张寿武：数学中的无解之解

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人类对数的抽象思考古已有之。约2500年前，毕达哥拉斯就提出了“万物皆数”。随后，无理数的发现开启了数学家对二次方程的求解。在追求三次方程及更高次方程的路途上，一代代天才数学家艰苦求索，付出了各式代价。费马大定理的求解花费了数学家数百年时间；四次方程被求解后两百多年，阿贝尔才证明了五次方程不可解。11月16日，普林斯顿大学数学系教授张寿武在未来论坛上以《数学中的无解之解》为题，报告了方程无解给数学带去的思想激荡

演讲 | 张寿武（普林斯顿大学数学系教授，美国艺术与科学学院院士）

整理 | 木槐、Helen

很高兴能够参加未来科学大奖周，我接到组委会邀请来做一个30分钟的报告，这对我来说是不太容易的事情，我之前都是给数学系大学生、研究生或者对数学有兴趣的中学生做报告，所以第一次做公众报告讲解关于未来科学的题目，对我来讲有点沉重，我讲点轻松的东西。

今天听众里大人比昨天多些，昨天碰到很多中学生来听报告。中学生通常考虑的问题是念什么专业最有前途。在这个年代恐怕有两个主题是最好的专业，一个是计算机，一个是金融，这两个专业都可以给你带来丰厚的工资。在我们的年代也一样，我们那时叫做“学好数理化，走遍天下都不怕”。我觉得数理化中最有用的大概是化学，因为像家里面所有的东西基本都是化学制品。信不信由你，当年我也考上中山大学化学系，进入化学之后发现化学不好学，然后就去看物理书，发现物理也不好学，学物理要把数学学好，所以我转到数学系去了。

数学家有两类，一类是应用数学家，他们能解决问题，还有一类是纯粹数学家，他们解决不了问题。我发现我没办法跟应用数学家在一起拼，因为他们的解题水平太高了，所以我就变成了一个纯粹数学家。纯粹数学家关注那些不能解的问题，所以就瞎掰，我今天的报告主要就是瞎掰，基本上没有什么用。但是如果你仔细听，你会发现这些瞎掰的数学也不容易做。

从万物皆数到求解三次方程

我讲的第一部分是万物皆数。万物皆数这个道理是古希腊的大哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras）提出来的，他通过研究乐律和星座，发现万事万物都与数字有关系，所以在研究世界之前，应当把数字研究清楚。他办了一个学校，是一个秘密学校，这个学校主要教授哲学、音乐、天文和数学。他把许多事都标上数，比如说1代表推理，2代表意见，3代表和谐，4代表公正，5代表婚姻和爱情，奇数代表阳，偶数代表阴。这就是他的观点。

古希腊哲学家毕达哥拉斯

毕达哥拉斯说的数是指有理数；先有整数，整数之后再有分数。有了整数之后我们就可以解所谓的线性方程。比如说3X= 5，那么X等于几？等于5/3。这就是毕达哥拉斯当年的研究。但毕达哥拉斯很快发现光有有理数是不够的。

大家知道勾股定理，但你如果到美国念书，它就不叫勾股定理，而叫毕达哥拉斯定理。我们现在虽然把它叫做毕达哥拉斯定理，但其实并不是毕达哥拉斯最先得出的，历史记载都比这早得多。但是这个定理的名字把功劳归于了毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯有一个学生在研究单位正方形的对角线时发现了问题，他发现对角线的长根号2不是有理数。这个问题就非常严重了，因为毕达哥拉斯认为所有的数都应当是有理数。他学生发现了这一问题，发现之后他还告诉别人，对毕达哥拉斯来说这可是不得了的事，后来他就把这个学生沉到海里去了。这位学生为发现无理数付出了生命的代价。有了无理数，我们现在就知道二次方程可以求解，并且我们的中学生可以得出这个解，这是很了不得的事情。若没有根号，我们的求解将会很困难。

现在又到了三次方程。求解三次方程也是一段很长的历史。在1500年以前，中国人已经知道数值解，这在数值解领域中是做得比较早的。但是在精确解方面，中国人没有研究过。我们知道中国人不会研究没用的东西，而数值解有用。关于三次方程的数学解，也有一个很长的故事。这些故事都是发生在几百年前的意大利。

