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最美公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（微分篇）| 众妙之门
以下文章来源于长尾科技 ，作者长尾科技
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历史上，我们对世界物质世界的认识经历了好几次大革命。第一次大革命是以牛顿定律为代表的力学革命。它建立了一个世界观，认为万物都是由粒子组成的，而粒子的运动是由牛顿定律来描写的。这使我们感到牛顿的力学理论，是描写世界上一切物质的完美理论，包括看起来很不相同的波动现象（见《见证奇迹的时刻：从牛顿定律到波的运动》）。
第二次大革命是以麦克斯韦方程为代表的电磁革命。它统一了三种看起来很不相同的自然现象：电、磁和光现象，并特别指出光其实就是一种电磁波（一种由电磁相互转变而引起的波动性）。一开始，大家还试图用牛顿的机械运动来解释电磁波。虽然粒子的集体运动能导致各种各样的波动现象，但这些波没有一个满足麦克斯韦方程。这使大家认为电磁波（光波）并不是一种由牛顿定律来描写的机械波，而是一种全新的自然现象。所以我觉得电磁革命的最本质发现，是发现了物质的新形态：一种场形态的物质。这一场形态物质的运动规律并不是由牛顿定律来描写的，而是由麦克斯韦方程来描写的。电磁革命也改变了我们的世界观：我们不仅有由粒子组成的物质，还有场形态物质。而粒子之间的相互作用，正是由这些场形态物质所引起的。
更近期的两次物理革命是相对论革命和量子革命。这些物理革命对人类产生了极其巨大的影响。轮船、火车、汽车、飞机、照明、收音机、电视、计算机、手机、塑料、医药，等等，没有这些物理革命，我们是无法发展到现在的程度的。这些物理革命所形成的新的世界观成为人类现代文明的基础和内涵。
每次物理革命都不是一个人完成的，而是由很多英雄来缔造的。今天的文章是一个系列的第二篇文章，给读者介绍一下电磁革命的来龙去脉，以及这些改变人类文明的革命是如何在探索和好奇中被发现的。
—— 文小刚
在积分篇里，我们一直在跟电场、磁场的通量打交道。我们任意画一个曲面，这个曲面可以是闭合的，也可以不是，然后我们让电场线、磁感线穿过这些曲面，它们就两两结合形成了四个积分形式的方程组。从这里我们能感觉到：麦克斯韦方程组的积分形式是从宏观角度来描述问题，这些曲面都是宏观可见的东西。那么微分形式呢？微分形式似乎应该从微观角度去看问题，那么我们要怎样把曲面、通量这些宏观上的东西弄到微观里来呢？
一个很简单的想法就是：让宏观上的东西缩小再缩小，直到缩小成一个点，这样不就进入微观了么？积分形式的麦克斯韦方程组需要选定一个曲面，但是它并没有限定这个曲面的大小，我们可以把这个曲面选得很大，也可以选得很小。当我们把这个曲面选得很小很小的时候，麦克斯韦方程组的积分形式就自然变成了微分形式。所以，微分形式的基本思想还是很简单的，真正麻烦的地方是在于，如何寻找一种方便的计算方式，这些我后面会细说。 因为微分形式和积分形式的这种承接关系，我建议大家尽量先看看积分篇的内容。在积分篇里，我是从零开始讲电磁学，讲麦克斯韦方程组，所以阅读起来不会有什么门槛。但是到了微分篇，上篇文章已经详细说了一些东西（诸如电场、通量、环流等概念），这里就不会再细说了。我们不会从天而降地抛出一个东西，如果在这篇文章里遇到了什么难以理解的东西，可以看看是不是在积分篇里已经说过了。 好，下面进入正题。在积分篇里跟大家讲过，麦克斯韦方程组总共有四个方程，分别描述了静电（高斯电场定律）、静磁（高斯磁场定律）、磁生电（法拉第定律）、电生磁（安培-麦克斯韦定律）。这四个方程各有积分和微分两种形式，积分形式我们上篇已经说过了，微分形式我们还是按照顺序，也从静电开始。01微分形式的静电在积分篇里，我们是这样描述静电的：在空间里任意画一个闭合曲面，那么通过闭合曲面的电场线的数量（电通量）跟这个曲面包含的电荷量成正比。用公式表述就是这样：
