【062】一起下跌的 beta 才是好 beta？

这是因子动物园第 62 篇原创研究文章。

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【30 秒速览】将 beta 进一步拆分，可能可以对资产的风险和定价有更好的认识。

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1. 简介

“一起扛过枪的是好兄弟，一起接受过市场下行洗礼的才是好资产、好 beta？”

经典 CAPM 模型认为，资产的预期收益同其 beta 成正比。但研究者却发现了低 beta 异象。后来者迈出了重要的一步。他们指出，相比于波动本身，投资者更在意资产的下行风险。据此提出了半方差的概念，将资产方差分解为上半方差和下半方差，同时侧重依据下半（协）方差来进行资产定价和资产组合配置。

但仍然有一个重要问题没有解决。按照模型，资产的预期收益与其下行风险有关，因而，如果用下行风险（beta）取代经典 CAPM 模型中的协方差（beta），所有资产的预期收益仍然同该系统性风险指标成正比。因而，所有资产的预期收益也都应该线性相关。但实际情况却并非如此。

几位学者在他们的最新研究中，对资产（与市场因子）的协方差进行了更细致的拆分，来帮助我们更好地理解资产的风险和预期收益。

2. Semibetas 理论基础

Bollerslev, Patton, and Quaedvlieg (2020) （BPQ (2020)）提出了 semibetas. 其中，一作是 GARCH 模型的提出者，我们早前也介绍过他关于波动率的另一篇文章（参见 【046】好波动与坏波动：方差不对称性，原文发表于 JFQA）。

与经典的 upside/downside betas 不同，BPQ (2020) 还考虑了资产收益的符号，从而划分出了 4 种状态。

具体而言，忽略均值，我们有下式：

因此，可以将 写作：

其中，为了表述的便利，定义 ,  .

这便是 semibetas 的由来。当 和 分别表示资产和市场组合的超额收益时，以上定义就是对 CAPM beta 的分解。

如此拆分的好处立刻就显现出来了。逻辑上，（与上/下行风险的分解一致）投资者厌恶下行风险，因而市场下跌时（ 和 ）更容易被定价，且：

• 代表着风险，应有正溢价；
• 代表着对冲资产（市场下行时有好的表现），应有负溢价。

另一方面，这些 semi-betas 都是 latent variables（潜变量），不可直接观测。我们只能基于样本计算已实现 semibetas（realized semibetas）. 但利用 Quaedvlieg et al. (2020, Econometrica) 的发现，样本已实现 semibetas 是真实 semibetas 的一致估计。

3. 实证分析

在此基础上，作者进行了详尽的实证分析。

BPQ (2020) 首先基于日内 15 分钟数据计算日度 semibetas 来做实证检验。

描述性分析显示，4 个 semibetas 同经典 CAPM beta 都有着不低的相关性，尤其是 和 。而图 1 则进一步展示了不同 semibetas 的分布函数和自相关性，可见：

• 所有 semibetas 都非负（符合定义）；

• Semi-betas 具有非常强的持续性（30 日后自相关性仍高于 0.8），远高于 CAPM beta（红线，最低）。

  图 1：日度 emibetas 的分布和自相关性.

BPQ (2020) 进而将关注点转向了最核心的 semibetas 的定价。为了考察这一问题，他们主要利用了经典的 Fama-MacBeth 回归分析。具体而言，他们利用股票 日的收益对 日的 semibetas 回归，来估计 日 4 个 semibetas 的风险溢价：

