魔方、杂耍、数学——数学家的多重维度
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这是台湾中央研究院数学所刘太平、叶永南两位教授对葛立恒(他岳母给他起的中文名)的访谈,葛立恒在离散数学领域有许多成果。数学之外,他喜欢玩魔方、杂耍,魔术等。他与人合著了两本极好的书,《具体数学》(与高德纳合著),还有关于洗牌的《魔法数学》。
——林开亮
策划 | 刘太平
访问 | 刘太平、叶永南
时间 | 2015年10月7日
地点 | 中央研究院数学研究所
整理 | 《数学传播》编辑室
Ronald Lewis "Ron" Graham(中文名 葛立恒)教授1935年10月31日出生于Taft, California。1962年在UC Berkeley获Ph.D.学位。先后任职Bell Labs和AT&T Labs,并曾在AT&T担任资讯科学所所长。1999离开AT&T,现任教UCSD,同时也是Cal-(IT)²首席科学家。 他在1993∼1994年担任美国数学会会长。
Graham教授在离散数学等核心领域有重要贡献,曾获多项殊荣,包括2003年美国数学会Steele Prize终生成就奖。本访谈中先生展现其宽阔的见识,理论应用出入无碍的学术精神。
刘太平 (以下简称“刘”): 你常提到Erdős [Paul Erdős (1913∼1996), 匈牙利籍数学家, 研究领域涵盖组合数学、 图论、 数论、 古典分析、 逼近理论、 集合论和机率论。] ,我想请问一下:什么原因让他选择过那种独特的生活方式?
Graham (以下简称“G”): 嗯⋯⋯这可难说了。有一位匈牙利数学家名叫László Babai [1950∼, 匈牙利籍数学家, 芝加哥大学计算机科学暨数学系教授, 研究演算法、 计算复杂性理论、 组合数学和有限群, 并强调这些领域之间的相互作用。他于2017年提出图同构问题的准多项式 (quasipolynomial) 时间演算法。] ,目前在芝加哥大学。我第一次遇见他时,他年方19,现在已年约62。他曾写过上百页的Erdős传记。在Erdős求学时期,匈牙利严格限制犹太大学生的人数。这个限制极为严格,而数学是一个容许你实际去学习的领域。Erdős的两个姐姐都在他出生前后过世,因此母亲对他百般呵护。他母亲其实是一位数学老师,因此Erdős大半时间在家自学。举例来说,他不知道如何把奶油涂在面包上,因为他从来不需要做这种事,妈妈总是为他打点好。他在英国时,才发现“原来我做得到!”。有一本很好的童书,题为“The Boy Who Loved Math” (“一个热爱数学的男孩”) ,述说Erdős的少年时期及成长历程。这是一本很迷人的小书,而我的工作就是确认Erdős黑板上和其他地方随兴写的数学是正确的。
Erdős个性很独特。有一个好故事:一位名叫Péter Frankl [1935∼, 匈牙利数学家, 热衷于街头表演艺术, 曾与Paul Erdős 合写7篇论文, 目前居住于日本。日本名为富兰平太。] 的数学家,目前居住日本。他在匈牙利拿到学位后,被征召入伍,但数学才华与他相当的朋友却能免役,径赴数学研究所。Péter觉得这是因为他是犹太人,于是请Erdős写封信,让他可以离开军队。Erdős写了信,但Péter Frankl一退伍,立即自匈牙利叛逃。这让Erdős震怒,因为他事先不知道Péter会这么做。Erdős告诉他:“你削弱了我的地位,现在我无法用同样的方式帮助其他人,所以我两年内不再对你说话。”在那段时间, Péter Frankl到法国巴黎拿另一个博士学位,而Erdős在授予学位的委员会里。Erdős提交报告时(报告里写说:这是篇杰出的论文),真的没对Péter Frankl正式说任何话,甚至私下也不和他交谈。两年过去,没事,他依然没有任何改变,在这方面他很固执。