这就是积分形式的高斯电场定律：左边表示通过闭合曲面 S 的电通量（E是电场强度，我们把面积为 S 的闭合曲面分割成许多小块，每一个小块用 da 表示，那么通过每一个小块面积的电通量就可以写成 E·da。套上一个积分符号就表示把所有小块的电通量累加起来，这样就得到了通过整个闭合曲面 S 的电通量），右边那个带了enc下标的 Q 就表示闭合曲面包含的电荷量，ε0 是个常数。这些内容在积分篇里已经详细说过了，这里不再多言。 下面是重点：因为这个闭合曲面 S 是可以任何选取的，它可以大可以小，可以是球面，也可以是各种乱七八糟的闭合曲面。那么我们就不妨来学习一下孙悟空，变小变小再变小，让这个闭合曲面也一直缩小再缩小，缩小到无穷小，那么这时候高斯电场定律会变成什么样呢？ 这里会涉及一丢丢极限的概念，我们这样考虑：一个闭合曲面缩小到无穷小，其实就是它的表面积或者体积无限趋向于 0。也就是说，我假设有一个球的体积为 ΔV，然后让这个 ΔV 无限趋近于0，那这样就可以表示这个球缩小到无穷小了。用数学符号可以记成这样：
lim 就是英文单词极限（limit）的缩写，ΔV通过一个箭头指向 0 可以很形象地表示它无限趋近于 0。有了这个极限的概念，我们就可以很自然的表示通过这个无穷小曲面的电通量了（直接在电通量的前面加个极限符号），这时候高斯电场定律就成了这样：
这样，我们就把高斯电场定律从宏观拉到了微观：方程的左边表示曲面缩小到无穷小时的电通量，方程的右边表示无穷小曲面包含的电荷量。但是，当曲面缩小到无穷小的时候，我们再使用电荷量 Q 就不合适了，所以我们改用电荷密度（符号为ρ）。电荷密度，从名字里我们就能猜出它表示的是单位体积内包含电荷量的大小，所以它的表达式应该是用电荷量除以体积，即：ρ=Q/V。 所以，如果我们把微观的高斯电场定律左右两边都同时除以体积 ΔV，那么右边的电荷量 Q 除以体积 ΔV 就变成了电荷密度 ρ，左边我们也除以ΔV，那么公式就变成了下面这样：
公式的右边除以体积 ΔV，就成了电荷密度 ρ 除以真空介电常数ε0 ，那左边呢？左边原来是通过无穷小曲面的电通量，它除以体积 ΔV 之后表示什么呢？这一长串的东西，我们给它取了个新名字：散度。 也就是说，电场 E 在一个点（被无穷小曲面围着的这个点）上的散度被定义为电场通过这个无穷小曲面的电通量除以体积。散度的英文单词是 divergence，所以我们通常就用 div(E) 表示电场 E 的散度，即：
所以，高斯电场定律的微分形式就可以表示成这样：
这样写的话，是不是就感觉熟悉多了？也就是说，同样是为了表示散度，我们用 ▽·E 代替了原来无穷小曲面通量和体积比值那么一大串的东西。而且这样还非常好计算，使用这种新的方式，只要给出一个电场，分分钟就可以把电场的散度写出来。这种倒三角▽符号，绝对是符号简化史上的奇迹。 所以，我接下来的工作，或者说理解麦克斯韦方程组的微分形式的核心内容，就是要来告诉大家这个倒三角▽符号到底是什么意思，▽·（后面加了一个点）又是什么意思？为什么 ▽·E 可以表示电场 E 的散度呢？为什么▽·E 跟我们前面散度的定义 div(E) 是等价的？也就是说：
从这个图里我们可以看到：Δy 的值是要比 dy 大一点点的，但是随着 Δx 或者 dx 的减小，它们之间的差值会急速减小，比 Δx 减小的快得多，这个差值也是我们常说的高阶无穷小。Δy 叫做函数从一点到另一点的增量，而 dy 则被叫做函数的微分，或者叫它的线性主部。“以直（dy）代曲（Δy）”是现代微积分的一个核心思想，从这个图里可见一斑。
在微积分刚创立的时候，莱布尼茨把 dx 看作一个接近 0 但又不等于 0 的无穷小量，这种“朴素”的思维很符合直觉，而且用这种思想来计算也没什么错，但是它的基础是非常不牢固的。正是这种幽灵般的无穷小量 dx（时而可以看作是0，时而可以当除数约分）导致了第二次数学危机，数学家们经过一个多世纪的抢救才给微积分找到了一个坚实的地基：极限理论。
这段内容不是太理解没关系，只要知道我们可以用 dy/dx 表示函数在 M 点的导数（在这里就是切线的斜率），可以用它来表示图像在这里变化的快慢就行了。
再回到人的身高随年龄变化的这个例子里来。人在各个年龄 t 都会对应一个身高y，这每个（t,y）就对应了图上的一个点，把这些点全都连起来大致就能得到这样一个图：
