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理解数学空间


学习中经常遇到的数学空间有欧式空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间,今天系统的总结下:

在介绍空间之前,首先需要引入距离的定义(距离除了我们日常所用的直线距离外,还有向量距离、函数距离、曲面距离等等)

其实距离是一个抽象的概念,定义如下:

设X是一非空集合,对X中任意两点x,y,有一实数d(x,y)与之对应且满足:

1、d(x,y) ≥ 0  ,当且仅当x = y时,d(x,y) = 0;

2、d(x,y) = d(y,x);

3、d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y).

那么d(x,y)就可以称为x的一个距离。

一、向量空间

定义了距离后,附加一些线性运算比如:向量的加法、数乘、使其满足加法的交换律、结合律、零元、负元;使其满足书城的交换律、数乘与加法的结合律等要求,就形成了一个线性空间,这个线性空间就是向量空间。

二、范数+各类空间

在介绍范数之前我们需要明确,范数的概念是定义在向量空间中的。

我们来定义范数的概念,它表示某点到空间零点的距离:

1、||x|| ≥ 0;

2、||ax|| = |a| ||x||;

3、||x  + y|| ≤ ||x|| + ||y||;

对比之前所定义的距离的概念,两者的不同点主要在于范数增加了条件2,实际上是一个距离的特例。

其实对距离和范数进行扩展,就已经可以得到两个不同的空间了:

范数集合--->赋范空间+线性结构=线性赋范空间

 距离集合--->度量空间+线性结构=线性度量空间

之后我们在线性赋范空间继续扩展,添加内积运算,这样空间中就有了角的概念,也就是:

线性赋范空间+内积运算=内积空间

此时的空间中有了距离、角度 的概念,有限维的内积空间也就是我们熟悉的欧式空间。

在内积空间上进一步扩展,使得内积空间满足完备性,就形成了希尔伯特空间,即:

内积空间+完备性=希尔伯特空间

完备性是指空间中的极限运算不能跑出该空间。

那么巴拿赫空间呢?它其实是对赋范空间的扩展,即:

赋范空间+完备性=巴拿赫空间

来源:数学与人工智能

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