然后利用截至 T 日的估计来计算 semibetas 的平均风险溢价：

表 1 第 3-4 行展示了估计结果。结果符合预期：

• 两个下行 beta 显著定价且方向不同， 有显著的正溢价， 有显著的负溢价。
• 两个上行 beta 都不显著。
• 平均 相较 CAPM 模型显著上升。

在此基础上，BPQ (2020) 进一步考察了 CAPM 隐含的约束条件是否成立。具体而言，CAPM 模型意味着上述 4 个 beta 的风险溢价应该相等，即：

结果表明，对于多达 68% 的交易日，该原假设被拒绝了。这表明相比于 CAPM，semibetas 模型的确有显著的增量信息。

进一步，对于一个允许卖空的无摩擦市场中，基于简单的推导可得下式应当成立：

但实证分析表明，该假设在 58% 的交易日被拒绝。即卖空限制对股票 semibetas 的风险溢价有显著影响。

BPQ (2020) 接着考察了控制经典因子（的基础公司特征）对 semibetas 溢价是否有显著的影响。表 1 的第 5-8 行展示了相关结果：

• 第 5-6 行显示，在控制了市值、BM 和动量（即 Carhart-4 因子的基础公司特征）后，semibetas 的溢价没有受到太大影响。稍有变化的是： 的负溢价变得显著，而 的负溢价也更加显著了。

• 第 7-8 行显示，进一步控制短期反转、特质波动率和非流动性等公司特质，对 semibetas 的风险溢价也没有显著影响。虽然此时 在 5% 的显著性水平下不再显著，但其影响方向仍然是负的。

  表 1：FM 回归.

BPQ (2020) 还进一步考察了两组已有变量对 semibetas 溢价的影响。表 2 展示了相关结果。

首先是经典的上行和下行 beta 。结果表明：

• 单独看，上行 beta（）不显著而下行 beta（）高度显著且溢价为正，与已有研究一致。
• 当同时考虑 semibetas 和上下行 beta 时，semibetas 的定价没有显著变化，而下行 beta 不再显著。

表 2 的最后 4 行则汇报了考虑了协偏度（CSK）和协峰度（CKT）的结果：

• 单独来看，协偏度和协峰度都不显著，且模型 仅有 1.52%。
• 当同时考察 semibetas 和协变量时，semibetas 变得更加显著，而协偏度和协峰度也变显著了，但符号同单独考察这两个变量时不一致。

由于高阶矩衡量的是资产的尾部风险，而已有研究表明尾部风险的定价跟经典二阶矩波动风险的定价是不同的，因此，这一结果咋看起来挺令人惊讶的。但换个角度看，也许 semibetas 的确用更简单的方法，在一定程度上衡量了尾部风险。

表 2：FM 回归：控制上下行 beta 或协偏度/协峰度.

除此之外，BPQ (2020) 还考察了以下两种情形，并得到了但总体上非常相似的结果（当然，从绝对值来看要低一些）：

• 拉长投资期限；
• 基于当月日数据计算 monthly semi-betas，并考察其风险溢价。结果与基于日内数据的结果类似。

4. BOASB 策略

在此基础上，BPQ (2020) 构建了一个 betting on and against semi-betas 的策略。该策略由两部分组成：

• 第一部分（BOSB）：做多高 股票，做空低 股票；
• 第二部分（BASB）：做多低 股票，做空高 股票。

考虑到 有显著的正溢价而 有显著的负溢价，上述策略非常符合逻辑和直觉。

考虑到本文的主要研究基于日度数据，因而 BPQ (2020) 没有像 BAB 因子那样使用排序加权（rank-weighted），而是使用了更主流，也有更好流动性的市值加权。具体而言，他们每天分别依据 （） 从高（低）到低（高）排序，将股票分为 5 组，做多排名靠前的组合并做空排名靠后的组合（排名顺序）。此外，为了进一步降低流动性的影响，他们将样本限定在 S&P 500 指数成分股内。这一选择也使得 beta 的估计可能能更加准确。

表 3 展示了策略表现。表中依次展示了 4 个策略。结果显示：

• BOASB 及其两个子策略策略可以获得非常显著的风险调整后收益，但 betting against beta 的 alpha 不显著。

• BOASB 策略整体的表现优于任一单独的子策略，表明两个子策略的组合，可以获取分散化收益。

• 比较令人意外的是，虽然 的风险溢价无论从绝对值还是 t 统计量来看，都不如 ，但该策略的表现反而优于后者。主要原因在于其波动率只有后者的一半（8.00% vs 16.89%）。这意味着高 股票虽然长期平均收益非常可观，但波动也非常大。

  表 3：BOASB 策略表现.