在导数 dy/dt 大的地方，图形里的斜率很大，通俗的说就是曲线很陡峭；而导数很小的地方，对应的曲线就很平缓。 在这个例子里，身高 y 随着年龄 t 变化而变化，也就是说给定任何一个 t 的值，都有一个 y 的值跟它对应，我们就可以说身高 y 是关于年龄 t 的函数（function），记作 y=f(t)。这个 f 自然就是函数的英文单词 function 的缩写，函数就是这样一种对应（映射）关系。在这里，身高 y 的值只跟年龄 t 一个变量相关，我们就说这是一个一元函数。但是，如果问题稍微复杂一些，某个量不止跟一个量有关，而是跟多个量有关呢？04多个变量的偏导数比如山的高度，一座山在不同点的高度是不一样的，而在地面上确定一个点的位置需要经度和纬度两个信息。或者，你可以自己在地面上建立一个坐标系，然后地面上每一个点都可以用（x,y）来表示。因为每一个位置（x,y）都对应了那个地方山的高度 z，那么 z 就成了一个关于 x 和 y 的函数，记作 z=f(x,y)。因为山的高度 z 需要两个变量 x 和 y 才能确定，所以我们说 z=f(x,y) 是一个二元函数。 再例如，我房间的每一个点都有一个温度，所以房间的温度 T 是一个关于房间内空间点的函数，而房间里每一个点的位置需要长宽高三个变量（x,y,z）才能确定。所以，我房间里的温度 T 是一个关于 x,y,z 的三元函数，记作 T=f(x,y,z)。 我们再来回过头来看看导数，在一元函数 y=f(t) 里，我们用 dy/dt 来表示这个函数的导数，导数越大的地方曲线变化得越快。因为一元函数的图像是一条曲线，曲线上的一个点只有一个方向（要么往前，要么往后，反正都是沿着 x 轴方向），所以我们可以直接用 dy/dt 表示函数变化得有多快。但是，如果这个函数不是一元函数，而是二元、三元等多元函数呢？
比如山的高度 z 是关于位置 x,y 的二元函数 z=f(x,y)，这时候地面上的每一个点（x,y）都对应一个值，它的函数图像就是一个曲面（如山的表面），而不再是一条曲线。而曲面上的每一个点有无数个方向（前后左右360°都可以），x 和 y 只是这无数方向中的两个，那我们要如何把握这无数个方向上的高度变化快慢呢？ 当然，我们不可能把这无数个方向都一一找出来，也没这个必要。一个平面上有无数个点，但是我只用 x 和 y 这两个方向组成的（x,y）就可以表示所有的点。同样的，虽然在函数曲面上的一点有无数个方向，不同方向函数变化的快慢都不一样的，但是我们只要把握了其中两个，就能把握很多信息。 那么我们要如何表示函数 z 沿着 x 轴方向变化的快慢呢？直接用 dz/dx 么？好像不太对，因为我们的 z 是一个关于 x 和 y 的二元函数，它的变量有两个，你这样直接 dz/dx 合适么？合法么？但是，如果我在考虑 x 轴方向的时候，把 y 看作一个常数，也就是把 y 轴固定住，这样函数 z 就只跟 x 相关了，于是我们就把一个二元函数（曲面）变成了一个一元函数（曲线）。
有了偏导数的概念，我们就有办法写出 dz 和 dx、dy 之间的关系了。在一元函数里，导数是dy、dt，我们自然就可以写出 dy 和 dt 之间的关系：
那么，到了二元函数 z=f(x,y) 的时候呢？我们想象有个人在山的一点要往另一点爬，我们让他先沿着 x 轴的方向爬（也就是固定住 y 的值），假设他沿 x 轴移动了 dx。根据上面偏导数的定义，如果我们把 y 的值固定了，那么他在 x 轴方向上的导数是可以用偏导数 ∂z/∂x 来表示，那么在他沿着 x 轴移动的时候，他上升的高度就可以写成 (∂z/∂x)·dx。同样，接下来他沿着 y 轴方向走的时候，他上升的高度就可以写成 (∂z/∂y)·dy。我们把这两个部分上升的高度加起来，不就得到了最终爬山的高度变化 dz 的了么？也就是说：
这个公式我们可以把它做作全微分定理，它其实是对上面一元函数导数关系的一个自然推广。它告诉我们，虽然在曲面的一个点上有无数个方向，但是只要我们掌握了其中x和y两个方向上的偏导数，我们就能把握它的函数变化 dz。还原到爬山的例子上来，这个公式是在告诉我们：如果我知道你沿着x轴和y轴分别走了多少，然后我知道这座山在x轴和y轴方向的倾斜度（即偏导数）是多少，那我就知道你爬山的纯高度变化有多少（又是几近大废话）。 我们费了这么多劲就为了推出这个公式，那么这个公式里肯定隐藏了什么重要的东西。不过，现在这种形式还不容易看清楚，我们还得稍微了解一点矢量分析的内容，把公式拆成矢量点乘的形式，那就明显了。06再谈矢量乘点关于矢量点乘的事情，我在积分篇的第六节就已经说过一次了，因为电场的通量 Φ 就是电场 E 和面积 a 的点乘：Φ=E·a。因为矢量是既有大小又有方向的量，而我们小时候学习的乘法只管大小不管方向，所以两个矢量之间就得重新定义一套乘法规则，而最常见的就是点乘（符号为‘·’）。 两个矢量 OA、OB 的点乘被定义为：OA·OB=|OA||OB|cosθ（矢量的表示原本是在它头顶上加一个箭头，但是这里不方便这样表示，那就用黑体表示了）。它表示一个矢量 OA 在另一个矢量 OB 上的投影OC（OC=|OA| cosθ）和另一个矢量的大小的乘积，可见两个矢量点乘之后的结果是一个标量（只有大小没有方向）。
