作者简介：田军，1983年毕业于北京大学数学系，曾任职国家计委/发改委、中国驻美使馆、亚洲开发银行。一、不信权威，信自己1979年一入学，第一堂课是数学分析。李正元老师站上讲台的第一句话是：“我讲的，你们不要信，书上看的也不要信，只有你们自己证明了的，才信。”大家听了很诧异，但觉得这可能是李老师谦逊之词，也没在意。第二堂课是解析几何。丘维声老师站上讲台说的第一句话，竟然也是：“我讲的，你们不要信，也不要信书上的，只有你们自己证明了的，才信。”咦？……第三堂课，…………每一门课的第一堂，每位老师，都是如此。慢慢地，我们知道了，这不是老师的谦辞，而是北大数学系给我们引入的理念。只有不盲从权威，不盲从前人，自己独立思考，才能发现前人的错误和不足，科学才能有所进步和发展。慢慢地，这种理念长在了我们心中。多年后回想，北大人反权威的传统是不是因为被培养了这种理念呢？1981年，数学系79级应用数学二班同学在北京植物园。正中最前为作者二、数学系老师怎么样做学生思想工作数学系的这帮同学，都是从小被人叫天才、神童，一路100分上来的，心气儿高，入学时恨不得个个都是准备来当数学家的。这也难怪，数学系79级155个学生，除我之外，大都是全国和省市自治区级中学生数学竞赛前三等奖获得者。全国竞赛一等奖共三个人，有两个在我们这儿。开学不久，系里召集新生开会。丁石孙老师说，你们在中学学了些知识，但实在是没多少。你们很快就会知道，你们在中学六年学的，在这里不过是两个礼拜的东西。会场顿时哗然，响起一片不以为然的嘟囔声。真格儿的很快就来了。一年级第一学期数学分析的期中考试，大概是北大数学系本科四年教育里相对难度最大的考试，号称“杀威棒”，据说目的是让脑袋发烫的小天才们清醒清醒。这一棒子抡过来，把大伙儿打得稀里哗啦。我回到宿舍，发现气氛不对，大家都跟霜打了似的，有的在抹眼泪。一个同学坐在窗边，默默地抽泣着。我坐到他身边，轻轻地问：“怎么了？”他哭了一会儿，突然哽咽着问我：“人要是没了路，是不是只有死？”我的天哪！可把我吓着了！赶紧开导：“人啊，一辈子，坷坷坎坎的事情多了，一次没考好，没什么的，别太往心里去……”但似乎没什么用，大家的情绪还是阴沉沉的。一般人遇到挫折，通常会检讨自己的失误。而天才、神童一旦遇到挫折，却往往会怀疑自己的智力。一旦觉得自己没有原来以为的那么聪明、超群，精神、心理上受到的打击是常人难以理解的。那就是——万念俱灰。许多神童班、天才班的孩子半途夭折、自暴自弃、酗酒、出家，大都因为如此。经验丰富的系里早就有所准备。考完没几天，系里老师就浩浩荡荡全体下到一年级宿舍，每个宿舍都来了老师。来我们宿舍的是我们班辅导员。看着一群小同学哭丧的脸，老师也没说什么，拿出一份考卷让我们看。这是一份数学分析考卷，非常简单，最后一道大题恰好是我们第一大题的第二小题。大家正疑惑，老师说：“知道这是什么吗？这是北京一所有数学传统的名校的数学系跟你们同年级这次考试的卷子！轰的一下，大伙儿都兴奋起来了：“What？这么简单？那不也是顶尖的全国重点院校吗？”老师得意地笑了笑：“知道了吧？这次没考好，别丧气，没啥了不起的。你就是在这儿垫底，出去还是拔尖的！”真是神奇，一瞬间，几天来意气消沉的阴霾竟一扫而光！当然，狂傲之气也收敛了。学生们落回了人间，知道了自己是既会犯错误、也会遇挫折的普通人，但没有失去自信和执着。作者在1981年三、学的不只是数学，也是学风和人品数学系的老先生们学术严谨，也极重人品和系风。伽罗瓦理论是数学系78级、79级的三、四十个人一块儿上的，最后考试一个100分，一个60分，其余不及格，还有零分的。学生怨声载道，系里也觉得及格得太少，就找聂灵沼先生商量。聂先生说：“伽罗瓦理论嘛，本来就不应该有几个人及格，不是人人都能学的。”系里一想，也是，这课就是这么难，就算了。那时的数学系，不大追求及格率这些东西。有个爸爸是著名数学家的同学得了6分。他不服，去找聂先生理论。谁想蹑手蹑脚刚推开一道门缝，就听聂先生一声断喝：“正要找你！”揪过去一道道题给他讲，最后说：“你是满篇的胡说八道，一无可取！本来要给你打4分，怕你回家骗你爸是五分制，还给你加了两分！”这同学心服口服，哪敢争辩，灰溜溜地回来了。他是个乐天派，典型的高智商、高情商，回来绘声绘色地侃他的遭遇，把我们肚子都快笑破了。据说从江泽涵、段学复老先生那时起，数学系就有个不成文的规矩：学生包括以前的学生有问题请教，老师必须帮助。老师无论给学生帮了多大忙，文章修改了多少，都不在学生的文章上署名，否则在系里会声名扫地。我们在校时是这样，不知这规矩现在数学院是否还在坚持？数学系老师们这种人品上的言传身教，影响了我们一辈子。毕业几十年了，我无论在学生、下属的文章上出了多少主意，修改了多少，从未在他们的文章上署过名，更别说署在前面了。数学系79级的才女们，智商高，情商高，颜值也高四、穷人家里有凤凰穷人家，穷乡僻壤，可是有聪明人。我见过。入学报到那天，看到一个柔弱纤细的小姑娘，手腕细得像葱杆，俊俏白净而清瘦的小脸上，那双美丽聪颖的大眼睛显得格外大。她穿着一身青蓝色的土布衣服，背着同样布料的布书包。布是妈妈亲手织、亲手染的，衣服和书包也都是妈妈亲手缝的。那时，很多同学家境并不富裕，每月十几块钱的助学金，是不少学生求学的重要生活来源。同窗数载，这小姑娘的学习一直名列前茅。79年全国数学竞赛冠军有句名言：从小学到中学，是我们一路斩杀女生，但进了这儿的，就斩不动了，人家要反手斩我们了。这小姑娘就是数学系79级时常反手刀劈男生的女侠之一。后来，她去了伯克利，并曾是一所世界著名大学的数学系主任。1973年，我在部队当班长。班里来了个沂蒙山区的新兵，叫李富如。这是个长相清秀的放羊娃，一说话就脸红，一个字也不认识，连自己的名字也不认识。他家在深山里，方圆几十里没有学校。那时，连队要背条令，队列条令、战术条令、内务条令……等等，六本条令都得背，各班班长负责。我犯了愁，这新兵不认识字咋办？请示连里，连里也没辙，文盲战士，能学多少是多少吧。晚上，布置班里自学，我给李富如单个辅导。我给他读了一两页，问他：“听明白了吗？”他说：“听明白了。”我说：“那你说说，我都说了什么？”他也没说我说了什么，而是从头到尾把我刚念的那两页给背出来了，一个字不差，连语气都跟我一模一样！好家伙！最后，他是全连第一个背完六本条令的。这小伙子学什么都快。很复杂的战术动作，我做完示范，他第一遍就能模仿个八九不离十，稍加纠正，就定型了。那一年，我教了他3000多个字。到年底，他可以出黑板报了，当年入党当了班长。我离开部队后，断了联系，听说他后来当到师长。这些年教育市场化，收入差距也比以前大得多，看到低收入家庭的孩子越来越难以穿越社会阶层的阻隔，我的眼前总会浮现出当年那个清秀瘦弱穿着青蓝色土布衣服的小姑娘和那腼腆的沂蒙山小战士。