2018年菲尔兹奖得主：在自然里寻找稳定性的旅行者

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2018年菲尔兹奖得主 Alessio Figalli 是在自然里寻找稳定性的旅行者。他以他广泛的好奇心、杰出的洞察力和极高的技术能力探索着奇妙的自然现象：什么形状所包围的面积最大？肥皂泡在空气中为什么是球形？天空中的云朵如何改变形状？而这些问题都与被称为最优输运理论的数学分支有关。

编译 | 收藏沙子的旅人

在数学中，最优输运理论（optimal transport theory）是一个极其活跃的研究领域，吸引了一些数学领域里最顶尖的头脑，Alessio Figalli则作为其中主要的领导者与创新者脱颖而出。他的作品包括大约150篇著作，就算对一个已到退休年龄的数学家来说，这都是非常显著的成就，而他竟在34岁就创造了如此丰硕的成果，这简直令人吃惊。比他的著作数量更重要的是它们的广度和深度，这一切都显示出他广泛的好奇心、杰出的洞察力和极高的技术能力。

Alessio Figalli在英国杜伦大学（Durham University）数学系图书馆。他的妻子Mikaela Iacobelli是杜伦大学数学系的教授，他自己则是瑞士苏黎世联邦理工学院（ETH）的数学教授。| 图片来源：Tom Parker /QuantaMagazine

要在很短的篇幅内对Figalli的成就做一个全面的概述是不可能的。因此，在这里我们首先要简要地介绍最优输运的概念，然后描述三个用以说明Figalli的工作范围和精湛技艺的问题。

五岁的Alessio Figalli在罗马的幼儿园。他说：“我总是试图平衡如何取得好成绩，与要花多少时间来取得这样的成绩。我一直在做最优化，想要通过最少的努力来取得最好的结果。” | 图片来源：Alessio Figalli

最优输运理论假如书架上放着n本书，那么将这套书整体向右移动一个位置的最佳方法是，将第n本书向右移动一个位置，然后将第（n-1）本书向右移动一个位置…… 依此类推，最后将第1本书向右移动一个位置。这个方法的“成本（cost）”是n步。还有另外一种最优解法的“成本”也是n步，那就是直接将第1本书向右移动n个位置。这两种方法都是最优输运映射。
大约250年前，法国数学家蒙日（Gaspard Monge，1746-1818，微分几何之父）在其作品中第一次对这类问题进行了严格分析，他分析了如何将建筑材料从来源地运输到建筑地点，能使成本最低。从抽象的几何学的角度来看这个问题，蒙日得出的结论是，最优输运映射是使建筑材料行经路程最短的那个。

蒙日在为拿破仑修建防御工事的过程中，寻找运输建筑材料的最有效方法。| 图片来源：QuantaMagazine

最优输运问题非常直观，然而它背后蕴藏的数学复杂性不容小觑。其复杂性来源于将材料从一个位置移动到另一个位置，或者更复杂的情况下，将多个物品从多个初始位置移动到多个目标位置的多种可能性。例如，如果不局限于用一个个小推车来运输建筑材料，那么或许可以将一个小推车中的建筑材料分送到多个目标位置，比如说用铲子来分割。为了找到最优方法，运输材料可以被分割为无限小的分量，然后确定这一份运到这里，那一份运到那里。这样就会有无限多的自由度，只有用数学分析才能研究无限小或无限大尺度上的变化。此后约150年间，蒙日的工作一直无人继续发展，部分原因是缺乏必要的数学工具。到了二十世纪四十年代，经济学家和数学家康托罗维奇（Leonid Kantorovich，1912-1986）应用测度论和泛函分析这些现代数学工具，让这个主题重现生机。他扩宽了这个问题的设置，使之包含更复杂的情形，例如几家面包店为几家不同的咖啡店供应物品。在这种情况下，最优输运映射将面包店与咖啡店匹配，使得运输烘焙食品的总成本最低。1975年，康托罗维奇因为他的工作获得了诺贝尔经济学奖。
等周问题在二十世纪八十年代，数学家在最优输运领域取得了一些重要的理论进展，爆炸式地引发了在城市规划、工程设计、流体力学、图像处理、形状识别和生物学等领域的新应用。这些进展也刺激了最优输运在数学领域内的应用，尤其是在黎曼几何和偏微分方程方面。Figalli及其合作者Francesco Maggi与Aldo Pratelli研究的等周问题（isoperimetric problem），就是它在偏微分方程方面的一个典型例子。
经典的等周问题可以阐述为：对于确定数量的围栏，什么形状所包围的土地面积最大？可以证明，最佳形状是一个圆，要用围栏包围一块固定的面积，圆形能使围栏的长度最小化。