08梯度的诞生
对于很多高中生来说，这只是一个熟悉得不能再熟悉的结论，但是我还是从头到尾给大家扎扎实实地推导了一遍。我不喜欢那种凭空突然冒出一个结论的感觉，所以我也希望读者看我的文章，每个结论得出来都是踏踏实实的，都是严密的逻辑推导出来的。这个式子有什么用呢？我们看看它的后面一半（带箭头的 x，y 表示矢量，对应上面公式里的黑体 x,y ）：
再对比一下我们上面推导出来的全微分定理：
这个全微分定理的右边跟矢量点乘的右边是不是很像？都是两个量相乘然后把结果加起来。如果我们把 dx 看作 x2，dy 看作 y2，两个偏导数看作 x1 和 y1 ，那么我们就可以按照点乘的公式把全微分定理拆成两个矢量点乘的样子，即 dz 可以写成这样：
于是，dz 就被我们拆成了两个矢量点乘的样子，我们再来仔细看看这两个矢量：右边这个矢量的两个分量分别是 dx 和 dy，这分别是沿着x轴和y轴移动无穷小的距离，它们相加的结果用 dl 来表示：
绕了这么久，我们现在终于看到这个▽符号了，这个▽z的名字就叫：z的梯度。 把左右两边的矢量都单独拎出来之后，我们就可以把原来的式子写成更简单的样子：
这一段信息量有点大，对于没接触过矢量分析的人来说可能会稍有不适。我们前面绕那么大弯子讲全微分 dz，讲矢量的点乘，都是为了引出这个式子，然后从中提炼出梯度 ▽z 的概念。不是很理解的朋友可以好好再看一看上面的文章，再想一下，我们基本上是从零开始一步一步写到这里来的，只要耐心看肯定能看懂。 搞懂了这些事情的来龙去脉之后，我们就来重点看看我们引出来的▽z，也就是z的梯度。09梯度的性质这个梯度我们要怎么去看呢？首先▽z是一个矢量，是矢量就既有大小又有方向，我们先来看看梯度的方向。 上面我们已经得到了 dz=▽z·dl，把 dz 表示成了两个矢量的点乘，那我们再根据矢量点乘的定义把它们展开，就可以写成这样：
这个dz则表示山的高度的一个微小变化，那么，沿着哪个方向走这个变化是最快的呢？也就是说，我选择哪个方向会使得 dz 的变化最大？ cosθ 表示的是直角三角形里邻边和斜边的比值，而斜边总是比两个直角边大的，所以它的最大值只能取1（极限情况，θ=0°的时候），最小为0（θ=90°）。而根据上面的 dz=|▽z||dl|cosθ，显然要让 dz 取得最大值，就必须让 cosθ 取最大值1，也就是必须让 ▽z 和 dl 这两个矢量的夹角 θ=0°。 两个矢量的夹角等于0是什么意思？那就是这两个矢量的方向一样啊。也就是说：如果我们移动的方向（dl的方向）跟梯度▽z的方向一致的时候，dz的变化最大，我们高度变化最大。这就告诉我们：梯度▽z的方向就是高度变化最快的方向，就是山坡最陡的方向。
假设你站在一个山坡上四处遥望，那个最陡的地方就是梯度的方向，如果你去测量这个方向的斜率，那这就是梯度的大小。所以，梯度这个名字还是非常形象的。10▽算子我们再仔细看一下梯度▽z的表示：
这个东西就值得我们玩味了，这是啥？▽z表示的是二元函数 z=f(x,y) 的梯度，也就是说我们先有一个函数z，然后我们把这个▽往函数z前面一放，我们就得到z的梯度。从函数z得到z的梯度的具体过程就是对这个函数z分别求x的偏导和y的偏导。 也就是说，单独的▽是这么个东西：▽自己本身并不是什么具体的东西，需要给出一个函数，然后对这个函数进行一顿操作（求x和y的偏导），最后返回这个函数的梯度。这就像是有一个特定功能的模具：你给我一堆面粉，我一顿处理之后返回你一个饼。但是显然的，它并不是面粉，也不是饼，它单独的存在没有什么意义，它一定要跟面粉结合才能产生有具体意义的东西。
这种东西叫算子，▽就叫▽算子（读作nabla算子）。基于▽算子的巨大影响力，它又有一大堆其他的名字：从它的具体功能上来看，它被称为矢量微分算子；因为它是哈密顿引入进来的，所以它又被称为哈密顿算子；从读音上来说，它又被称为 nabla 算子或者 del 算子。这些大家了解一下，知道其他人在谈论这个的时候都是在指▽算子就行了。11梯度、散度、旋度▽算子不是一个矢量，除非你把它作用在一个函数上，否则它没啥意义。但是，它在各个方面的表现确实又像一个矢量，只要你把▽算子的“作用”看成矢量的“相乘”。 一个矢量一般来说有3种“乘法”：