我常常想，如果没有那时相对平等的社会环境、公正的考试制度和国家虽不丰厚但雪中送炭的助学金，这个小姑娘能不能走进这个助她成为知名数学家的校门？如果孩子们获取知识、技能的深度和广度主要取决于家庭的地点和实力，许许多多像这个小战士一样来自穷乡僻壤的孩子，会不会只能在山上放羊或者在城里送快递？我深深感到，我们这个国家，一定不要走到让钱阻断社会阶梯的地步。1972年，作者在陆军第47军141师步兵第421团六连五、我为什么要上北大？简单地说，人活一口气。我是1966年小学毕业的。那时北京要求入学平均成绩98分以上的四所顶尖中学是北京四中、师大女附中、清华附中和101中学。受表哥的影响，我的目标是清华附中。小学毕业考试结果出来了，算术100，语文98，平均99。上清华附中，基本是板上钉钉了。可没几天，就发生了大事，没学可上了。在家玩了一年多，经受了父母被打倒，处处受歧视的折磨，到1968年初才就近上了中学。一入学就是初二，一共上了一年半。中学生活倒是挺充实的，基本上是农村劳动回来，再到工厂劳动，要不就军训，时间排得满满的。毕业时，数学只学了数轴，英语学了26个字母，化学没上过课。物理唯一的一堂课，是老师跟我们一起，听一个工人师傅直接讲了半个小时的三相电，然后到楼下装灯泡。我的中学教育就结束了。接下来，下乡、当兵、当工人。锯木料、盖房子、插稻秧、割麦子、抡大锤、扛麻袋、拼刺刀、埋地雷、打坦克、反空降、抬钢轨、修铁路、烧石灰、砌窑洞、磨钻头、开机床，都学会了，但直到1975年，我连正弦是哪个边比哪个边都还不知道。1972年看到一本《军事运筹学》，如获至宝，觉得我将来就应该搞这个，我们国家的军队和经济太需要这些少花钱多办事的办法了。可里面全是代数和微积分，看不懂。我意识到，要学运筹学，得先学数学。那时候，想上学啊，真想，想得像着了魔。1975年，经工厂推荐，我成了所谓工农兵学员，到北京机械学校（现北京信息科技大学）学机床设计。同学们都来自工厂，都比我大，有老高三的、老中专的，至少也是老初二、老初三，只有我是等于没上过中学的白丁。第一堂课是数学摸底测验，看看大家基础如何。我只做出了第一大题的第一道小题，其他不仅不会，连对数的负首数都没见过。回到宿舍，同学们兴高采烈地对题，这道怎么做，那道怎么做，你错了，我对了。只有我，一声不吭，爬到上铺对着墙蜷缩起来。我哭了。从小到大，从未经历过这样的屈辱，这样的绝望，这样的无助和无奈……我下了狠心。从此，半年没回几公里之外的家，补完了中学六年的课程。半年后，我的功课走到了全班第一；一年后，全校第一。后来听老师说，我画的图纸作为教学示范在学校制图实验室展示了二十多年。回到工厂，分到技术科当技术员。老同志们很热情：“哪个学校毕业的？”“北京机械学校。”“哦……”意味深长的一声。科长让我搞模具设计，给我一本书，让我先学着。通常，新来的大学生需要学习锻炼一年半左右才能正式开始设计工作。我看了一会儿，就去找科长，要求给我几个零件，我边做边看，也好知道应该看什么。他给了我四个典型零件，一个剪切、一个拉伸、一个成型、一个注塑。鼓捣了一下午，下班时我交出了完整的四套模具图纸。自此，老同志们认可了我的实际设计工作能力。我们科里有几位老工程师，都是清华、莫斯科机床工具学院之类毕业的，是我们那里的权威。他们讨论问题，别人没资格插嘴。有一天午饭后，几位老先生围着一张纸争论了足足有两个小时，争得不可开交，面红耳赤。那似乎是一道题。我好奇心重，又太年轻，不懂人情世故，根本没注意其他工程师技术员都躲在一边不吭气，傻乎乎地凑过去，问道，什么题呀？坏了！冒犯权威了。热火朝天的讨论戛然而止，几位老先生冷冷地看着我这个不速之客。过了一会儿，一个老先生拿起那张纸，一下捅到我眼前（真的是眼前，就差贴到我鼻子上了，对眼儿都聚不了焦），“什么题？你会吗？”那语气中透着的轻蔑、不屑，实在是……瞥了一眼，我看到似乎是道理论力学题，而且不太难，就拿了张纸低头抄写。我知道我脸红了，一直红到脖子根，因为热得像要爆开来，我感觉得到周围那轻蔑嘲弄的目光。抄完回到我的办公桌，5分钟，做完了。这下来劲了。我把那张做完题的纸甩到他们面前：“不就是这么道破题嘛，几个人吵吵两个钟头做不出来？！”转身扬长而去。得罪人了。77年恢复高考，我参加了，报考了军工行业的专业，主要是激光物理。考后等了很久没消息。一天，人事科突然把我叫去，问我：“你是不是眼睛不好？军工专业，对眼睛要求高。”我就像一下子掉进了冰窟窿。我的高考成绩是全厂第一，但比我分数低几十分的其他很多人都录取了，我却没有。如果因为我不会，我可以努力学，可因为眼睛……什么叫绝望？什么叫无可奈何？什么叫万念俱灰？这就是。此后很长一段时间，活得像个游荡的魂灵。1979年，作者在香山鬼见愁次年，我在机械学校的一个铁哥们考上了大连工学院。我去送他。临行前，他说：“咱们不像刚毕业的小孩。他们是江边下水，可以撩撩水活动活动。咱们是江心下水，跳下去就得拼命！我已经爬上岸了，老弟，别消沉了，再拼一下吧！”他的走，对意志消沉的我，是一记猛击！我又开始努力了。我是个懒人，能动脑就不爱动手，而且认为人类社会的发展是由爱动脑而懒得动手的懒人推动的。凡是省钱、省力、省得动手的事，我都感兴趣，因此我的技术革新特别多。厂里领导因而要破格提拔我当工程师。老工程师们说话了：“小田嘛，工作能力强，理论功底扎实，但学历嘛…”厂里仍然坚持，但我不干了。不懂的，我可以学，不会干的，我可以琢磨着干，但学历……我得上学！我一定要上学！我一定要上全国最高学府，看谁再跟我说学历！厂里领导反复劝导我：“直接当工程师多好，中级职称。即使上了大学，毕业也只能当助理工程师，何必呢？”家里觉得厂里说的有理，也劝我。但我不听，没法听。人活着，其实就是一口气。基础那么差，只能自学来补。物理还有《十万个为什么》垫底，化学就麻烦了。我从没做过化学实验，什么东东跟什么东东放到一起会产生白色絮状沉淀啥的，压根没见过，只能硬背。白天工作忙得脚打后脑勺，不可能抽空学习，只能晚上干，两年时间，天天夜里到四点。当兵时140多斤的棒小伙，瘦成一副110多斤的骨头架子。有一天遇到周培源校长的女儿，是位从小就认识的阿姨，我想打听打听北大的情况。谁想，她一脸不屑地从鼻子里哼出一声：“不是什么人都可以上北大的。”我更不要命了，天天，夜夜……高考了……成绩出来了……我报了北大，只报了北大，五个志愿十个专业，我都填了北大。第一志愿第一专业物理，第一志愿第二专业数学……那年九月，我走进了北大数学系。1979年，79级数学系同学在香山，站立者左五为作者来源：数学经纬网，本文仅用于学术分享，版权属于原作者。若有侵权，请联系微信号:

删除或修改！END往期精彩回顾：验证码，为什么越来越复杂？俄罗斯为何不再有大数学家？王梓坤院士：数学学习的管见

Theorems，参考如http://pirate.shu.edu/~kahlnath/Top100.html。这一千年似乎刺激了许多人去编辑许多东西的“最重要的

译）“人类简史三部曲”（十周年畅销纪念版），[以色列]尤瓦尔·赫拉利著，林俊宏译，中信出版集团2018年10月出版，定价：204元来源：《中国科学报》

。在这个时候，欧洲大陆上被家族势力挤兑的很厉害的伯努力兄弟，就流窜到俄罗斯这个学术蛮荒之地去了。一个是尼古拉伯努利Nicolas

取得了不错的成就。导弹、原子弹的建造者，导弹防御系统控制程序的开发者，都需要聪明的头脑。莫斯科、列宁格勒和新西伯利亚精英大学源源不断地出产精英。苏共发起各种运动吸引年轻人投身科学。数学或物理教授的声望在这个国家到达了有史以来的巅峰。“这些工作不仅备受尊崇，而且薪水优渥。”俄国出身的数学家叶菲姆•泽尔曼诺夫（Efim

这天，准备考研许久的你，踌躇满志地打开了考研报名网站。然而，还没来得及一展才学，你就被卡在了网站登录的验证码上。重叠在一起的字体，布满马赛克的背景，让你输了几次验证码都没有输对。你屡败屡战，但验证码上出现的“骉叕犇羴”，又瞬间让你怀疑自己的学识水平。你再一次自我激励，决定这一次一定要输对，却见刷新出来的验证码上，写着大大的两个字：别考。逼疯你的验证码，为什么变得越来越复杂？折磨人的验证码每一次输验证码时，你都会忍不住发出这样的疑问。它那扭曲的形状，粘连在一起的字符，雪花状的背景，常让你陷入自己是不是眼瞎的怀疑。然而，这种字符验证，还只是日常的基础题，高难度的题目，往往出现在春节这样的特殊时刻。登录12306时要选择的图片验证码，就曾是每个在春节抢过火车票的人的噩梦。有些验证码更是不满足只考你的眼力，还要测一下你的智商。在购票网站抢演唱会门票时，不仅要懂点文学典故，读过四大名著，末了，还要附带让你算一道数学题。甚至有些验证码，还成了你和朋友间友谊的试炼场。在登录Facebook验证时，系统会随机挑出几张好友发布过的照片，让你辨认照片中的人是谁。本就脸盲的你，再碰上你朋友修炼多年的P图技术，验证码的难度系数也因此倍增。美国斯坦福大学的研究指出，验证码已经过难。研究者们搜集了8500个多种形式的验证码让受试者辨认，发现他们在判断验证码时，平均要花9.8秒，且同时让三个人辨别同一个验证码，三人间的一致率只有71%。如果是听声音辨识的验证码，准确率会更低，只有31.2%。验证码的进化，也是被逼无奈其实，验证码也不是一开始就这么复杂。在验证码被发明前，许多免费的邮箱网站常遭受恶性外挂软件的攻击。例如在2000年，雅虎邮箱中曾有大量用机器注册的马甲账号，他们会给用户发大量的垃圾、诈骗邮件。为了解决这个问题，程序开发人员试图找到一种登录验证方式，能判断出正在操作的究竟是人还是机器。AltaVista的工程师们便找到了有效的方式。他们发现，当时，即使是配备了最先进的光学字符识别系统的电脑，也很难正确识别出印在纸本上的字，尤其当字符被拉伸、扭曲时，电脑就更难辨认。然而，这对人类来说却很容易。我们从小就一直在接受阅读训练，即使纸上的字歪歪斜斜，部分被遮挡，也不影响我们对整体的判读。扭曲的字符，便成了最常用的登录验证方式，并有了“验证码”这个正式名字。程序员们会预先设定一个字符库，库中的字符会排列组合成字符串，再根据随机变量被扭曲、涂抹，定位在随机背景上，从而成了我们所见的验证码。这些字符谜题，确实有效减少了网站中的垃圾邮件，到2001年，“ADD-URL”邮箱中的垃圾邮件便减少了95%。但随着电脑光学字符识别技术的不断发展，这种形式的验证码已经越来越难将外挂机器挡在门外。在2014年Google工程师的测试中，即使是最难的扭曲字符类验证码，电脑识别的准确率也高达99.8%。为了挡住越来越聪明的机器，验证码因此被迫进化，出现了图形验证码、逻辑验证码、语音验证码……不过，你受的每一次苦，也不是白费功夫。你在十秒内减少的脑细胞，其实都转移到了一个AI身上。我们辨识的一些验证码字符，来自那些年代久远的报纸、典籍，这些手写、带有污点的字迹，难以被电脑辨识，程序员便将这些字符加入验证码中。这样的验证码通常由两段组成，前一段是已经成功数字化的单词，后一段则是不知道正确答案的典籍字符。只要用户答对第一段，第二段的判读结果也会被记录下，再比对多个用户的辨识结果，得出结论。在全世界人的判读下，每天有超过2亿个单词被破译、转录，《纽约时报》便借由这种方式，实现了数字化。你现在看到的百年前的《纽约时报》，可能就是你曾经用爱发电的成果。不只是字符类验证码，Google让用户辨认验证码图片中的“斑马线”“红绿灯”，也是在加强机器人的图片辨识能力，并将机器学习成果运用在自动驾驶上。我们就陷入了这样一个循环怪圈：输入越多验证码，AI的學习能力就越强，技术的进步让更多验证码被破解，而我们就要被迫再次设计出更复杂的验证码……未来，验证码可能会“消失”验证码似乎已背离了初衷，成了一个难住了人类，却难不住机器的摆设。越来越多的科技公司也意识到了这个问题，开始试图简化繁杂的验证码。比如，你现在登录12306时，就只用拖动滑块。这样的验证码不仅是在评判你操作的结果，更多的是记录并分析你操作时的行为。电脑观察你移动滑块的速度变化，就能认出你是人类。另一种隐性的验证码，也按照这个原理。当你勾选“我不是机器人”时，程序就能判断你是否在说谎。并不是它真的有读心术，而是在你勾选后，它会自动分析你在浏览该网页时的行为，包括鼠标的移动轨迹、浏览的速率等，借此分析出这些行为是否属于正常人类的操作。至此，在这场人类与机器的比赛中，我们已不再试图证明自己更聪明，而是转向另一种策略：那不统一的行为轨迹，不精确的答案，笨手笨脚的操作，才是我们生而为人的特征啊。不过，这样的隐性验证码也不是万灵丹药。在它出现后不久，加拿大多伦多大学的学者便发表了论文，声称他们的机器人可以模仿人类的操作行为，顺利通过隐性验证码的测试。1950年，著名计算机科学家图灵提出了一个思想实验：人类提出一系列问题，机器给出答案，再由人类判断对方是否为机器。如果有超过30%的人将机器误判成人类，那么这个机器就被认为具有人类智能。但70年过去了，人类陷入了完全相反的境地——一个个验证码，正是机器抛给人类的问题：“你是人类吗？”这一次，审判权握在机器手中，而被验证码难住的人类，仍在用力呐喊：我不是机器人。本文仅用于学术分享，版权属于原作者。若有侵权，请联系微信号:

删除或修改！END往期精彩回顾：史宁中：学数学要大量做题吗？读读欧拉吧，他是我们所有人的大师数学大师丘成桐——

我第一次来《开讲啦》这个舞台，有点诚惶诚恐。我当然是做数学的，我每一次到中国来，有很多家长，有些是家里小孩子才5岁、6岁的都问我，你是出名的数学家，我怎么去教我的小孩子数学？我当然有点啼笑皆非，因为小孩子的数学其实不是我的专长。怎么对付儿童心理学，我也没有这个能力。不过他们有兴趣让小孩子念数学，并不是因为家长喜欢他念数学，而是期望他能够考试考高分，尤其期望能够高考考高分。现在这个年头，家长们都比从前有能力了，我听讲，去年一年就有差不多20万的自费留学生到美国去。他们很紧张念数学，为什么呢？因为你要上美国的名校像Harvard（哈佛大学），或者MIT（麻省理工学院），或者Princeton（普林斯顿大学），数学一定是要高分的。SAT（美国学术能力测试）考2200分以下的，基本上哈佛就不接受你了，根本看都不看。我在哈佛大学差不多30年了，也看着我们数学系的学生的成长。我们第四年的时候，是有论文的，一年总有两三篇这样的好文章，中国学生始终达不到这个标准。我就觉得很奇怪，为什么中国的学生中学、大学初期都还不错，为什么最后的表现比不上国外的学生？我发觉中国的学生基本上对学问，数学的学问兴趣并不是太大。一方面是家长并不期望你去念数学，因为数学是很枯燥的，同时对你的“钱”途，金钱的钱，不能够得到太大的收入。其实这是个很错误的观念。丘成桐在讲课我在哈佛大学30年来，没有看到过一个念数学拿了博士的找不到很好的工作。因为我两个儿子都念生物，他们比我辛苦得多，从早到晚都在做实验。可是我们做数学的，游手好闲，走走想想，找些好的题目看看，有的时候出去旅行比他们愉快得多。而事实上数学家毕业以后，很快就能找到好的事情。而念生物的大概要十多年、二十年才能够稳定下来。为什么讲这个事情呢？我是希望大家晓得念数学并不差。我讲讲我自己的经验。我十四岁那年，父亲突然间去世，我们想都没想过有这个可能。我们一家有八个小孩子，然后我母亲一个人要顶住这个家庭让我们能够生存下去。我自己也花了不少功夫，去做家教帮补一些家用。这段时间是我人生最痛苦，也是最让我成熟的一段。所以有些人想攻击我，有些人想对付我，我讲我在当年14岁那年这么无助的时候，我都能够成长，我不怕任何人。我很感激我的父母，他们没有想要我一定要念医、念工程这种学科，他们就让我自己选择，选择一门我自己喜欢的学科。我当时很受我父母的影响，尤其是我父亲。我父亲是学哲学的，他当时在写一本书，就关于西洋哲学——《西方哲学跟中国哲学的关系》。家里面很多学生跟他聊天，就谈到希腊的哲学受到数学很大的影响，这个叫自然科学辩证法。那对我来讲印象很深刻，就是数学毕竟是个很重要的学科。我那个时候才十二、三岁，父亲除了哲学以外，他也教了我很多关于中国的诗词和古文。要念冯友兰的《新原道》、《新原人》，郭沫若的哲学书，要念胡适之，还要念钱穆的历史跟哲学书。我想都蛮有意思的，可是我都看不懂。慢慢过了几十年以后消化了，看着看着就懂了。这是整个做学问的一个程序，我想你们应当晓得刚开始不懂没关系，慢慢看，慢慢看就会了解。学生时代的丘成桐我对数学有兴趣是因为初中二年半的时候念了几何。我认为平面几何漂亮得不得了，又严谨又很干净，清清楚楚地将一些命题写出来，让我很震撼。我觉得这是一个很漂亮的科学，我很想去找它里边的内容。可是那个时候，这个图书馆几乎是不存在的，要到公众图书馆去找这个书，往往站在书店里面一站站几个钟头，也没有钱去买这个书，就站在那边看。可是有时候，我就在脑海里想这些数学的定理、数学的描述是应当怎么样子去处理。所以我很早，就我在十三、四岁的时候，我一边走路，一边在想数学、几何的内容。这个习惯做惯了以后，我对待任何一个问题，我的反应就是想想看它的内容是什么，它能够影响到什么，能够有什么发展。所以我对这个事情，直到现在，50年后的现在还是觉得是很重要的一个过程。丘成桐与杨振宁我当时当然也看很多课外书，当时金庸的武侠小说刚出来没多久，我们在《民报》就看金庸的第一篇关于武侠小说的。这个书都看，可是我觉得我看数学的书并不比看金庸的小说差。当然也看很多古典的小说，看《水浒传》、《三国演义》，很多其它的书，鲁迅的小说我也看。这些书看起来好像跟数学都没有关系，可是以后我发觉其实有相当的好处。我到现在还是以几何为我的主要研究方向，可是做几何是一个很有趣但是很复杂的一条路。我在做研究生的时候，1971年我就对没有物质的引力场有很大兴趣。我想，因为从看爱因斯坦的方程，你看来看去看不出来没有物质，还有什么东西能够产生。爱因斯坦方程是相当复杂的一个方程，可是也是一个很漂亮的方程，所以我想解这个方程。可是这个方程是很难解的，古往今来，没多少人能够解这个方程。我刚好有一次到图书馆去看书，看到一篇文章是个名教授叫卡拉比，他提这个问题跟我的想法原来是一模一样的。这个问题他没办法解决，可是写下一个方程，我对这个方程很着迷，花了五年功夫，常常屡战屡败，可以讲是茶饭不思。在1976年，我将它解决了，解决以后，我将它运用到几何、微分几何、代数几何种种不同的学科里面，解决了一些重要的问题，有些是数学上几十年都还没有解决的问题，也因此让我一举成名。由于物理学家的加入，这个学问在这30年来，成为数学跟物理上一个主流。很出名的物理学家跟很出名的数学家联手一同研究这方面的学问，也因此解决了数学上更多的猜想和更多主要的问题。很多记者包括电视台的访问我，第一句问我有什么灵感。那么我有时候就讲讲，譬如来讲，1976年我解决卡拉比猜想的时候，刚好我结婚没多久，两个礼拜后我就将它解决了。我受我妻子的影响很大，她给我很好的灵感，可是这整个所谓灵感是通过五年来日积月累的奋斗，不同的想法积堆起来，就好像你在看山洪爆发的时候，刚开始水慢慢积，积得很高，突然一场大雨就将这个山洪爆发出来，这个思想就来了。可是他的思想不可能突然、无缘无故来的，没有天才这个观念，能够突然之间、一秒钟內发生一个想法。乐趣是无穷的，可是不要太斤斤计较一下子就能够成名，总是要脚踏实地地做一些事情。丘成桐漫画来源：奇趣数学苑，本文仅用于学术分享，版权属于原作者。若有侵权，请联系微信号:

整除的十位数。自那以后，再无其它费马数被证明是质数，因此费马的这个猜想并不成立。欧拉惊人的计算能力也是一个传奇。传说某天，欧拉的两个学生试图对一个复杂的收敛级数进行求和，但算到小数点后第