上述策略（Daily rebalancing）可以获得显著的超额收益和 Carhart（FF5）alpha. 降低 rebalancing 频率，表现下滑但仍然显著，而基于传统的 CAPM beta 的策略，在周频/月频下收益不显著（甚至为负）。

5. 评论

• 这一部分评论部分参考了  Hugues Langlois （他对偏度在资产定价中的应用有非常深入的研究）和 Markus Pegler 在 SFS 年会上对本文的点评。

  本文的一个重要问题是缺少 theoretical foundations，对于 top journals paper 来说，贡献不是特别充分。对此，一个可能的改进方向是探讨 semibetas 比协偏度表现更好的原因。这些可能的原因包括：

• 相比协偏度，semibetas 在事前更容易度量。
• semibetas 可以更好地刻画投资者面对下行风险时的决策行为。
• 上述两个原因的结合。

因而，一个猜测是协偏度的持续性不如 semibetas. 如果是这样，那么，我们应该探索利用滞后的 semi-betas 是否可以改善对协偏度的预测，尤其是是否比协偏度自身的滞后项能形成更好的预测。进一步，如果有了对 coskewness 的更好预测，semibetas 是否仍然有效？如果能在这方面进一步挖掘，讲清楚 semi-betas 有效的准确机制，文章的贡献会更大。

另一个问题是，semibetas 同经典的多因子模型有着怎样的关联？

一方面，作者着重讨论据此构建的交易策略的 alpha 和 Sharpe ratio，是一种讨论 anomaly 的方式。但另一方面，semi-betas 本身源自 CAPM，有潜力也应该作为定价因子（用于构建定价模型），因而，需要进行更恰当、有效的检验。

而更为重要的是，Markus Pegler（作者就基于 PCA 的因子模型的研究发表在今年 RFS 关于股票收益横截面的特刊，参见搞事情专栏|因子投资中的无监督学习；其合作文章也拿了本届 SFS 年会资产定价领域的最佳论文）指出，理论上，我们可以通过纳入更多 characteristics，将 semibetas 通过 factors conditional on characteristics 的形式纳入经典的定价模型（尤其是通过使用 PCA 等方法来构建低维 conditional factor models）。因此，semibetas 真正的贡献在哪里呢？

最后，对于投资者而言，更感兴趣的可能是基于月度数据的 semi-betas 的持续性，毕竟在实践中我们不大可能太过高频地进行换仓操作。但 BPQ (2020) 当前版本中并未给出相关数据。

6. 结语

BPQ (2020) 通过引入 semibetas，用一种非常直观的方式，帮助我们更好地理解了资产的风险是如何被定价的，也有助于我们更好地理解经典的 beta 异象等现象。

当然，这篇文章（至少现有版本）仍非尽善尽美。特别地，从学术视角看，其对于背后的机制并没进行深入探索，而更侧重计量方法上的改进。因而，以金融学顶刊论文的标准看，文章对领域的贡献稍显（相对）弱了些。

但无论如何，这种清晰、易于执行的拆分方式，给了我们一个新的视角，和一种非常容易融入已有策略的方法，也许可以帮助我们进一步完善策略、优化其表现，乃至构建出一些新的策略。

最后，我们以另一个问题结束本文：部分已有研究表明，在市场下行时期表现较好的基金（对应到 semibetas 的语境，此时 显著为正）未来表现更好，不少经验丰富的投资者也较为偏爱下行市场中的抗跌股（强势股），但按照本文的逻辑， 有显著的负溢价。经验与理论，哪一个错了呢？抑或，我们没找到正确的打开方式？

全文完。

本文图表均来自 BPQ (2020)，故未在图表中再单独说明。

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References:

• Bollerslev, Tim, Andrew J. Patton, and Rogier Quaedvlieg. "Realized Semibetas: Signs of Things to Come." Available at SSRN 3528276 (2020).
• Quaedvlieg, Rogier, Tim Bollerslev, Jia Li, and Andrew J. Patton. "Realized Semicovariances." Econometrica (2020) forthcoming.