话说,匈牙利曾举办某会议,是非正式的国际会议。Erdős的几位以色列同事想来参加,但碍于以色列和匈牙利的关系不佳,他们没拿到签证。依据法规,召开国际会议时,必须核发签证给参会的科学家,但那场会议是非正式的,不发签证。这让Erdős震怒,放话说:“他们若不向我道歉,我绝不回匈牙利!”结果他等了好几年;众人十分错愕,对他喊话:“看吧,没人会向你道歉。你只会伤了我们这些在匈牙利的,因为你是我们当下国外数学资讯的主要来源。请重新考虑一下,回来吧。”最后他回去了,但他始终立场坚定。
1954年,国际数学家大会在阿姆斯特丹举行, Erdős很想参加。匈牙利当局告诉他:一旦去了,恐怕拿不到再次入境的签证。Erdős说:“听着!我不会让任何政府官员告诉我哪里可以去、哪里不能去。我就要去了!”他赴会了,在美国拿不到回程的签证。之后多年,大家写信给国会议员和其他官员,为Erdős游说及争取。他最终拿到签证回匈牙利,但始终固守一些原则,其中之一是不恋栈身外之物。他只有两个行李箱,一箱装着信件和复印的资料,另一箱只装几件衣服。
1986年在中国济南有一个会议,我们一同从北京搭火车,车上喧闹且闷热。半夜时, Erdős说:“我得下车了,太热了,我睡不着!”我说:“Paul,我们现在是在从北京到山东的火车上,你不能就这样下车啊!你不能啊!”到天津时,我买了些丝袜给他。他皮肤极敏感,但他可能会去没卖丝袜的地方,所以我买了一些给他。有好多关于Erdős的好故事。
刘: 你把他当家人一般地照顾。
G: 是的。当时我们的房子特别留有Erdős的房间。他需要有自己的浴室、电话,也要会用冰箱,半夜才有食物吃。关于这些,还真是有许多好故事。
刘: 这是出自你对他由衷的敬意。你喜欢他,也尊敬他的数学,对吧?
G: 是的。他心肠很好,有颗好大的心。
叶永南(以下简称“叶”): 他真的很好。
G: 有这样一个好故事:有次他和某人住在一起。清晨四点时,浴室传出巨大声响。他一早去用早餐时,只字未提,最后才说:“你知道的,早上你的浴室里没有发生什么意外,只是有一大瓶碘酒破了,洒了一地。但别担心,我找到足够的毛巾,把它们都吸了起来。”你可能知道,碘渍是几乎不可能清除的。Erdős用意良善,但他的用心并不是都能奏效。
刘: 但你了解他,你说他“好心 (good heart) ”。
G: 他最珍贵的一项财产,是他每天写的数学日志,里头记录他当时在思考些什么。他过世时,这些日记都放在他的邻居兼亲密数学同事Vera T. Sós[1930∼, 匈牙利数学家, 研究数论和组合数学。]那里。她持有这些日记,却不让其他人过目。我们问:“为什么呢?”而她说:“喔,我就是不要。”很多人都想了解Erdős过去思考些什么。Erdős会把数学笔记写在右边,而后经常性地回顾,并在左边加上其他注记,像是:“喔!我知道了,这是我之前想过的其他问题的一个特例。”我很想了解:他在从事质数定理 (prime number theorem) 的初等证明[意指只用到基本技巧的证明。特别是在数论中,意指没有用到复分析的证明。]时,想了些什么。
刘: 所以日记仍然存在,但没有人可以过目。