古希腊传说中关于迦太基的建立有这样一个故事。Dido女王来到北非，向当地的国王请求一块土地来建造城市。国王答应给她一块牛皮能够包围大小的土地，于是女王将牛皮裁切成条状，连接起来，在靠近海岸的地方围成一个圆形，因为圆形能够以最短的周长，包围最大的面积。这就是迦太基城，而这个故事说的就是等周问题。| 图片来源：IMU

肥皂泡为等周问题提供了另一个绝佳例子：在包围固定体积的空气的情况下，肥皂泡使得一种特定类型的能量——肥皂薄膜的表面张力最小化。

肥皂泡在空气中近似为球形，因为球形是最稳定的形状，在包围固定体积空气的情况下，球形的表面积最小，因而需要最小的能量来保持形状。| 图片来源：IMU

当物理学家说一个肥皂泡稳定时，意思是指如果轻微地碰一下肥皂泡，它只会轻微地晃动，一个轻微的碰触不会导致形状发生极大的改变。而数学家则会用公式和不等式来描述当肥皂泡被轻微碰触时，到底会发生什么。他们会证明，数学表征具有一定程度的稳定性，与我们在自然界中观察到的相符合。晶体和肥皂泡类似，它们也采用了能量最小化的形状，尽管这是一种由晶体的原子结构决定的、截然不同的形状。虽然肥皂泡和晶体的特性在一个世纪前就被理解了，然而，这些特性被极端理想化了，并且没有考虑其他可能的作用力。例如，如果从外部对一个晶体施加某种能量，比如说热能，那么这个晶体会如何形变？变化后的形状会与之前的形状相似，还是截然不同？数学家想要精确的量化这种稳定性。这个问题被Figalli及合作者当作一个最优输运问题解决了。当施加的能量大小为E时，理想的晶体形状被“输运”到一个新的形状。以晶体转变为新形状时必须移动的点阵的距离的平方作为损失函数，也就是这个过程的成本。Figalli等人得到了令人惊讶的简单结果：当系统确立解的稳定性时，平均来说，每个点移动的量与深层的理论结果相等，这意味着，如果增加的能量保持适度，那么形状的变化也将是如此。

（左）加热晶体，它会发生缓慢地发生形变，从最低能量态转变为较高的能量态。（右）这个过程从最优输运的角度来看，就是找到最优的方法将晶体从初始的稳定态移动到略微扩大的、变形的状态，也就是找到前后两种晶体形状之间的最优输运映射。Figalli等人证明，如果晶体系统的能量增加一定量，那么，晶体最终形状与初始形状的差异不会超过一个特定值。他们还证明，这个值是增加的能量引发晶体形变程度的严格上限。| 图片来源：Quanta Magazine

从“蒙日-安培方程”到“半地转方程”与Figalli的工作有关的第二个例子是他与几个合作者共同完成的，这个工作同样产生了深刻的理论成果，而且有些成功可以立即应用于推进对半地转方程的理解。二十世纪九十年代，气象学家首先提出了半地转方程，用它们来模拟大气和海洋中的大规模的动力学。气象学家借此表达对大规模流动现象的物理学理解，并涉及了诸如速度、压强、地转风等物理量。虽然半地转方程似乎直观地提供了大气和海洋现象的正确描述，但要获得方程的可靠解却很困难。在这种情况下，方程可能不存在解，或者存在很多解，却无法分辨哪个解能表达实际的物理现象。计算机几乎帮不上什么忙，因为需要的近似可能最终提供的是不正确的解。我们需要的是对方程系统的稳健的理论理解，以及对于解的存在性与唯一性的严格结果。这些正是Figalli及合作者创造的进展。他们考虑了另一个方程——蒙日-安培方程（Monge-Ampere equation），这个方程在数学中被广泛研究，特别是在微分几何中，并且出现在科学和工程领域的诸多问题中。

Figalli等人证明了蒙日-安培方程的正则性（regularity）。和稳定性一样，正则性是物理现象的数学表征最重要的特性之一。在物理学中，正则性意味着系统平滑地演化。例如，天空中的一片云会缓慢地改变形状，但是它不会突然变成一种全然不同的形状。如果从数学上描述云的演化，将会看到类似的事情：随着方程的输入值缓慢变化，代表云朵形状的输出值也会缓慢变化。| 图片来源：IMU