1、矢量 A 和一个标量 a 相乘：aA。比如我把一个矢量 A 的大小变为原来的2倍，方向不变，那么这时候就可以写成 2A。
2、矢量A和一个矢量B进行点乘：A·B。这个点乘我们上面介绍很多了，A·B=|A||B|cosθ，这里就不说了。
3、矢量A和一个矢量B进行叉乘：A×B。这个叉乘跟点乘类似，也是我们单独针对矢量定义的另外一种乘法，|A×B|=|A||B|sinθ。大家可以看到，这个叉乘跟点乘唯一的区别就是：点乘是两个矢量的大小乘以它们的余弦值 cosθ，叉乘是两个矢量的大小乘以它们的正弦值 sinθ（在直角三角形里，角的对边和斜边的比为正弦 sinθ，邻边和斜边的比值为余弦 cosθ）。 那么，同样的，我们的▽算子也有3种作用方式：
1、▽算子作用在一个标量函数 z 上：▽z。这个 ▽z 我们上面说过了，它表示函数 z 的梯度，即函数z变化最快的方向。
2、▽算子跟一个矢量函数 E 点乘：▽·E。这就表示 E 的散度，我们开篇讲的高斯电场定律的左边就是电场 E 的散度，它就是表示成▽·E这样。
3、▽算子跟一个矢量函数 E 叉乘：▽×E。它叫 E 的旋度，这个我们后面会再详细说。
散度和旋度
这样，我们就以一种很自然的方式引出了这三个非常重要的概念：梯度（▽z）、散度（▽·E）和旋度（▽×E）。大家可以看到，▽算子的这三种作用跟矢量的三种乘法是非常相似的，只不过▽是一个算子，它必须作用在一个函数上才行，所以我们把上面的标量和矢量换成了标量函数和矢量函数。 我们在描述山的高度的函数 z=f(x,y) 的时候，不同的点（x,y）对应不同的山的高度，而山的高度只有大小没有方向，所以这是个标量函数，我们可以求它的梯度 ▽z。但是，电场 E 既有大小又有方向，这是一个矢量，所以我们可以用一个矢量函数 E=f(x,y) 表示空间中不同点（x,y）的电场 E 的分布情况。那么对这种矢量函数，我们就不能去求它的梯度了，我们只能去求它的散度 ▽·E 和旋度▽×E。 为了让大家对这些能够有更直观的概念，我们接下来就来仔细看看电场的散度▽·E。12电场的散度当我们把电场的散度写成▽·E这样的时候，我们会觉得：啊，好简洁！但是我们也知道▽算子的定义是这样的：
那么▽·E 就应该写成这样：
而我们知道电场 E 其实是一个矢量函数（不同点对应的电场的情况），那我们还是可以把 E 分解成 x,y 两个分量的和，这两个分量后面跟一个x和y方向的单位向量就行了。那么，上面的式子就可以写成这样：
然后，因为矢量点乘是满足分配律的，所以我们可以把它们按照普通乘法一样展开成四项。因为 x 和 y 是垂直的单位向量，所以 x·y=y·x=0，x·x=y·y=1，然后剩下的就只有这两项了（这一块的推导逻辑跟“坐标系下的矢量点乘”那一节一样，觉得有点陌生的话可以再返回去看看那一部分）：
这个函数的图像是一条直线（不信的可以自己去找一些x的值，代入进去算算y的值，然后把这些点画在图上），它的斜率是2，也就是说导数是2。也就是说，对于一次函数（最多只有x，没有x的平方、立方等），它的导数就是x前面的系数（2x前面的2），而后面的常数（1）对导数没有任何影响。 例2：求电场 E=2x+yy 的散度。
我们先来看看这个电场 E ，它在 x 方向上的分量为 Ex=2 ，系数是2，也就是说它沿着 x 方向的电场强度是不变的，一直都是2。另一方面， E 在 y 方向上的分量为 Ey=y，系数是y，也就是说当沿着y轴越走越远的时候，系数y也会越来越大，这就表示y方向上的电场强度会越来越大。（编注：这里 E 的下标表示沿 x 或 y 方向的分量，并不表示仅仅是关于 x 或 y 的函数，这里要区分下。） 所以 E=2x+yy 描述的是这样一个在x轴方向上不变，在y轴方向上不断变大的电场。要求这个电场的散度，根据上面的式子，我们得先求出电场的偏导数，那偏导数要怎么求呢？还记得我们是怎么得到偏导数这个概念的么？我们是固定y的值，也就是假设y的值不变，把y看作一个常数，这时候求得了对x的偏导数；同样，把x当做一个常数，求函数对y的偏导数。 那么，按照前面的推导，我们分别对矢量函数 E 在 x 和 y 方向上的两个分量 Ex 和 Ey 求偏导。当我们求函数对 x 的偏导数 ∂Ex/∂x 时，我们可以把 y 当作常数（就像例1中后面的1一样）。