G: 对,她拥有这些日记。共约20册,我复印了其中两册,但它们都是用匈牙利语写的,我看不懂。几年前,他百岁诞辰,举办了800人的大型会议。我想他不曾到过台湾。
刘: 说到这个,今天早上我跟同事刘丰哲提到这次访谈时,他告诉我:你很久以前来过台湾, 1971年吧。
G: 没错,我来过。我在香港待了一个夏天,适逢当地首条隧道开通。我记得,时值李小龙[1940∼1973, 出生于香港, 武术家暨国际武打巨星。]亡故。我去台大给了一场排定的演讲,我还保存着报导这场演讲的报纸。我四处旅行,金芳蓉[1949∼, Graham 教授的夫人, 加州大学圣地牙哥分校教授, 研究谱图学 (Spectral Graph Theory) 。]在此地, 1970∼74年间。
葛立恒与妻子金芳蓉
叶: 对,她是张圣容[1948∼, 研究几何分析, 普林斯顿大学数学系教授]、李文卿[1948∼, 宾州州立大学数学系教授, 研究数论]和吴徵眉[伊利诺大学厄巴纳-香槟分校数学系教授,研究复分析、机率论及偏微分方程]的同学。
G: 陈省身为她们那班的四朵“金花”写了一篇文章[陈省身,记几位中国的女数学家,传记文学, 66卷第5期(1995)]。某份数学杂志的编辑声称要把它翻译成英文,但应该还没动工。其实班上有五位才华洋溢的女性,但其中一位早逝,所以实际上有五朵金花。
台湾拍摄的以张圣容和金芳蓉为主角的纪录片《学数学的女孩们》
刘: 杂志名称是“传记文学”。你和很多人交往,在多方向做研究。可否问个问题:什么研究带给你最大的快乐?或是说什么工作对你来说最难完成?
G: 嗯,我想数学是很特殊的。小时候,我喜欢的其实是天文学,觉得星星很有意思,但之后发现天文学家不光是看星星;他们不是看望远镜,而是用电脑去分析从望远镜得到的数据。不过这仍令人惊叹!
有人问我为什么玩那么多杂耍 (juggling) ?玩杂耍的人,很多是来自数学界或电脑科学界,历史和哲学领域里玩杂耍的较少。何以致此?个中关联似乎是,数学时或被描述成模式 (pattern) 的科学,我们是在追寻模式。杂耍是一门在时间和空间中掌控模式的艺术。常言道:杂耍的症结是,球确实到达的位置,取决于你如何扔出,而非依照你的期望。电脑运作程式时,完全遵照你的嘱咐,但不会有指令说:“喔,你应当知道我的意向。”它不知道你的意向是如何,你必须告诉它!数学里有无穷无尽的挑战,你永远解决不完所有的问题。每当你写了篇论文,就会有所延伸,诸如去探询更高的维度。杂耍也总会有越来越难的花招。很有趣的是,过去耍七颗球是非常困难的技巧,现在则已司空见惯,难度持续上升中。
YouTube上有段耍九颗球的影片,杂耍者一面耍球、一面将九颗球抛到背后,难以想像。这看似不可能,但总有坚定有毅力之士。一旦你目击一些事情是可能的,心里就有所领会。好比当年出现首位四分钟内跑完一英里的人。那成绩看来无法企及,但一旦有人做到了,就会有更多人达成。
葛立恒在玩杂耍,5颗球
刘: 我记得有位名叫Bannister[1929∼2018, 英国著名赛跑运动员和神经学专家, 是第一位于4 分钟内跑完1 英里的人]之类的人物,相当晚近,似乎在70年代⋯
G: 我认为Roger Bannister是第一个做到的,目前纪录大概是3:45左右。现在普遍认为会有人可以在两小时内跑完马拉松,但几年前这听来似乎不可能。[编者注:目前的记录是2小时1分39秒,由1984年出生的肯尼亚运动员Eliud Kipchoge 保持]
叶: 你也曾是专业的蹦床[蹦床为体操项目, 2000年悉尼奥运正式列入比赛项目之一]选手?