起先有一个数学家叫费罗（Scipione del Ferro），他发现了解一些三次方程的方法，但是他还没有负数的概念，所以解方程比较被动，把正的挪到一边，负的挪到另一边，正的等于正的，所以他解方程很困难。我们现在叫配方，那个年代连减都不能减，所以更没法配方。他发现了一类方程的解，但是这个哥们儿写在小本上，他死了之后，交给他的女婿，他女婿也是个数学家，他女婿继承了他的位置并把这个方法保存起来。他的另外一个学生菲奥利（Antonio Maria Fiore）到处吹嘘自己知道怎么解三次方程。后来他碰到另外一个数学家，叫做塔塔里亚（Niccolò Fontana Tartaglia），塔塔里亚也知道怎么解三次方程，但是他们两个解的三次方程不一样。后来他们决定要打一次赌，要比一比，你出30道题，我出30道题，咱们就拼一拼。结果塔塔里亚在比赛的前一天整整算了一天，就把解菲奥利那些三次方程的方法弄出来了。这样，菲奥利忙活了一天都没有解出塔塔里亚的方程， 而塔塔里亚很轻松就赢了。那时候不像现在，那时如果你知道怎么解方程，就会把这个证明写出来，放在兜里，作为秘密保存下来。

当时，另外一个意大利数学家卡尔达诺（Girolamo Cardano）在写一本书，他想知道塔塔里亚怎么解方程，他问：“你能不能把这个秘密告诉我，我坚决不会告诉别人，等到多少年之后我再来发表。”卡尔达诺后来从别的途径知道很早之前菲奥利已经知道这个证明了，他把塔塔里亚的证明书写出来发表了。后来塔塔里亚就很生气：“你跟我发誓说不要发表这个证明，现在怎么给写出来发表了？”于是卡尔达诺就要跟塔塔里亚打赌，又要去比赛。卡尔达诺派了一个学生叫费拉里（Lodovico Ferrari），费拉里跟塔塔里亚比赛。费拉里这哥们儿更高明，他不只知道负数，他还知道复数，结果费拉里就赢了，赢了之后塔塔里亚不只是把钱都输光了，职位也丢了。那时候做数学的危险系数很高，前面丢了命，后面工作都没有了，这就是解三次方程的例子。其实到今天我们有正数和负数的概念之后，这个解并不复杂。

把三次方程 x³+px+q=0 跟 (y+z)³ 的展开式做一个比较可以发现，把这个方程可以变成三个容易求解的方程组。也就是 - (y³+z³)=q，-3yz=p，y+z=x，稍微学一点中学数学，这些方程就能求解了。但在那个年代不容易，三次方程就是这个样子。而四次方程，用刚才前面的方法也能求解。

五次方程里的两位天才悲剧数学家

现在我讲五次方程。五次方程困扰数学家许久。这个问题被250年后的阿贝尔（Niels Henrik Abel）解决了。阿贝尔这个人是一个传奇式的人物。举一个最简单的例子，大家知道科学里有诺贝尔奖，数学里面有菲尔兹奖，大家通常把菲尔兹奖和诺贝尔奖做比较，但这是错的。在1899年的时候，数学家们就提出来要用阿贝尔的名字做一个奖来代替诺贝尔奖，由于瑞典和挪威当时分裂了，这个事就耽搁了，耽搁了差不多一百年，所以阿贝尔奖第一次颁奖是2003年。你就知道阿贝尔这个人不是简单的人。

挪威数学家阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802-1829）

阿贝尔是个才情极高的数学家，但是他只活了26岁，是一个非常不容易的人。他早年在做数学的时候就已经发表过很多文章，但是不知道什么原因，他的很多工作都被拒绝。他第一次证明了五次方程不可解的时候，用六页纸写下来，他把讲稿寄给高斯（Carl Friedrich Gauss），高斯没理他。他后来在杂志发表了这个证明，当时很多人不相信，原因是证明太简略。他为什么不写长一点？ 他没钱。现在发表文章，把文章往杂志一投，审一下稿就发了。但是那时你如果发表文章要根据页数交钱，可他那时候没有钱，所以这个文章很短。你不要笑话他，前苏联也是这样，前苏联有很多数学家写的文章很短，我们现在认为苏联数学家写得很精炼，法国数学家写得很啰嗦，其实不是，苏联数学家没钱，所以他只能写那么短。所以阿贝尔这个五次方程不可解的结论，在过了很多年之后别人又重新给出证明。他为了证明五次方程不可解，引入了群论，所以阿贝尔是群论的创始人之一。阿贝尔几次到哥廷根、到巴黎去跟大数学家切磋，都以失败告终，因为他写东西写得不清楚，太精炼。他所有的荣誉都是在他死后得到的，他是得肺结核死的。最悲惨是，他死了几天之后，他在柏林的教职才批下来，寄到他家里面，所以是很悲惨的例子。今天的阿贝尔奖就是为了纪念他。