如果y是常数，x方向前面的系数又是2，也是常数，所以这整个就变成了一个常数（常数的导数为0），所以 ∂Ex/∂x=0。同样，当我们求y的偏导的时候，就把 x 都看成常数（导数为0），而 y 方向前面的系数为y（导数为1），所以∂Ey/∂y=1。 那么电场 E 的散度 ▽·E 就可以表示成这两个偏导数的和：▽·E = ∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y =0+1=1，也就是说，电场 E 的散度为1。 这虽然是一个非常简单的求电场散度的例子，但是却包含了我们求偏导，求散度的基本思想。通过这种方式，我们可以很轻松的就把电场E的散度▽·E求出来了。 补了这么多的数学和推导，我们现在有了一个定义良好、计算方便的散度▽·表达式了，但是，你还记得我们在开始讲到的散度的定义么？我们最开始是怎样引入散度的呢？ 我们是从麦克斯韦方程组的积分形式引入散度的。高斯电场定律说通过一个闭合曲面的电通量跟这个闭合曲面包含的电荷量成正比，而且这个曲面可以是任意形状。然后我们为了从宏观进入微观，就让这个曲面不停地缩小再缩小，当它缩小到无穷小，缩小到只包含一个点的时候，这时候我们就说通过这个无穷小曲面的通量和体积的比就叫散度（用 div 表示）。
也就是说，我们最开始从无穷小曲面的通量定义来的散度和我们上面通过偏导数定义来的散度▽·指的是同一个东西。即：
但是，根据我们上面的分析，散度反映的是无穷小曲面的通量，这直接跟这一点是否有电荷对应。那么，这个图的中心有一个正电荷，那么这点的散度不为零没毛病，但是其他地方呢？其他地方看起来也是散开的，但是其他地方并没有电荷，没有电荷的话，其他点电场的散度就应该为0（因为这个地方无穷小曲面的通量有进有出，它们刚好抵消了），而不是你看起来的好像是散开的，所以为正。 也就是说，对于一个点电荷产生的电场，只有电荷所在的点的散度不为0，其他地方的散度都为0。我们不能根据一个电场看起来是散开的就觉得这里的散度都不为0，那么，这个散开到底要怎么理解呢？ 你可以这么操作：把电场线都想象成水流，然后拿一个非常轻的圆形橡皮筋放到这里，如果这个橡皮筋的面积变大，我们就说这个点的散度为正，反之为负。如果你把橡皮筋丢在电荷所在处，那么这点所有方向都往外流，那么橡皮筋肯定会被冲大（散度为正）；但是在其他地方，橡皮筋会被冲走，但是不会被冲大（散度为0），因为里外的冲力抵消了。这样的话，这种散开的模型跟我们无穷小曲面的通量模型就不再冲突了。（编注：散度 divergence 也被称为“源”或者“汇”，这里就是通过水流形象地类比散度的意义，电荷即为电场之“源”和“汇”。）
用具体的公式表示就是这样：
公式左边是电场 E 的环流，用来描述这个被感生出来的电场，而公式的右边是磁通量的变化率，用来表示磁通量变化的快慢。 这个法拉第定律是用积分形式写的，我们现在要得到它的微分形式，怎么办？那当然还是跟我们上面的操作一样：从积分到微分，把它无限缩小就行了。我们把这个非闭合曲面缩小再缩小，一直缩小到无穷小，那么这里就出现了一个无穷小曲面的环流。 还记得我们怎么定义散度的么？散度就是通过无穷小闭合曲面的通量和闭合曲面体积的比值，而我们这里出现了一个无穷小非闭合曲面的环流，因为非闭合曲面就没有体积的说法，只有面积。那么，通过无穷小非闭合曲面的环流和曲面面积的比值，会不会也有是一个另外什么量的定义呢？ 没错，这确实是一个全新的量，而且这个量我们在前面稍微提到了一点，它就是旋度。我们把▽算子跟矢量做类比的时候，说一个矢量有三种乘法：跟标量相乘、点乘和叉乘。那么同样的，▽算子也有三种作用：作用在标量函数上叫梯度（▽z），以点乘的方式作用在矢量函数上被称为散度（▽·z），以叉乘的方式作用在矢量函数上被称为旋度（▽×z）。 也就是说，我们让▽算子以叉乘的方式作用在电场 E 上，我们就得到了电场 E 的旋度▽×E，而这个旋度的另一种定义就是我们上面说的无穷小非闭合曲面的环流和这个曲面的面积之比。因为旋度的英文单词是 curl，所以我们用curl(E) 表示电场的旋度。所以，我们就可以写下下面这样的式子：