G: 是的,蹦床也是一种的杂耍形式,以你自己为抛弹的主体,所以不可抛丢!我父母在造船厂造船,因此我小时候经常搬家,每年念不同的学校,从来没真的好好念高中或国中。我跳过级,没念过12年级,15岁就去上芝加哥大学, Carl Sagan[1934∼1996, 美国天文学家、 宇宙学家、 科普作家。小行星2709 及火星上的一个撞击坑以他的名字命名。他因撰写多部科普著作及电视影集而享誉全球, 曾获普利兹奖]是我的同学。我在那里接触到体操和杂耍。芝加哥大学有个社团,每周聚会数次,学习各种不同的马戏技巧,如杂耍、单轮车、体操⋯⋯等。到高中巡回表演, 展示芝加哥大学是个多么有趣的地方, 成了一个招生的手法。蹦床是其中一部分。我到现在还保有一个弹翻床。如今世界水准急剧上升。蹦床在澳大利亚奥运会上被引介, 成为奥运项目。中国眼见蹦床成为奥运项目, 企图成为世界第一。中国有了最好的教练、 最好的设备、 及最好的运动员, 如今举世无匹。毫无疑问地, 他们是世界第一。
2008年北京奥运何雯娜女子蹦床夺冠
刘: 而且他们很小就开始训练。
G: 是的,但要有好的训练。他们有大量人口可供挑选,再加上精良的训练技巧,有些表演技艺真令人叹为观止。表演者经常弹跳10米高。以往,蹦床上有人时,你站到床附近,在他飞过时,试着从下方抓住他。现在如果有人从米高坠落,你再也不用这样做了;取而代之的是,你扔一个防护垫,然后说:“祝你好运!”另外,蹦床上还有框架垫,落到上面安全无虞;即使有些闪失,也无妨,大命可保。
我们谈到这些事物,有一个基本原则:要理解一项复杂的东西时,你可以把它分解成几个小的部分;掌握小的部分后,再它们凑合在一起。举个例子,我正在研究这个方块。想想当你长途飞行时,有什么事情可以做?有这个魔方 (Rubik's cube) 。
叶: 这是9×9×9 的?
G: 不是,是7×7×7的。如今已制作出各种不同的尺寸。四十年前魔术方块初问世时,是3×3×3。之后希腊有位人士,习得制作技术,做出更大的魔术方块,最大可达7阶左右,但转起来不很顺畅。中国大陆有更好的建构技术,目前尺寸可达17阶。这些立方体的每个面,都有很多像素 (pixels) 。去年夏天, MAA (即美国数学协会) 百周年纪念会议上,我将MAA和100的字样印在13×13×13立方体的面上,致赠他们。
这看起来极其复杂,但其实并不复杂,因为有标准技巧如下述:首先让各个面的中央区[不在周边的部分]呈单色。这是个奇数尺寸的立方体,所以中央区始终置中。这是第一步,花了我半小时左右来确实完成每一面。然后你让周边的颜色ㄧ致[亦即,在角落方格外的部分有单一颜色],但周边的内部不需要与面的中心部分同色,很快地,所有面的中央区呈单色,且所有周边的颜色布局ㄧ致。接着,你可以想像你有个3×3×3魔术方块,其中央层非常肥厚,于是7×7×7方块等价于3×3×3方块,而你接下来就可以套用3阶的演算法。
这个想法就是:把看似复杂的东西,简化成许多较小且较单纯的区块。这就真的数学化了。通常当立方体渐趋完成,你的任何动作都会破坏之前完成的部分;你不想如此,因此需要一些步骤来移动少量的方格。这里有各种等价类:边上的任何方格都和内部的方格不同类,我不能把这里的方格放在那里;角落上的八个方格等价,我可以把它们放在这八个角落的其中任何一个位置上,但不能把它们放在非角落的区域。所以这两个方格是等价的。举例来说,我想把这个方格放在这里,于是我开始填补白色这面,想把这个方格放在这里。现在的想法是:这方格即将放在这位置,所以我把这个方格移上来这里,接着旋转这个面,而后回复成之前的样子;这过程形成代数上所谓的3-循环 (长度为三的循环) 。所以⋯⋯我要做的就是⋯⋯这方格⋯⋯现在放在上方;接着我旋转这个面, 而后再把它转回去;现在我把它放到底部。我所做的就是处理这三个方格, 重新排列它们, 恰好是3-循环。
叶: 还记得四十年前,我玩魔方,玩到有点疯狂,无法停止思考,就是停不下来。我年纪很小时就试着自己搞定它,而后就着迷了。我无法停止,也无法入睡,一心一意只想着这些。我真是太疯狂了,兄弟姐妹都叫我停下,但我就是无法停下。最后,我到郊外山区某处,大吼大叫地跑着,最后觉得非常、非常地累,昏昏睡去,才终于停下来。