在半地转的情境下，蒙日-安培方程表达的是从一种密度到另一种密度的最优输运，其中，“成本”是行经距离的平方（动能的一种形式）。这些密度可以是水滴，或者是云中的粒子，它们都以最优的方式四处移动。对于一个确定的密度，蒙日-安培方程提供了最优输运映射。

用微小粒子的集合来模拟云的形状变化。| 图片来源：IMU

过去五十年来，关于蒙日-安培方程的所有已知结果都未能提供一个明确的方法，来将最优运输连接到半地转现象的情境中。这就是为什么Figalli与合作者Guido De Philippis一起完成的工作让人如此兴奋。他们在理解蒙日-安培方程解的结构方面取得了突破，而这个方程恰好提供了使得最优输运理论能够应用于半地转方程所需的东西。
他们考虑气流从最初的形状和位置转变为接下来的形状和位置的最优输运映射，并证明，在初始形状中接近的点，在接下来的形状中仍然彼此接近。接着，他们证明，输运映射的这个特点蕴含着半地转方程解的正则性。他们的工作优雅地平衡了技术策略与创造性的洞察力。在这之后，De Philippis、Figalli与Luigi Ambrosio、Maria Colombo一起，直接攻克了半地转方程，并提供了三维凸域中一个基本完整的解。自由边界问题与Figalli的工作相关的最后一个例子是自由边界问题（free boundary problem）。这些问题在数学中已经得到了深入的研究，特别是在极小曲面（minimal surface）几何方面，并且经常出现在物理和生物学，以及许多工业和金融问题中。考虑一块淹没在水中的冰，冰块内部是温度低于0摄氏度的区域，冰块外部则是温度高于0摄氏度的区域。那么分割这两个区域的边界的形状是怎样的呢？另一个例子是所谓的障碍问题（obstacle problem）。假设在一根水平放置的线上固定了一个弹性膜，在线与弹性模的下方置有一个障碍物，比如说一个静止在桌面上的球。如果将膜降低到障碍物上，就会看到弹性模的两个不同区域：与球接触的部分，和没有与球接触的部分。这两个区域的边界就是所谓的自由边界。当障碍物是一个球时，两个区域的边界是一个圆形。但是，如果障碍物更加复杂或不规则，那么边界的形状就很难预测了。数学家以抽象的形式研究这些问题，其中发生接触的物体可以是任何维度的。直觉上，我们猜测自由边界是平滑的，但是要证明这一猜测却极其困难。原则上，自由边界可以是一个非常不规则的集合，甚至是图形的分形结构，或者还可能拥有奇点，也就是扭结（kink）、褶皱（fold）、或自相交（self-intersection）。在二十世纪七十年代之前， 我们对自由边界的形状和平滑性知之甚少，哪怕是最简单的情形。一个关键的进展出现在1977年，Luis Caffarelli证明了，在一组奇点之外，自由边界是平滑的。他还给出了关于这组奇点的形状的一个相当精确的几何描述。在接下来的40年里，我们仅在二维物体的情形中取得了确定的结果。因为这个原因，当Figalli与合作者Joaquim Serra在2017年对自由边界给出了完整而明确的描述时，收获到了热烈的称赞。他们证明，在三维情形下，自由边界非常光滑，直到出现一些孤立的奇点。并且，对于任意维度，他们证明了关于自由边界上的奇点特性的一个明晰的结果。在这项工作中所引入的新方法正在产生广泛的影响。

Figalli思维之敏捷让他的同事们非常赞叹。他的合作者David Jerison说：“他难以置信的快，快速处理基本问题，快速分离出重点。” 他的妻子Iacobelli说，当别人介绍Figalli的一长串成就时，他看起来很害羞，而这份谦逊吸引了她。他的合作者Ambrosio说，Figalli有着非常平和、友善的性情。或许正是这种平和的性情，使他在面对数学中巨大的不确定时，始终保持镇定。| 图片来源：IMU

Figalli的研究领域被强大的技术机器所包围，外人往往很难穿透。作为操作这一机器的大师，Figalli通过他杰出的阐释，解决了种种技术细节，揭示了概念结构，并拓展了这个领域。他的影响也因为他在与学生和年轻同事分享想法时的友善与慷慨而被放大。他的个人素养和数学才华的结合，使得Figalli成为了一个理想的领导者。而他在数学领域的影响，也才刚刚开始。

参考来源

https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2018/figalli-final.pdfhttps://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2018/ALESSIO_FINAL.mp4https://www.quantamagazine.org/alessio-figalli-a-mathematician-on-the-move-wins-fields-medal-20180801/

本文经授权转载自微信公众号“原理”。

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