五次方程不可解还涉及另外一个数学家——伽罗瓦（Évariste Galois）。伽罗瓦是一个法国数学家，你看看他的岁数，他大概活了20岁。这个数学家小时候就有很高的数学天赋，他当时想考巴黎综合理工学院（École Polytechnique），当时是法国数学最好的大学，相当于我们早期的清华大学，清华大学三、四十年代数学系是最好的。但他只考了巴黎高等师范学院（École normale supérieure），相当于早期的北京大学。不过今天的巴黎高师很厉害， 我们的北京大学也很厉害。

法国数学家伽罗瓦（Évariste Galois，1811-1832）

伽罗瓦有很强的数学天赋，但他是一个政治热衷者，常常卷入政治斗争。他是共和派，以前分保皇派和共和派，他为了共和派上街游行、坐牢。坐牢时候，在牢房里面碰见一个姑娘，他喜欢这个姑娘，出狱后就为了那个姑娘去决斗。他知道他的对手比他强太多了，也知道他肯定必死无疑。在临死前五天，他把他所有知道的都写了下来，写在小本本里面。他之前曾经把论文寄给柯西（Augustin-Louis Cauchy）和傅里叶（Joseph Fourier），这两个数学家也不认为他的东西怎么样，一放放了几十年。所以几十年后，伽罗瓦的东西才发表。他所有的东西都是对的，而且他也独立发明了群论。

我讲了两个天才，伽罗瓦比阿贝尔的高明之处在于，阿贝尔说一般的五次方程不可解，伽罗瓦说随便你给我五次方程，我在几步之内就知道它可解不可解。你看有些数学家真是疯子，为了政治、为了爱情，把命都丢掉了，但是他丢了命确实跟数学没有关系，如果他好好做数学应该没有问题。

所以到这个地方我要打一个成语，过一会儿到我的演讲结束之后会把谜底揭示出来。“方程无解”打一成语，你如果知道先别说。

二次和与费马最后定理

第三部分要讲的，用现代化一点的语言，叫做“等幂和问题”，这是个很古老的问题。这个古老的问题是什么呢？我给一个整数，什么时候整数可以写成两个有理数的k次幂的和？这是一个很经典的问题。比如说1等于3/5的平方加4/5的平方，这跟前面有什么关系？如果前面所有解的东西都是一元多次方程，一个方程只有一个变元，这些东西可不可解的问题相对来讲简单一点。但是现在一个方程里面有两个变量在里面，要求在整数或有理数范围内求解，这问题就复杂得多了，因为多了一个维度。

这个问题也有很早的历史，应该最早是在欧几里得的《几何原本》里面就遇到了。欧几里得这本书也有两千多年的历史，它的印刷次数仅次于《圣经》。不过专门研究这些整数方程其实是在另外一本书里，是公元后两百年，有一个叫丢番图（Diophantus）的人，他写了一本叫《算术》的书。书里面大概有几百道数学问题，他的书跟中国《九章算术》差不多同时代，《九章算术》也列了几百道问题，也提到哪些数可以写成两个数的平方。丢番图通过一些演算之后，他猜测一个素数能够写成两个数的平方，当且仅当这个数除以4余1。 比如5，5是1的平方加2的平方，11就不能写成两个数的平方和，因为你把11除以4之后余3，对吧？17没问题，4的平方加1的平方。他的猜想差不多花了1000多年之后才被费马（Pierre de Fermat）证明。

法国数学家费马（ Pierre de Ferma，1601-1665）

费马是一个传奇式的人物，首先他不是一个数学家，他是一个法官，作为法官不能跟老百姓随意聊天，因为怕影响判决的公正性。他平时没什么事儿就喜欢做数学。做完数学之后，他就写信把结论告诉朋友，但是不把证明寄给朋友，所以这就变成一个非常有趣的事情。他证明了很多定理，都叫做费马定理，但是都没有证明。其中最出名的一个例子，大家知道刚才前面提到的丢番图的《算术》那本书里关于平方和的问题，被费马推广成高次和问题，然后他上面写“我已经找到一个绝妙的证明”，但是他说“那书页边太小，我写不下”。

费马一辈子列出了很多定理，许多年之后出现了另外一个大数学家欧拉（Leonhard Euler）。欧拉年轻的时候名气也不大，他企图证明费马的全部定理，除了其中一条他证不出来以外，其他的全部定理他都给出了证明，这个证不出来的定理就被他称为“费马最后定理”（Fermat’s Last Theorem，即费马大定理）。但是这个定理在300年之后，被普林斯顿的教授证明了。