G: 嗯!我无时无刻不在想它。如果你勇于挑战,会发现这里有个方格。这是第二层的第3、 5和6号方格。嗯,你看这面, 3、 5、 6,第二层的,这三个可以换到这里。有个步骤可以同时把这三个移到那里, 3、5和6 ⋯⋯回到上方,转个面,然后⋯⋯3、 5、 6,现在我把它们换到那里了。所以我简单地说,一旦你完成了面和边的部分,还有一些事⋯⋯可能发生的是,虽然有一个群结构在,因此你可以任意移位,但有时还是会陷入棘手的状况:一切都完美,就差了个乱糟糟的边!这就是所谓的宇称性问题 (parity problem) ,只会发生在偶数阶的魔术方块上。有些复杂的步骤可以解决这样的状况。正如蹦床,当你持续注视魔法,一切了然于心;当我看着它,我凝视着我打算移动的方格,不看其它方格。
当今人类的能力极限让人惊叹,譬如竞速赛的最佳比赛记录是8秒。还有个竞赛,先把数个魔术方块打乱,而后让你逐一端详,接着戴上眼罩去解它们;目前的纪录是50。
叶:50秒吗?
G:不是,50个!戴上眼罩时,你只知道目前在解第37个、第38个、第39个等等,由其他人总计你解决了几个。YouTube影片上的某玩家,解了50个魔术方块中的49个,不过我认为他其实是可以搞定全部50个。你必须记得每个魔术方块。
有个3阶魔术方块的问题是:若想解决任意打乱的魔术方块,至少需要多少步骤?必要的步骤多达几个?Google服务器列举了所有可能的位置,发现你在20个步骤内,一定可以还原任何被打乱的魔术方块。事实上,通常17个步骤就够了,只有少数情况需要20个步骤。但竞速的选手通常不会使用最少步骤的演算法,因为这要花过长的时间去心算。
叶: 你对拉姆齐数 (Ramsey number) R(5,5)的值有何看法?15 年前, 有人声称这个问题会在几年内被解出来。
G: 我认识的人都没说这个问题会被解决。Erdős有个好故事:一些外星人要求我们算出拉姆齐数R(5,5),否则要摧毁我们。好吧,世人通力合作个几年,可能算得出它。但如果他们要的是R(6,6),那就只好攻击他们, 因为我们无法计算它。
叶: 那是个广为流传的故事,没错!
G: 譬如,这个立方体有超过 10160 种布局,你无法确实列出每一种,来找出最少步骤的解。10160已超出我们所能计算的范围了。
如同许多领域,在组合数学,无法解出原来的问题时,你可以将问题一般化,而后去解不同的特例。思考原来的拉姆齐数问题时,你可以着眼于 m 个顶点的完全图Km,把它的边上色,得到5或6个顶点的单色子图。你不会得到红色 K5 和蓝色 K5 ,但或许能得到单色的红色 K5 或蓝色 K3 ,这是对角线外的情况。众人对这些已有较多了解;一旦完全理解它们,或可计算出R(5,5)。
70年代, Kenneth Appel 和Wolfgang Haken 借助电脑解决四色问题。Haken认为不存在人类可审视的简短证明;这是问题的本质使然。四色猜想是对的,因为它在很多特殊情况是对的;如果该猜想在某情况下不成立,定理就不成立。你可以对一些算术系统证明:n个符号足以陈述的某定理,其最短证明的长度为n的双重指数,因此你永远无法将该证明写下,尽管它证明的是定理。
数论有个后设猜想 (meta-conjecture) :若要证明一个数n是质数,则符号用量的成长速度至少是logn。若真如此,则无法证明形如
有一个可能:我们所熟悉的数学定理,或许正好都有很短的证明,让人类可以确实写下,比如说一百页之内。有限单群 (finite simple groups) 的分类呢?你可以用一页纸来陈述这个问题,但最短的证明会是如何?可以在一百页内完成吗?我不这么认为。一千页呢?或许吧!那个证明被分成好几个小部分,不同的部份由不同的人担纲。Conway 那时还希望在这群人宣布证明后,能找到其中遗漏的某个单群,但他说:“不,他们可能提出完整的分类了。”我想,当时他们之中有些作者仍盼着自己是最后完成的人;如果你是最后完成的人,就可以说:“我终于完成它了!”