跟散度的两种定义方式一样，这里的旋度也有 ▽× 和无穷小曲面的环流两种表述方式。在散度那里，我给大家证明了那两种散度形式的等价性，在旋度这里我就不再证明了，感兴趣的朋友可以按照类似的思路去尝试证明一下。18矢量的叉乘因为旋度是▽算子以叉乘×的方式作用在矢量场上，所以这里我们来简单看一下叉乘。两个矢量A和B的点乘被定义为：A·B=|A||B|cosθ，它们的叉乘则被定义为|A×B|=|A||B|sinθ，其中 θ 为它们的夹角。单这样看，它们之间的差别好像很小，只不过一个是乘以余弦 cosθ，另一个是乘以正弦 sinθ。 从它们的几何意义来说，点乘表示的是投影，因为|OA|cosθ刚好就是OA在OB上的投影，也就是OC的长度。那么叉乘呢？叉乘是|OA|sinθ，这是 AC 的长度，那么|A×B|=|A||B|sinθ=|AC||OB|，这是啥？这是面积啊，如果以OA和OB为边长作一个平行四边形，那么AC就刚好是这个平行四边形的高，也就是说，矢量 A 和 B 的叉乘（|A×B|=|AC||OB|）就代表了平行四边形 OADB 的面积。
公式的左边是电场的环流，右边是磁通量的变化率，它告诉我们变化的磁通量会在曲面边界感生出电场。我在积分篇里说过，磁通量（B·a）的变化可以有两种方式：磁场（B）的变化和通过曲面面积（S）的变化，我们上面这种方式是把这两种情况都算在内。但是，还有的学者认为只有磁场（B）的变化产生的电场才算法拉第定律，所以法拉第定律还有另外一个版本：
左边除以面积ΔS，那右边也得除以面积，右边本来是磁感应强度的变化率（∂B/∂t）和面积的乘积，现在除以一个面积，那么剩下的就是磁感应强度的变化率∂B/∂t了。那么，麦克斯韦方程组的第三个方程——法拉第定律的微分形式自然就是这样：
这个问题我们在讨论散度的时候也遇到过，很多初学者认为只要看起来发散的东西就是有散度的，我们通过分析知道这是不对的。一个点电荷产生静电场，只有在电荷处散度不为零，在其他地方，虽然看起来是散开的，其实散度是零。如果我们放一个非常轻的橡皮筋在上面，除了电荷所在处，在其它地方这个橡皮筋是不会被撑开的（即便会被冲走），所以其他地方的散度都为零。
同样的，在旋度这里，一个变换的磁场会产生一个旋涡状的电场，在旋涡的中心，在磁场变化的这个中心点这里，它的旋度肯定是不为零的。但是，在其它地方呢？从公式上看，其它地方的旋度一定为零，为什么？因为其他地方并没有变化的磁场啊，所以按照法拉第定律的微分形式，在没有变化的磁场的地方，电场的旋度肯定是0。 跟散度一样，我们不能仅凭一个感生电场是不是旋转状的来判断这点旋度是否为 0，我们也需要借助一个小道具：小风车。我们把一个小风车放在某一点上，如果这个风车能转起来，就说明这点的旋度不为0。只要把风车放在感生电场中心以外的地方，就会发现如果外层的电场线让小风车顺时针转，内层的电场线就会让小风车逆时针转，这两股力刚好抵消了。最终风车不会转，所以旋度为0。
左边是磁场的环流，右边是曲面包围的电流（带enc下标的 I ）和电场的变化率。它告诉我们，如果我们画一个曲面，通过这个曲面的电流和这个曲面里电通量的变化会在曲面的边界感生出一个旋涡状的磁场出来，这个旋涡状的磁场自然是用磁场的环流来描述。 可以想象，当我们用同样的方法把这个曲面缩小到无穷小的时候，如果我们在方程的左右两边都除以这个曲面的面积，那么方程的左边就成了磁场 B 的旋度▽×B，右边的两项除以一个面积会变成什么呢？ 电通量的变化率除以面积之后就剩下电场的变化率 ∂E/∂t，这个跟法拉第定律的磁通量变化率除以面积类似。那么电流（带enc的 I ）那一项呢？电流 I 除以面积得到的东西是什么？这里我们定义了一个新的物理量：电流密度 J。很显然，这个电流密度 J 就是电流除以电流通过的曲面的面积（注意不是体积）。相应的，电流密度的单位是 A/m²（安培每平方米）而不是 A/m³。 这样，麦克斯韦方程组的第四个方程——安培-麦克斯韦定律的微分形式就自然出来了：
虽然还是有点长，但是相比积分形式已经是相当良心了，它告诉我们某一点感生磁场的旋度 ▽×B 等于电流密度 J 和电场变化率 ∂E/∂t 两项的叠加。其实它跟积分形式讲的都是一回事，都是在说电流和变化的电场能够产生一个磁场，只不过积分形式是针对一个曲面，而微分形式只是针对一个点而已。22麦克斯韦方程组至此，麦克斯韦方程组的四个方程：描述静电的高斯电场定律、描述静磁的高斯磁场定律、描述磁生电的法拉第定律和描述电生磁的安培-麦克斯韦定律的微分形式就都说完了。把它们都写下来就是这样：