数学在某种程度上是一个工具。通过数学，来研究别的事情。在本质上数学研究三类问题：一个是研究数量的问题，一个是研究空间图形的问题，还有一个研究随机现象。就是有的事情可能发生，也可能不发生，这样的问题。数学也进行研究，作为研究这三类问题。随着社会的发展，数学的应用就越来越广泛了，在我们的日常生活中几乎随处可见，而且学习其他学科的时候，也要更多地用到数学。一、数学专业学些什么呢？一类是分析类的，比如像在大学中学习的微积分、实变函数、泛函分析这样的一类课程；还有一类跟图形有关的，比如拓扑学、微分几何这样的一类课程；还有一类就是研究随机现象的课程，比如概率论，就是一件事情可能发生，也可能不发生，发生的可能性有多大，比如今年的GDP增长，跟去年的GDP之间有什么关系，我们如何预测一件事情；还有，比如像卫星、反导弹，如何一个导弹过来，这个导弹怎么打上去，这样的一类课程。二、数学思想主要有哪些？数学思想，我认为有三个：抽象、推理和模型。数学是把现实生活中的一些东西抽象到数学内部来，而数学内部的发展则完全依赖假设和推理，然后再借助模型把数学的结果应用到外部世界。抽象只是针对两种情况，一是数量和数量关系；二是图形和图形关系。抽象之后的东西是如何存在的呢？这就是哲学问题，我称之为“抽象的存在”。我用这个道理来解析形而上和形而下。其中的“形”是什么？我认为就是抽象的存在。什么是抽象的存在呢？就是当你看到了足球，看到了乒乓球，就会想到圆。但是，如果没有足球，没有乒乓球，你脑子里仍然有个圆，而且你能画出这个圆来。这个圆绝不是简单的复制，因为现实的圆是三维空间的，而在纸上画的圆是二维空间，所依赖的头脑中圆的存在就是抽象的存在。我认为，古代先哲所说的形而上的“形”就是这种抽象的存在。为什么要在形而上和形而下之间构建一个“形”呢？因为形而上的“道”太遥远而不可及，形而的“器”太具体而不可信。推理有两种，演绎推理和归纳推理。研究演绎推理时，我非常想知道中国古代先哲是如何思考问题的，他们思考的逻辑是什么。我苦思冥想老子的“道”是什么意思，孔子的“仁”到底指什么。后来，突然想到老子说的“道”，孔子说的“仁”，也许只是认识问题的出发点，即“道”就是好的，凡事需从“道”出发，与西方哲学一样，出发点本身是不用讨论的。这或许就是老子所说的“道可道，非常道。名可名，非常名”的真正含义。而对于具体的事物，就可以用这个出发点“道”来进行判断。相比西方哲学，中国古代哲学中没有演绎推理，是一种更实用的哲学。演绎推理是从大命题走向小命题的推理，因此不能用于发现只能用于验证。那么，中国古代没有演绎推理，许多事情是怎么推理出来的呢？我认为是分类，借助的思维方法是归纳推理。《系辞》中说物以类聚。孔子说“仁”，把“仁”分为许多类。大概可以认为，中国古代哲学最高层次的是“道”，其次是“仁”或“德”，再往下是“礼”，“礼”都不在了，整个社会就崩溃了。三、学习数学对一个人的发展有多大好处？你不一定是一辈子都从事数学的研究，比如你从事经济学的研究，你习惯于定量分析的话，那你有较好的数学知识就很好；比如对于生物学的研究，如果你对基因的遗传规律感兴趣的话，那你可以学习数学知识；比如对于物理，物理中更多的量化的事情，要感兴趣的话，那你学习数学。数学是一个基础性的学科。对于一个学生。你希望进行习惯于理性思维，并且希望以后进行一些理性思维的话，学习数学当然有很大的好处，一方面他学会了计算，还有一方面学会了比较逻辑的思考问题，这个是很有用的。四、如何让孩子对数学产生兴趣？让孩子产生兴趣，你就得有有趣的问题，让他这个问题解决过程中，感觉到一些乐趣，这个是大概是很重要的问题。你看这个孩子对什么样的问题感兴趣，比如这个孩子喜欢音乐，那你就知道，这个音乐跟数学什么关系呢？这个时候，非常有趣的故事了，就是传说，古希腊的一个叫做毕达哥拉斯，这么一个大数学家，他经过铁匠铺的时候，就发现有的铁匠铺敲的声音非常好听，有的铁匠铺不好听，他就进去研究，后来发现，锤子的重量之间成比例的就和弦，要不然就不和弦，然后他就创造了音乐，音乐就是这个弦拉的一样紧，这个弦之间成比例关系的话，敲出来的就（和弦），要不然就不（和弦），所以现在的胡琴什么的，都是这么样创造出来的，这就有很有趣了嘛。根据孩子具体情况，提出具体的问题，引导他，这是很重要的。五、学数学要做大量的题目吗？学数学不做题是不行的，但是大量做题也不一定是必须的。因为你做的每一道题是经过思考得到的是很重要的，而不是靠训练得到的，所以我倒是建议做一个题做的稍微难一点。只有稍微难一点的题，你才能经过认真地去思考，不要做个题10分钟，20分钟都能做出来，有时候你做一道题，用一天或者两天时间，做出来的时候，你会突然感觉你明白了很多事情。但是现在的高中阶段这个老师教学中，我总是批评有的老师就是，两个小时做出来的时候，你恨不得马上就把答案告诉学生，其实不一定这样，你可以让学生很认真地去想。只有经过学生思考之后，学到的东西才是他自己的，要不它永远是老师的。有人认为，数学家整天计算做题。数学家不一定整天计算，不一定是做题，他在很多时间是在思考，根据现实的情况来构造一个模型，来解释这个现象，这是很有趣的一件事情，然后在这个模型之后，求解的过程中才是做题。六、研究数学，最大的乐趣在于什么？最大的乐趣，就是有时候研究一个没办法解决的事情，后来你突然想出来一个办法，把它解决掉了以后，用起来很好用的时候，你会感到非常高兴。就是前一段时间，来解决一个叫做市长公开电话，就是市民给市长打电话，打完电话之后呢，接听员听了之后，希望通过计算机自动分类，说这件事情是哪个区处理的，这个事情是公安局处理，这个事情是民政部处理……这样的事情。用计算机能不能处理这件事情。一开始觉得没有办法，后来想出来一个办法，把这件事情处理了。而且计算机会自动学习，原来分辨率是60%多，越来越好，越来越好，现在90%多了，这个时候你会感觉非常高兴。就是数学，刚才我们谈到了，数学是应用非常广泛，比如现在网页搜索，这些东西底下都是数学。七、学习数学最重要的是什么呢？我给学生们的建议有两个，一个是要有兴趣，你在学习的过程中，特别是克服了困难过程中，你感到乐趣这是很重要，因为兴趣是学习的最根本的动力。还有一个学习数学要会思考，尤其刚才说的希望理性思维，这样的才适宜学数学。-

麦克斯韦，全名詹姆斯·克拉克·麦克斯韦，您若对他印象不深，那下面的事实将令您对他肃然起敬。在“麦克斯韦诞辰100周年纪念会”上，爱因斯坦评价道：“(他的成果)是自牛顿以来，物理学中最深刻、最有成效的变革。”换句话说，爱因斯坦认为，麦克斯韦的伟大程度仅次于牛顿，排名第二。1999年底，英国《物理世界》杂志评出“有史以来十名最伟大的物理学家”，麦克斯韦排位第三，仅次于爱因斯坦和牛顿；同期，在英国广播公司(BBC)举行的“过去1

阿拉伯数字、东西大不同？第一次到印度及尼泊尔地区旅行，我就注意到他们的汽车车牌，有的用我们熟悉的阿拉伯数字，有的则用另一种数字；我猜应该是梵文数字，它是阿拉伯数字的前身。幸好有的车挂两个车牌，一左一右，一是阿拉伯数字，一是梵文数字。经过几次的做笔记，几次的核对，不久我就有了两种数字的对照，如下表中一、三两行所示：回家后查了资料，大致了解了阿拉伯数字的历史。印度在公元前三世纪的阿育王时代，就有了

删除或修改！END往期精彩回顾：陈省身：21世纪的数学“科比球”背后的数学人类如何感受到四维空间？

1850年1月15日(农历1849年12月3日)，第一位女科学院院士索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅诞辰。索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅或苏菲·柯瓦列夫斯卡娅(Софья