开普勒猜想 (Kepler conjecture) 的证明,虽被Annals of Mathematics接受【Annals of Mathematics, 162 (2005), 1065–1185】,却附带一则免责声明:众多审稿人审查了这篇文章,但它如此繁复,而且需要依赖如此大量的电脑计算,因此这个证明无法完全被验证。但他们95%相信它是对的。据我所知,目前已有人提出形式化的证明 (formal proof) 。
当电脑声称某事是对的时,你相信它吗?一百页的证明?我较相信电脑,较不相信人!即使Feit-Thompson关于奇数阶群的论文 ,原稿的第一版也有一些错误,但Thompson 说:“别担心,我们会修正它们。”事实上, Appel和Haken发表论文后,还有篇后续论文,名为“四色证明足矣” (“the four color proof suffices”) 。重点是,论文的首版往往不完美,但我们总希望学界的其他人能参与其事,协力找到完整简洁的证明。我们很失望学界没这么做。顺带一提,四色定理也有形式化的证明了。
刘: 你曾在贝尔实验室多年,那是你数学生涯的一段重要章节。
G:当时贝尔实验室有个很强的团队。贝尔实验室曾是AT& T的一部分,而AT& T执掌美国电话网络。贝尔实验室比较像是一所大学,但你不用授课,又有实际问题可以探讨。电晶体在那里被发明,资讯理论的奠基者Claude Shannon也在那里任职。此外,举例来说,Unix作业系统是在那里创建的。我们有个非常强大的数学团队,金芳蓉隶属其中;我和她的指导老师Herb Wilf 初结识时,是在贝尔实验室,而不是在Wilf执教的费城。
但世局多变,变动速度与日俱增,我刚去那里时,其他人告诉我,我的研究成果在未来一、二十年还无法应用,我想这倒无妨,反正之后他们仍会在那里,可以利用我的成果。而今,三年就被认为是非常长的时段了,因为电脑世界三年已历经两代。我正在用的iPhone 6+,已经落伍了。
叶: 他们说最新的版本是iPhone 6s,很快就要出iphone 7了!
G: 下一代的产品通常较优质,但不会比较便宜,而且总会在不久之后问世;何必现在购入呢?我们通常用Apple的产品,决定试试看Android手机,买了Galaxy6,很不错;它和iPhone稍有不同,但有些很好的特性。这些公司必须竞争,精益求精。这有点像在学习;做符号计算 (Symbolic Computation) 时,我通常使用Maple,尽管大家都用Mathematica、 Matlab和Sage。最麻烦的是转换软体,要经历一番学习过程,譬如:用什么方式宣告列表 (list) 、字串或向量?要把小括号、中括号、大括号放在那里?什么时候应该要用分号终止指令?不变不换较为省事 (Apple产品又是另一回事) 。但世界很大,你应该多体验。我在贝尔实验室的工作,容许我四处旅行,因此有时我整学期到外地授课。我也到实验室附近的西东大学 (Seton Hall University) 学中文。
大自然的运行致使你接触到许多好问题。来自大自然的某些东西,可能正好促成某些事情。举例来说,我们曾遇到过一个涉及雷射的问题,希望雷射中有某些光的介质,好让光经过时吸收能量;我们的构想是在每一端放一面镜子,让光束来回多次,汲取大量能量。但你必须让光束离开雷射,所以你在一端放个小洞,好让光束逃逸。光束的影像在每一端都由小圆圈组成。最终要找的,是这些圆圈所覆盖的区域范围。我们为这些圆圈找到极佳的模式。组装好配置后,我们希望看到它运作。麻烦的是,光束落在红外线光谱,所以我们无法看到任何东西。嗯,不论如何,它可以运作。
刘: 数学有许多面向。你认为来日的数学研究本质上会是如何?
