不可判定的。
经过对自己的结论再三考虑之后，斯科伦在1923年的一篇论文中表示，对于把公理化方法当作集合论的基础他是持反对意见的。即便是冯·诺依曼也在1925年表示赞同他的公理以及其他关于集合论的公理系统全都注明“不真实的标记……集合论不可能无条件地公理化……既然算术、几何等不存在公理体系，而对集合论却没有这样假定，那么也就必定不存在无条件的公理化无穷系统”。这一情况，他继续写道，“对我而言，是有利于直觉主义的又一论据。”
数学家们试图通过回想非欧几何的历史使他们自己平静下来。在关于平行公理争论了几个世纪之后，罗巴切夫斯基和鲍耶创立了他们的非欧几何，黎曼也给出了另一个几何学。数学家们起初倾向于抛弃这些新生的几何学，这有若干理由，其中之一是它们必定是不相容的，可后来的解释表明它们是相容的。例如黎曼的双椭圆几何学，与人们开始的意愿（应用于普通平面的图形）完全不同地按照球面上的图形得到了解释。然而，这个解释或模型的发现是受欢迎的，它证实了相容性。而且黎曼最初的期望与后来的解释在研究对象的数目上并没有什么不同，无非是点、线、面、三角形等等而已。用数学的语言来讲，这两个解释是同构的。然而，勒文海姆 - 斯科伦定理所适用的公理系统的不同解释并不同构，它们是完全不同的。
关于数学的抽象性，庞加莱曾经说过，数学是一门为不同事物起相同名字的艺术。例如，群的概念就可以表示整数、矩阵以及几何变换的全部特性。勒文海姆-斯科伦定理支持了庞加莱的观点，然而却改变了它的含义。人们并不期望群公理能表明所有解释具有相同的适用范围和特性（群公理不是无条件的，如果忽略平行公理，欧氏几何也不是无条件的）。与此相反，数学家们原以为适用于勒文海姆-斯科伦定理的那些公理系统只指向一个特定的解释，于是，当它们适用于完全不同的解释时，则令数学家们茫然不知所措。
上帝打算毁灭某些人，首先是使他们发疯。也许是上帝仍不相信哥德尔和科恩的工作，或者是勒文海姆和斯科伦还打算施展什么诡计，他们又开始了进一步的发展，似乎要使数学家们陷入绝境。在探讨微积分时，莱布尼茨引入了无穷小量。他认为无穷小量比1，0.1， 0.01…以及其他任何正数都小，但不是0。他进而认为，人们可以像使用其他普通数一样使用无穷小量。虽然无穷小量只是一种理想的元素，或者说是一种虚构的东西，但确实是有用的。事实上，对莱布尼茨而言，微积分学的基本概念——导数，就是两个无穷小量的比值。莱布尼茨还像对普通数值那样，也使用了无穷大量。
在整个18世纪，数学家们一直为无穷小量的概念争论不已。一方面，他们任意地，甚至是不合乎逻辑法则地使用它们；另一方面，他们最终又把无穷小量作为没有意义的东西而扔掉。柯西不仅拒绝无穷小量而且想努力消除它们。然而，无穷小量是否合理的问题依旧存在。米塔格-莱弗勒有一次问康托尔，在有理数与实数之间是否存在另外一类数，后者坚决予以否认。1887年，康托尔又证明了无穷小量在逻辑上是 不可行的。这个证明从根本上依赖阿基米德公理，即对于任意实数 a， 总存在一个整数 n，使得 na 大于另一给定的实数 b。皮亚诺也证明了无穷小量不存在。罗素在他的《数学原理》（1903 年）中对此表示赞同。
然而，即便是伟人的号召，也不会得到非常迅速的响应。从亚里士多德时代起以及之后很长的一段时间里，地球是球体的观念被众多思想家认为荒诞不经而遭到摒弃。因为如果是那样，生活在地球另一面的人就会在空中倒垂着他们的头颅。可事实上，球体才是正确的观念。同样地，尽管莱布尼茨关于无穷小量的证明必须被摒弃，依然有许多人试图为它建立一个合乎逻辑的推论。
杜·布瓦-雷蒙、施托尔茨和克莱因的确认为基于无穷小的相容理论是可能的。事实上，克莱因指出，为了得到一个这样的理论，就必须 放弃阿基米德公理这一关于实数的最基本的公理。斯科伦也在1934年引入了不同于普通实数的一种新数——超整数，而且给出了它们的一些性质。若干数学家的一系列论文最终导致了一种使无穷小合理化的新理论的产生，而其中最重要的贡献则是由罗宾逊做出的。
称为非标准分析的新系统引入了“超实数”（hyperreal number），它包括原有的实数以及无穷小。正像莱布尼茨所做的那样，一个正无穷小被定义为小于一切普通的正数而大于 0 的数值；类似地，一个负无穷小 则大于一切负实数而小于 0。这些无穷量都是固定的数值，从而它们既 不是莱布尼茨意义上的变量，也非可以逼近 0 的变量，而是柯西有时使用这个术语时所表示的含义。更进一步地，非标准分析又引入了新的无穷大数，它们是无穷小量的倒数但不是康托尔的超限数。每一个有限的超实数 r 可表述成 x+a 的形式，其中 x 是一个普通的实数而 a 是一个无穷小量。
有了无穷小的概念，人们就可以说两个超实数无限接近了，这意味着它们的差是一个无穷小量。于是每个超实数都无限地接近于一个普通的实数，因为差恰好是无穷小。人们可以随心所欲地使用超实数，就像使用普通的实数那样。