我今天讲的是费马第一个出乎意料的定理，他证明了一个没有平方因子的有理数是两个有理数的平方和。这个数分解之后，每个素因子要么是2，要么是4n+1。2是很好办的事情，但是他把4n+1的情况证出来了。

他在某一年的圣诞节，给一个朋友写了一封信，说我已经证出来一个有理数是两个平方数的和，并称其解绝对妙。一个数能够写成两个数平方和的话，费马说他还可以找一个更小的数，也是满足同样的条件。一直推，推到最后也推不下去了，肯定就做出来了。然后费马给他这个办法起个名字叫“无限下降法”。无限下降法是数学领域一个分支——数论里面一个最经典的方法。同样，他的证明从来没有细节，这个证明的细节是欧拉多年之后证出来的。

费马还有很多有趣的事情，大家知道微积分通常说是牛顿（Isaac Newton）发明的。如果你把牛顿的《数学原理》打开，牛顿说自己的工作都是受费马工作的影响，因为费马在当年没有微积分的情况下已经知道怎么求解极值和面积，费马甚至知道什么叫变分法，这是很了不起的。

未来的数学

我最后要讲的是关于未来数学，前面都是古典的数学。我前面说二次和问题解决了，那么三次四次怎么解决？剩下的问题我们所知甚少。

我们第一个猜想是，一个整数能够写成两个有理数的立方和的概率只有1/2。这是很邪门的，你有时候能做，有时候不能做，只有1/2的机会。要证明这个猜想首先要解决另外一个大猜想，就是2000年克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute）提出的千禧问题之一——BSD猜想，解决问题就能拿100万美金，不需要像我们未来科学大奖，连评都不评，只要文章拿出来就给你钱。

关于四次以上的等幂和问题，我们知道得更少。1983年，法尔廷斯（Gerd Faltings）证明这个方程如果有有理解，最多只有有限多个解。但是你要知道这个问题的难处在于是求有理数解，如果是整数还好办一点。由于他证明了这么一个结果，1986年他拿到了菲尔兹奖。

另外一个数学家叫怀尔斯（Andrew Wiles）。1994年，怀尔斯解决了 n>2 的情况，就是费马当年没有空余地方写的那个定理的证明。不过这项伟大的结果并没有让怀尔斯（Andrew Wiles）拿到菲尔兹奖，他只拿到了一个银牌，因为他当时超过了40岁。今天人们认为350年前的费马并没有证明他的定理，他只是开个玩笑。

另外一个关于高次等幂和问题的猜想叫做ABC猜想。我没有时间讲，如果ABC猜想被证实的话，这个方程不只是知道有有限多个有理解，应该有具体的程序来求解，就是把方程输入计算机之后，计算机程序能帮我把数解出来。法尔廷斯用了反证法，所以他的方法不能用来求具体解。未来的数学有两大猜想，一个是BSD猜想，一个是ABC猜想。我想今天张益唐会讲另外一个猜想——黎曼猜想，数论里面差不多有这三大猜想。

最后，就当今天大家听听笑话，你要真的做数学，大家想想看，代价很大，要么付出生命代价，要么饥寒交迫。不过，今天社会还是好很多，我们国家对数学的重视程度在如今跟以往没法比。

现在我介绍一些人们对数学家的描述。达尔文（Charles Robert Darwin）说，一位数学家就是一个黑屋子里的瞎子，在找一个本不存在的黑帽子。这是数学的无解之解。毕达哥拉斯是最早的哲学家之一，他提出有两种宇宙：感性宇宙和理性宇宙。物理化学是感性宇宙，理性宇宙是人们想象的世界，数学就是。另外一个叫埃尔德什（Paul Erdős）的数学家说，数学家就是把咖啡转化成定理的机器。数学家没事就去喝咖啡，边喝咖啡边做数学，如果喝完也做不出来，那就继续喝，直到把问题做出来。

那么我要揭开前面谜语的谜底了，方程无解——求之不得。对数学家来说，方程无解是一件既无奈又有趣的事情。无奈往往标志着旧体系的结束，有趣标志着新时代的开始。通过解这些无解方程，人们将自己的智慧和开拓精神发挥到极致，给数学世界注入了新的活力。

注：本文根据演讲录音整理。感谢朝阳区教育研究中心张浩博士对本文修订给予的宝贵意见。小标题为编者所加，已经张寿武教授本人审阅。

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