G: 这问题很有意思。菲尔兹奖得主Timothy Gowers近日在一篇文章中谈到:2099年之前,电脑或可完成所有重要的数学。电脑会提出猜想、找到证明。而数学家的工作,是试着去理解和运用其中的一些结果。
电脑不断地进步。我在日前的演讲提到,某位人工智慧的研究员编写了程式“Graffiti”,从而提出图论方面的诸多猜想,目前猜想个数已达六千;金芳蓉几年前对其中一个猜想找到一个不很显然的证明。编写它的研究员表示,最困难的是去判断各个猜想是否有趣。目前的电脑并不是那么擅长找证明,但它们至少还善于做猜想。
你可以在多项式时间内分解整数吗?如今有了所谓的量子运算;如果你造出真的量子电脑,就可以在多项式时间内分解整数。那么,有任何造不成它的理由吗?物理学家起初预期会有难以克服的天然障碍,但目前普遍认同打造成功的可能性。困难的是,缠结的 (entangled) 量子位元 (qubits) 要够多,且要孤立够久,方可做出有趣的事。近千个量子位元可能就够用,但目前的系统仅有数十个位元。不过,实验学家十分聪明机智,我们且拭目以待,等个几年。
叶: 南京大学的孙智伟是计算数论 (Computational number theory) 学家,提出了很多很多组合数论方面的猜想。对第n个质数的性质,他总能提出出人意表的猜想。
G: 他做了许多电脑实验。几年前,他实地走访加州一学期。当年六月在温哥华有个会议,他和姚期智等多人与会, Don Knuth 也在那里待了五天,十分难得!
叶: 正如你所言,许多人在用电脑。
G: 没错。质数看似随机出现,很多很多的猜想植基于此。但事实上质数不是随机的。正因为它们不随机,所以有诸多让人惊叹的性质。它们实际上是确定的 (deterministic) ,但有些性质让它们看似随机。如果它们确为随机,许多猜想就会有明显的答案。举例来说,有个我悬赏1000美元的猜想,是关于二项式系数的中间项 , 2n取n;在巴斯卡三角形,它是每一行的中央项。这一项始终是偶数 (这很容易证明) 。有个问题是:二项式系数的中间项
理由如下述。任取质数p,你或许会问:二项式系数中间项
Erdős、 Rusza和我证明了这种状况会发生于任意两个质数。那么,对3、 5、7、11这四个质数呢?现在你进行相同的机率计算,比x小且与这四个质数都互质的数,个数是x的负数次方 (此负数很小) ,因此其个数是有限的。3160似乎是最大的了。至少到10的10000次方,它是最大的,在3160到1010000之间没有其他的,所以3160大概是最大的。如果你相信它们的行为具有类随机性,则理应如此。但如果你试图证明它,情况可能与正规数 (normal numbers) 的证明相若。数字n对b进位是正规的,若且唯若b进位的所有可能数字都(渐近地)出现相同的次数,更一般地说,对所有k,b进位的所有可能数字在所有 k-元组 ( k-tuple) 都 (渐近地) 出现相同次数。绝对正规数(abosolutely normal number)是那些对每个b,它的b进位都是正规的数。几乎所有数字都是绝对正规, 但没人可确实举出一个实际例子。这显示我们还有很多东西要了解。
刘: 这就像几乎所有数都是超越数,却很难证明特定一个是如此。
叶: 随机的事物广受关注。我听说你正在研究准随机性 (quasi-randomness) ;那是什么?