Brunswick参加美国数学会的暑期年会。由于近，我也去听听演讲，会会朋友。有一次我和一位美国非常有地位的数学家聊天，他问我做什么，我说微分几何，他立刻说，“It

最优投篮质量临界值与时间的关系可以发现有限的控球失误率下，最佳投篮率明显要高于没有失误的时候。也就是说，当控球会存在失误的时候，就不能那么高的要求投篮质量了。同样可以得到最佳投篮质量临界值与时间

按照我的理解，人在一只眼睛的情况下，看到的是三维在二维上的投影；因为两只眼睛的存在，两个二维投影经过大脑处理就形成了三维视觉。如果人类有第三只眼（或类似的器官），它能看到加入另一维度的投影，是否就能感受到四维空间？换句说，是否存在怎样的实验，能感受到空间四维、甚至宇宙十一维的存在？By：楚轩高能，看完后造成精神分裂、脑细胞死亡过多者，概不负责。人类的局限性使得我们无法在大脑中构建出四维的空间和物体，但是可以了解一些有趣的现象？开始，先介绍一下四维的一些奇怪现象；然后从二维模拟三维，我会说明，进入四维世界后的情景和奇怪的现象，解释下我们在这个异世界能看到写什么；接着假设存在四维人，他们看我们的三维世界是什么场景；最后幻想下，如果存在四维空间和二维时间——六维时空的神奇世界。四维世界的物体我们称之为“超体”，超体有许多奇怪的特性。以边长为1的超正方体为例，它的表面积是8立方米。估计有些人立马要跳出来，表面积怎么出现立方米了？事实是，对四维空间来说，三维的体只是一个面，四维超体的表面就是三维的。超正方体的表面（表面体）有“8个立方体（胞），24个面，32条线段，16个点”。更奇特的是，如果我们把超正方体的“表面”展开，如同我们把正方体表面展开成一张纸的情况，就成了下图：同理，三维球的体积是(4/3)πr^3，但是四维球的“表面积”是2(π^2)r^3，也就是说，完美的四维球的表面是一个类似球体但绝对不是球体的玩意儿。现在我们先假设有一个二维世界的二维人——小二，他的世界是怎么样的呢？他用两条腿就可以站立，而他的脚是线状的，且处于同一条直线上。但是如果进入三维世界就不行了，他的脚这样放，很难保持平衡，为了让一个物体稳定立在三维世界中，我们最低需要3个不在同一条线上的点接触表面，他的一条腿必须向第四维度弯曲，才能站稳。但是他不能动，一但动了，只有一只脚在平面上，极其不稳定，需要增加接触点，于是为了自由自在地行走在三维世界，小二不得不让身体向第三维度弯曲，采用两只脚+一只手在地面的“行走”姿势。好了，下面我们来欣赏下人类进入四维世界的场景。前面我们说了，四维世界的表面是三维的，数学公式很容易就可以推出，为了稳定在四维世界中，一个物体最低需要4个不在同一平面的点接触表面体，即两条腿的我们只能站着不能动，一动就倒了，为了行走，必须将第三条腿向第四维度折叠，接触到表面体才能“行走”，情景请自行想象……当然了，为了让大家能顺利地站起来我们忽略了很多物理定律，挑最简单的说。我们都知道粒子间有4种基本力“万有引力、电磁相互作用力、弱相互作用力、强相互作用力”，根据科学研究，万有引力本身就可能是多维间作用的力，没什么问题，但是其他三种力都是在三维中起作用的，进入四维空间后，力会在第四维起作用，于是力本身就大大地减弱了。要知道，粒子间的力是无比精致而脆弱的，有一点点变化，粒子也就不存在了，也就是说，当你从三维进入四维时，构成你身体的原子会在瞬间分解，所有的原子都不存在了，你将遇到有史以来，最最彻底的灰飞烟灭，真正的渣都不剩一点。四维世界的场景我们说完了，下面是重头戏，那就是，如果我们进去后还活着，我们看到的世界是什么样的？来，我们先把小二拉回来，看看他眼中的世界是怎么样的。在二维世界，他看到的不是一个面，而是一条线，可以是直线，也可以是“非直线”。如图：他可以左看到墙的边界，即5号虚线，或者右看1234四条虚线的综合线，然后在大脑中还原景象。然而，当他进入三维世界后回头，却并不能看清整个二维世界，因为他只能“看”到线，他像扫描一样，每次看一条线，因此他只有从头到尾看（扫描）无数次后，才把所有的线组合起来成为一幅二维画。大家都觉得我们的眼睛看到的是三维世界，但是这是错误的，我们眼睛看到的实际上是二维画，是各个三维物体的表面，然后再由大脑加工转成三维模型。于是，我们进入四维世界后，我们以上帝视角看着三维的地球，却悲哀地发现依旧不能看清一切，我们拥有透视眼，但是，信息量过大，大脑没办法在同一时刻把所有画面整合起来。为了更形象一些，我们先暂时回到三维世界。拿一部手机出来，将其压缩到极致，只留下薄薄的一层有个字的透明屏幕，同样的再拿出1000部，每个屏幕都显示着不一样的字，将他们摞在一起。这样，我们就构造了一个伪四维空间的三维物体X，所有的屏幕都亮着，我们似乎能看到每一层屏幕，可惜由于互相遮挡，一个字都看不清。好了，现在你把X拿到四维空间，刹那间，一切都明朗了，每一层手机发出的光线都能不受阻挡地到达我们的眼睛，我们看到了每一层手机全部的光，也就意味着所有的字我们都能看清了。可惜啊，大脑表示光线超标，信息过量无法构建空间，这时候有就有了两种可能性，A大脑彻底罢工，我们看到了一切，却由于大脑容量不足，造成过度堵塞，变成了完全的瞎子。B大脑启动了分离程序，提取了某一层屏幕，看到了这个字，然后提取另一层屏幕，看到了另一个字，到最后，我们看到了所有的字（理论上有无数个字，我们将其忽略近似为每层都很薄，就看到了有限个字，只要够薄，这对我们的理论就没有影响）。恭喜，从现在起你就是拥有透视眼的二娃了，是不是很高兴？想看什么看什么，完全不受束缚。很抱歉，你看不到，因为理论告诉我们，你每次只能看到一个面，一个标准二维的三维截面。当你看一个苹果时，你不能看透表皮直达果肉，你每次只能看到苹果的一个有果核有果肉的截面，把苹果全部扫描一遍后，才能知道这是个苹果。你熟悉的那个世界已然消失不见，到处都是标准的二维截面，而只有看了大量的截面后，你才有可能在脑中建立起所见物体的三维模型。看过四维超体的截面了，回到刚刚的问题，我们在四维空间看向四维物体时，看到了什么？答案是……与我们在三维空间看到的截面几乎一样。上文已经提到，我们眼睛看到的是二维画面，且无法在第三维度上无限结合，而四维物体的表面是三维的，即我们看到的是四维物体的三维表面体的二维截面，并且由于局限性，我们看过大量投影后还是没办法把这些二维截面在第三维度结合起来，更不用说再把所有的完整三维体在第四维度结合起来了，四维超体对我们依旧是不可见的。（类似于看三维物体时的AB一样，看四维物体也有两种可能情况，我们选取了B，即大脑会启动分离程序获得可用的光信息，而不会因为接受到过度的光罢工。）说完了超体，我们再拉出一个四维的人来，“超体小四”，看一看四维人眼中的世界。小四首先看到了地球，他看到了我们这些蝼蚁的表皮，更是由表及里，看到了我们的肌肉、心脏、血管等等，不仅如此，8848米高的山峰，11000米深的海沟，深达地幔，最后直抵地心，这一切都是他“同时”看到的。随着时间的推移，他看着整个地球，太阳，星系的演化，一切尽在眼前。至于四维人眼中的四维世界，处于完全未知状态，仅可由数学语言描述，我们略去。最后我们脑洞大开一下，小四是生活在四维空间+一维时间，即五维时空中，再加一个时间维度的话，我们来到了四维空间+二维时间的六维时空宇宙，假设存在一个“超时空小四”，他看向我们的地球，不仅看到了现在的地球，也从地心到地表，看到了过去的和将来的地球。实际上，他目睹了30亿年后银河系和仙女系的大碰撞，够幸运的话还能看到50亿年后太阳的终结，他看到了宇宙的开始，也见证了宇宙的终结，而这一切对他来说，都是在同一个时间同一地点发生的，这就叫做“上帝视角”。By：alienbat首先先下一个前提：如果世界的最高空间维度是四维，那么不存在物理意义上的三维物体，所有的物体都是四维的，我们看见的“三维物体”都是四维物体在三维世界的投影。这个前提的由来是：在我们的三维世界，也不存在物理意义上的二维物体。你在纸上画一个图案，纸是有厚度的，图案其实是墨水渗入到纸的三维纤维结构中改变了反光，所以还是三维的。电脑屏幕上的画面是由三维的发光二极管组成。分子是三维结构，原子也有体积，中子质子在粒态的时候也被认为是三维球体。。。事实上根本找不到只有面积没有体积的东西。以此类推，如果世界是四维的，那这个世界中所有的东西都是四维的。当然了，这不妨碍这个世界的智慧生物只能体验三维或者二维——那是它们自己太弱，不能怪宇宙。当然这个前提未必是正确的，纯属娱乐，想娱乐的可以看下去。作为三维人类，你只能感受四维物体在一个三维世界，也就是你生存的这个三维世界上的投影。这一点很重要。四维世界包含无数个三维世界。我们姑且认为我们目前的这个三维世界是{x,y,z,0}.