使用新的超实数系统，人们可以引入其值既可以是普通实数又可以是超实数的函数。根据这些数，人们还可以定义函数的连续性：如果 x-a 是无穷小量，那么 f (x) - f (a) 也是无穷小量，此时称 f (x) 在 x=a 处连续。我们还可以用超实数定义导数和其他微积分的概念，进而证明分析的全部结论。最主要的一点是：超实数系统使人们能以一种精确的方式取得微积分学的成果，而先前人们正是因为不清晰甚至无意义而拒不接受微积分。
使用新的数系将会增长数学的力量吗？迄今为止，通过这种方法仍没能得到任何有重大意义的新结论，可重要的是它又开创了一条新的道路，而这正是一些数学家所渴望的。事实上，关于非标准分析的论著已经在不断涌现出来，而另外一些人则因为这样或那样的原因而责难这种新型的分析。但是物理学家们确实得救了，因为即便在知道了柯西已摒弃无穷小之后，为了方便起见，他们仍然在使用着这一有益的工具。
1900年以来数学基础的进展是令人迷惑的，即使在目前，数学的状况仍旧杂乱无章，前进的道路上不再有真理的光芒。曾被普遍赞赏和普遍接受的数学，其证明尽管有时需要校正，但毕竟曾被认为是可靠推理的极致。而到现在，这种看法改变了。对待数学可以采取相互矛盾的态度，在逻辑主义、直觉主义和形式主义的基础之外，集合论的方法又独立地给出了更多的选择。一些有歧义的甚至是矛盾的观点在其他学派内也是可能的。正由于此，在直觉主义哲学的内部，构造化运动又分成了许多小派别。对形式主义而言，什么样的数学原理可以使用存在着众多有待取舍的选择。而对非标准分析而言，虽然并不属于任何一个学派，却允许采取在分析中会引起歧义甚至是矛盾的观点的态度。无论如何，以前曾被当作不合乎逻辑的和应该被摒弃的，现在却被一些学派认为是逻辑上可靠的而予以接受。
至此，旨在消除可能存在的矛盾与建立数学结构相容性的努力宣告失败。是接受公理化方法，还是接受非公理化的直觉主义方法？如果接受公理化方法，又应该接受哪些公理？对这些问题再也不会存在一致的看法了。数学是建立在各自的公理集合之上的一组结构，这一流行的观点不足以包含数学所应该包含的东西，另一方面又包含了比它应该包含的更多的东西。看法上的不一致甚至殃及推理。排中律不再是毫无疑义的逻辑原理，争论的焦点是存在性证明中不允许计算其存在性正被确立的量及是否可用排中律。为此，必须放弃完美推理的观念。显然，不同的数学将导致选择的多样性。因此，近期数学基础研究所谓取得突破性的进展不过是邂逅了又一片荒野。
我们上面描述的自1931年以来取得的这些成果，使得逻辑主义者、形式主义者和集合论公理化主义者彻底绝望，而唯有直觉主义者对此保持了某种程度的镇定和乐观。使用逻辑符号和原理所做的全部工作，即使对最睿智的伟人的思想也构成了责难，对直觉主义者却是风马牛不相及。数学的相容性是显然的，因为直觉的意义保证了这一点。至于选择 公理和连续统假设，直觉主义者们并不承认。此外，布劳威尔在1907年已对此讲得相当多了，不完备性和不可判定命题的存在不仅没有使他们感到困扰，而且他们还理直气壮地说：我早就这样跟你讲过了。然而， 即使是直觉主义者们，其实也不希望抛弃在1900年之前建立的那部分不合乎他们标准的数学。他们已经断言，通过使用排中律确立数学的存在性是不能被接受的，只有允许人们按照期望的精确度对其存在性已被证实的量进行运算的那些构造，才是令人满意的。因此，他们仍在争论着构造性的存在性证明。
总之，没有哪个学派有权力宣称它就代表了数学，而更加不幸的是， 正如海廷在1960年评论的，从1930年开始，无休止的论战取代了友好合作的精神。
在1901年，罗素说道，“现代数学最主要的成就就在于发现了什么是真正的数学。”这些话至今仍能自然而然地打动我们。除了几个学派在作为今天的数学什么是可以接受的问题上存在分歧之外，人们可以对将来给予更多的期望。现存的学派一直在忙于证明当前的数学是正确的， 但如果注意到希腊数学在17世纪和19世纪的遭遇，人们就会发现戏剧性的巨变。这几个现代学派试图证明20世纪数学的合理性，可它们能够 符合21世纪数学的要求吗？直觉主义者确实在思索着数学的成长与发展，可是他们的“直觉”有能力给出或产生历史上没有过的东西吗？当 然，即便在1930年，回答也是否定的。因此，对数学基础的修正看上去总是必需的。
一则寓言恰如其分地概括了20世纪有关数学基础的进展状况。在莱茵河畔，一座美丽的城堡已经矗立了许多个世纪。在城堡的地下室生活着一群蜘蛛，突然一阵大风吹散了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网，于是它们慌乱地加以修补，因为它们认为，正是蛛网支撑着整个城堡。
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