G: 对于行为类同随机事物的对象,你乐于找到它们的明确构造,但如果你可以建构出它们,就会更了解它们的性质。若以1/2的机率决定各对顶点是否以边相连,会形成一个图,而后你几乎可确定某些事情。举例来说,如果你着眼于一半的顶点,那么你预期多少边会形成呢?没错,你会预期半数的边出现。或者,你考虑其邻接矩阵 (adjacency matrix) , i顶点和j顶点有边相连时(i,j)为1,否则(i,j)为0。接着你观察其特征值;对称矩阵特征值为实数,所以最大的特征值大约是n/2,而其他特征值为o(n)。
这是准随机性。有几十个这类性质是等价的;你的图如果具备其中一个性质,必定也会有其他所有性质。这种行为很像随机图 (random graph) 。Szemerédi 36 正则性引理 (regularity lemma) 说的其实是:你把任意一个图分解成有限数量的子图,而后任取两个子图,它们组成的二分图 (bipartite graphs) 几乎可以确定是准随机的。
2017年, Simons计算理论研究所 (Simons Institute for the Theory of Computing) 举办拟随机 (pseudo-randomness) 和准随机 (quasi-randomness) 的特别半年,我和金芳蓉都在那里⋯⋯
刘: 在何地?
G: 柏克莱。
刘: 嗯嗯, MSRI?
G:MSRI在山上,而这是校园内的新大楼。很高兴去年能待在那里几个月!James Simons是我在柏克莱的同学。他赚了大钱,大量回馈给数学。有个很好的线上杂志Quanta【https://www.quantamagazine.org/】,你们读过吗?那是Simons基金会发行的,刊登数学、物理、生物等学科的好文章和人物访谈。
刘: 看得出来你从数学中得到许多乐趣,非常好!
G: 如果它无趣,何必做它?是吧?我告诉学生,无论你选择什么为职业,最好确实喜欢它;因为不论你选择了什么,都将长时间从事它。
你读过ICCM Notices【https://intlpress.com/site/pub/pages/journals/items/iccm/content/_home/index.html】吗?几年前,我首次在那里发表文章。
许多演讲内容经年累积,而后再参酌最近的成果。譬如谈到张益唐,目前确认的质数间隙 (prime gap) 已降至246,但上次我给演讲时是270,所以昨天改成246。有个网站会登载当前记录。再如当前所知的最大质数是277,232,917−1, 这似乎每隔几年就会改变。
刘: 有些猜想,在直观上很容易掌握,感受上又令人兴奋,譬如孪生质数猜想,你可以讲给任何懂乘法表的人听。基本上,还有其他需要花时间解释的猜想。你提到未来的数学研究,其中一项或可幸存的,我想是易于解释又让人兴奋的猜想,它们显然会让人振奋。譬如孪生质数,或是Goldbach猜想:任意大于2的偶数都是两个质数的总和。
叶: 没错,两个质数的总和。
G: 每个大于2的数。最近的结果才刚证明,每个大于5的奇数都是三个质数的总和。众人持续推动进展,不过要搞定孪生质数,我认为需要更多东西。
我喜欢张益唐的故事。我刚从维基百科得知他现在是Santa Barbara的教授。有部关于他人生的电影,非常不错,一小时而已,很平静,我喜欢。他的夫人在加州,非常活跃又爱跳舞。我倒不觉得张益唐是个爱跳舞的人。
关于张益唐的电影 counting from infinity
刘: 我想我们可能要就此打住,我们聊了一个半小时,很有意思,非常感谢你。希望不久的将来在台北见到你。
* 本文访问者刘太平任职中央研究院数学研究所, 叶永南任职中央研究院数学研究所。
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