更多内容，敬请关注：我们从高中就开始学正态分布，现在做数据分析、机器学习还是离不开它，那你有没有想过正态分布有什么特别之处？为什么那么多关于数据科学和机器学习的文章都围绕正态分布展开？本文作者专门写了一篇文章，试着用易于理解的方式阐明正态分布的概念。机器学习的世界是以概率分布为中心的，而概率分布的核心是正态分布。本文说明了什么是正态分布，以及为什么正态分布的使用如此广泛，尤其是对数据科学家和机器学习专家来说。我会从最基础的内容开始解释，以便读者们理解为什么正态分布如此重要。文章结构如下：什么是概率分布？什么是正态分布？为什么变量如此青睐正态分布如何用

更多内容，敬请关注：法国大革命与数学（上）十八世纪以前的欧洲大学，数学教学与研究是相互脱节的。多科工艺学校提倡数学教学与研究的结合，众所周知，这种结合已成为今日西方大学普遍的传统。在当年的多科工艺学校，这种结合产生了极其丰硕的成果。正是由于多科工艺学校师生的活动，巴黎在许多年间成为公认的数学中心，而十九世纪新的数学研究领域，有许多都可以溯源于多科工艺学校(以及高等师范学校)的研究，或是受了其影响。1.十九世纪综合几何的复兴是发端于多科工艺学校。最先是蒙日画法几何的创立，蒙日出于军事建筑工程的需要而发展了画法几何，并通过在多工和高师的教学极广泛地传播了自己的思想。蒙日指出，画法几何只是更一般的投影几何的特别情形，而他的学生，尤其是彭色列，后来就建立了系统的投影几何理论。投影几何成为十九世纪最活跃的数学分支之一，其中关于几何不变量的概念，影响到克莱茵的著名的几何学群论原则，已成为现代几何学的基本概念之一。回顾在十八世纪末，综合几何的研究一度山穷水尽，蒙日学派重新打开了崭新的局面，其中最富革命性的一点是在于：蒙日等人的几何研究可以看作是同欧几里得范型的一种决裂，因为投影几何事实上也是一种非欧几里得式的几何，它使人们看到几何学除了欧几里得所规定的模式外还大有天地，对十九世纪几何学中的非欧化倾向起了重要的作用。蒙日学派的工作后来被沙勒等继承，特别是影响了德国的斯坦纳、格拉斯曼、普吕克和斯陶特等，他们发展了仿射几何、代数几何、高级几何等。此外，微分几何之成为独立的数学分支，蒙日学派功劳极大，而微分几何对于非欧几何的普遍接受更具决定的意义。2.分析的严格化，是贯串整个十九世纪的数学主流，在这一运动中，多科工艺学校也是一马当先。从1821年开始，柯西发表了一系列著作，建立起严格的极限理论作为微积分的基础，这引导到级数收敛性判别和函数连续性的研究，以及函数概念本身的精确化。柯西还开创了复变函数论。柯西是在多科工艺学校接受教育的，拉普拉斯、拉格朗日做过他的老师，并关注过这位学生的数学才能。1816年，柯西本人也成为多工的数学教授，而他关于分析基础的著作，有许多就是他在多工的讲演或教程，如著名的《分析教程》，全名应为《高等多科工艺学校分析教程》(Cours

。可能这两种思维路径得到的决策结果是一样的，但就算后者没有给我带来更优选择，经过这样一番所谓的“理性思考”获得的结论也会让我更自信地选下这个选项，让我更有底气，我相信我一定是对的

更多内容，敬请关注：纵观数学科学的发展，也许不难发现这样一个事实：即历史上数学发达中心的迁移，同社会政治、经济重心的迁移基本上是相吻合的。01数学中心的迁移现象希腊几何是产生于古代奴隶制社会鼎盛的中心——古希腊城邦制国家；希腊衰微之后，数学的领先地域转移到东方的印度、阿拉伯，尤其是中国——那儿在漫长的中世纪一直维持着封建的太平盛世；从十五世纪开始，数学活动的中心由于资产阶级的兴起又返移欧洲，并随着资产阶级革命重心的转移而在欧洲内部不同的国家之间转移着——十六世纪至十七世纪后期文艺复兴的意大利，是当时当之无愧的数学中心；这种地位在十七世纪转移到英国：英国的资产阶级革命造就了牛顿学派，还有皇家学会的诞生；通过十八世纪的法国大革命，法国数学取代英国而雄踞欧洲之首，巴黎成为名副其实的所谓“数学活动的蜂巢”。法国维持其数学优势直到十九世纪中，七十年代以后，德国资产阶级的统一运动又使德国数学起而夺魁，并且最终使哥廷根成为全世界数学家向往的“麦加”；德国数学的黄金年代，由于希特勒法西斯的浩劫而一蹶不振，第二次世界大战后，美国便成为西方数学家的一块乐土了。