高斯电场定律说，电场的散度跟这点的电荷密度成正比。高斯磁场定律说，磁场的散度处处为0。法拉第定律说，感生电场的旋度等于磁感应强度的变化率。安培-麦克斯韦定律说，感生磁场的旋度等于电流密度和电场强度变化率之和。 这里最引入注目的就是▽算子了，它以点乘和叉乘的方式组成的散度▽·和旋度▽×构成了麦克斯韦方程组微分形式的核心，这也是为什么我要花那么大篇幅从偏导数、矢量点乘一步步给大家引出▽算子的原因。也因为如此，微分篇的数学部分比积分篇要多得多得多，相对也要难以理解一些，所以大家要稍微有耐性一点。
从思想上来讲，微分形式和积分形式表达的思想是一样的，毕竟它们都是麦克斯韦方程组。它们的差别仅仅在于，积分形式是从宏观的角度描述问题，我们面对的是宏观上的曲面，所以要用通量和环流来描述电场、磁场；而微分形式是从微观的角度来描述问题，这时候曲面缩小到无穷小，我们所面对的就变成了一个点，所以我们使用散度和旋度来描述电场、磁场。 这一点是特别要强调的：通量和环流是定义在曲面上的，而散度和旋度是定义在一个点上的。我们可以说通过一个曲面的通量或者沿曲面边界的环流，但是当我们在说散度和旋度的时候，我们都是在说一个点的散度和旋度。
我们只不过把定义在曲面上的通量和环流缩小到了一个点，然后顺势在这个点上用利用通量和环流定义了散度和旋度。因为定义散度和旋度还要分别除以体积和面积，所以积分方程的右边也都相应地除以体积和面积，然后就出现了电荷密度 ρ（电荷Q除以体积V）和电流密度 J（电流 I 除以面积S），电通量和磁通量那边除以一个体积和面积就剩下电场强度 E 和磁感应强度 B 的变化率，仅此而已。 如果我们从这种角度去看麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式，你就会觉得非常自然和谐。给出积分形式，你一想散度和旋度的定义，就可以立马写出对应的微分形式；给出微分形式，再想一想散度和旋度的定义，也能立刻写出对应的积分形式。当我想从宏观入手的时候，我看到了曲面上的通量和环流；当我想从微观入手的时候，我也能立马看到一个点上的散度和旋度。积分和微分形式在这里达成了一种和谐的统一。23结 语到这里，麦克斯韦方程组的积分篇和微分篇就都说完了。我们在这两篇文章里先从零开始引出了通量，然后从通量的概念慢慢引出了麦克斯韦方程组的积分形式，再从积分形式用“把曲面压缩到无穷小”推出了对应的微分形式。整个过程我都极力做到“通俗但不失准确”，所有新概念的引出都会先做层层铺垫，绝不从天而降抛出一个新东西。目的就是为了让更多的人能够更好地了解麦克斯韦方程组，特别是让中学生也能看懂，能理解麦克斯韦方程组的美妙，同时也激发他们对科学的好奇和热爱之心，打消他们对“高深”科学的畏惧之心：看，这么高大上的麦克斯韦方程组，年纪轻轻的我也能看懂，也能掌握！ 此外，麦克斯韦方程组是真的很美，你掌握的物理知识越多，就会越觉得它美。我也更希望大家是因为它的美而喜欢这个方程组，而不仅仅是因为它的“重要性”。我们也都知道，麦克斯韦写出这套方程组以后，就从方程推导出了电磁波，当他把相关的参数代入进去算出电磁波的速度的时候，他惊呆了！他发现这个电磁波的速度跟人们实验测量的光速极为接近，于是他给出了一个大胆的预测：光就是一种电磁波。
可惜的是，英年早逝的麦克斯韦（48岁去世）并没能看到他的预言被证实，直到他去世9年后，也就是1888年，赫兹才首次证实了“光是一种电磁波”。那么，麦克斯韦是怎么从方程组导出电磁波的呢？既然我们已经学完了麦克斯韦方程组，想必大家也很知道如何从这套方程组推导出电磁波的方程，然后亲眼见证“电磁波的速度等于光速”这一奇迹时刻。这部分的内容，我们下篇文章再说。 最后，这篇文章主要参考了《电动力学导论》（格里菲斯）和《麦克斯韦方程直观》（Daniel Fleisch），大家想对麦克斯韦方程组做进一步了解的可以看看这两本书。 最美的方程，愿你能懂她的美～
后记
麦克斯韦方程是近代物理的基石之一。每个做物理的人都需要掌握。要想知道麦克斯韦方程有多重要，我这里讲个故事。我每次从加拿大开车入境美国，在边境上，美国检察官都这样问：“你是干什么的？”我回答：“搞物理的。”检察官：“你知道麦克斯韦方程有几个吗？”我想：如果检察官是研究生水平，我应当回答两个。如果检察官是大学生水平，我应回答四个。如果检察官是高中生水平，我就不知道回答几个了。最后我试着说：“四个。” 他就放我过境了。(看来我不是假装搞物理的。)—— 文小刚
END
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