更多内容，敬请关注：竺可桢，又名绍荣(1890—1974)，字藕舫，浙江省绍兴县关东镇(今上虞县)人。中国现代著名气象学家、地理学家、科学家和教育家，中国近代地理学的奠基人。竺可桢被认为是中国气象、地理学界的“一代宗师”。年少时期的竺可桢竺可桢出生在浙江绍兴东关镇(今上虞县)的一个普通人家，父亲竺嘉祥以做小生意为生养活全家6个儿女。虽然竺可桢是最小的，但他十分勤奋好学，善于思考。两岁时，有一次跟随父亲上街，走进一家布店，父亲问道：“认识这些字吗?”小可桢摇摇头。父亲又问道：“那你知道这是什么店吗?”“知道，恒生布店。”“对，牌匾上的字就这么念。”这下，小可桢来了兴趣。每次跟随父亲上街的时候，他总是连问带猜，没过多长时间，就把街上的牌匾认遍了。在竺可桢4岁的时候，有一次下雨，站在屋檐下，极有兴趣地数着屋檐上滴下的雨滴：“一，二，三……”他突然发现，在每一个水滴的落地处，石板上都有一个小坑坑。他马上去问妈妈为什么会有坑?妈妈说：“看起来一个小水滴没有什么力量，但长年滴下去，连石头也能砸出坑!这就是‘水滴石穿’。无论做什么事，只要持之以恒，就一定能做成!”妈妈的这句话深深触动了竺可桢的内心，同时，它竟影响了竺可桢的一辈子。1905年,竺可桢在东关镇小学毕业。他的学习从来都名列前茅。同年，他考入上海澄衷学堂，学习照样数一数二。只是他个子矮小，身体瘦弱，引得不少同学笑话他，甚至说他“学习虽好，却身单力薄，恐怕活不过20岁。”可桢也深为自己的身体发愁，决心从锻炼入手来改变这种状况，并在自己床头贴上“言必行，行必果”的条幅以示决心。从此，人们天天见到他锻炼的身影：跑步，舞剑，做操……经过一段时间他的身体果然越来越好，几乎什么病都没有了。从那时起，他的体育锻炼一直坚持了一辈子，他能活过80高龄，与此不无关系。气象事业的拓荒者中国是个农业大国，农业是与气象关系最为密切的产业。但是那时中国的现代气象事业，却几乎等于零。竺可桢成为中国在这一领域的真正拓荒者。他知道，为了推进这一事业，有两件事最为重要：第一，建立全国范围的气象观测站。只有运用现代科学技术，对大面积的区域进行长期定点的连续观测记录，从而获得大量第一手资料，才能把气象学建立在科学实证的基础上，才有可能掌握天气变化的规律；第二，必须着手培养气象人才，中国只要有了一支数量众多的气象人才队伍，这个事业就一定能干下去，并会越干越好。1909年竺可桢考入唐山路矿学堂，1910年以优异成绩赴美留学。在美8年，他先后在伊利诺农学院、哈佛大学研究院地学系学习和研究。在国外学习，他有着明确的目的，那就是为了振兴贫弱的中国。因此，他的第一篇气象学论文，就是《中国之雨量及风暴说》，而他的博士论文，则是《台风中心的若干新事实》，真是身在异国，心系祖国。1918年,他获得博士学位后，即抱着“科学救国”的美好憧憬返回了祖国。1921年,竺可桢在东南大学(今南京大学)建起了第一个中国人自己的气象站，并正式开始了观测记录。从那时起，他以自己特有的韧劲，开始了建立全国气象观测站的艰苦工作。要知道，在那内忧外患的年代，要办成一件正经事是多么难啊!但是，经过八九年的不懈努力，他东奔西跑，苦心经营，终于在全国范围建起了40多个气象站和100多个雨量观测站，先后开展了高空探测、无线电气象广播和天气预报。这个数量很有限的气象观测网，就是我国整个现代气象事业的最初基础。气象观测是件极其琐碎艰苦的工作。每天要对各种数据一个不漏地忠实记录，不论刮风下雨，春夏秋冬。气象观测除在地上的定点观测外，还要通过放气球进行高空观测。20年代,竺可桢在南京，通过释放160多次高空气球以及其他各种方法的观测实验，终于掌握了南京地区天气的某些规律。他在《南京三千米高空之风向与天气预测》的文章中写道：南京3000米上空若刮西北风，并且是从地面向上逆转，天气则晴，若3000米高空刮西南风，则24小时内将有雨。掌握了这一规律，就能相当准确地预报南京地区天气。竺可桢还在大量第一手资料基础上研究了中国气流运行，特别是东南季风与中国雨量的关系。他指出，夏季季风的水汽，是中国大陆雨水的主要来源，每年气候变暖，我国降雨带便随季风由南向北推进；该季风强，则往往长江流域主旱，华北主涝，季风弱，则相反。竺可桢自回国之日起，就开始了长达几十年的气象学教育工作。他先后担任中央大学地学系的教授和主任，浙江大学校长，气象所所长，中国气象学会会长。解放后历任中科院副院长，地学学部主任。他知识渊博，热爱学生。他循循善诱，热心科普事业。有一次，他在东南大学广场做演讲，从天上的28星宿，讲到无数的中国古代天气谚语，从中华民族的文化发源地黄河流域，讲到地球、航海、灯塔，从测量讲到野外实习……学生们听得如醉如痴，从傍晚直到深夜都不肯散去。在竺可桢的培育下，一大批气象人才成长起来。这些人，后来多数成为新中国早期气象工作的中坚力量。有趣的物候学从解放初开始，人们总能看见一个老人每天早晚步行纵穿北京的北海公园，这看看，那摸摸，并不时在本子上记点什么。他在搞什么呢?几个好奇年轻人的一次询问，揭开了秘密。“老同志，您这是在搞什么研究啊?”见是几个年轻人问，老人高兴地笑了：“你们知道九九歌吗?一九二九不出手，三九四九冰上走。五九六九，沿河看柳，七九河开，八九雁来。九九加一九，耕牛遍地走。这就是说，在冬春之季，随着时间推移，结冰、化冰，柳树发芽，大雁飞来，都是随天气变化而必然依次发生的现象，这就是物候学。古时老百姓家中没有日历，许多人就是从某些标志明显的动植物变化来确定种庄稼的农时……”年轻人听出了兴趣，而四周听讲的人也越来越多。老人继续讲解：“进行物候观察，对象要有选择。比如，桃、杏、丁香、洋槐，就是几种预示四季变化最明显的植物，而春季它们的花变化又最明显；再比如动物，燕子和布谷鸟是预示天气变化的最明显标志，因为它们是候鸟，每年飞来和飞走的时间都相当准时而固定……”老人的侃侃而谈，使四周听讲的人受到了一次生动的科普教育。后来人们才知道，老人就是著名科学家竺可桢。早在20年代，竺可桢就从古籍和民谚得到启发，开始了对物候的观察研究。他发现古人写文写诗在描写初春初夏时，总是提及燕子和布谷鸟，于是便开始了对它们长达几十年的观察记录。在南京，在杭州，在北京，从未间断。他记燕子每年第一次出现的时间，记布谷鸟第一次鸣叫声，记燕子、布谷鸟最后消失时间……有一年，竺可桢在北京，直到5月下旬，燕子出现一个月了，还没听见布谷鸟叫声。他有点沉不住气了：“不对呀，它该来了。”他问家人，也都说没有听见。于是他嘱咐道：“注意点，它该来了，谁先听到赶快告诉我!”终于在两天后的5月25日，一个阳光和煦的日子，他和家人同时听到了“布谷、布谷”的悦耳叫声。在长期的观察中，竺可桢发现了几个有趣的规律，比如：相同动植物表现的物候现象，会从低纬度向高纬度推迟，但不同月份速率不一样。在南京，桃李开花约在3月31日前后，而北京到4月19日才露花瓣；前后相差近20天，但5月下旬以后，许多物候现象就仅相差几天了。其中的原因是中国受季风影响非常明显，冬末春初，南北温差大，而进入初夏后，北方迅速升温，南北温度便相差无几了。像南京、北京，3月相差4℃，5月就几乎相等了。再如，相同植物随地势升高，物候现象推迟。白居易《游庐山大林寺》诗中说：“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，说明庐山上桃花比山下开得晚多了。这又是为什么?原来，地球上随地势升高，气温会以平均每100米0.6℃的速率下降。这现象在竺可桢的多次考察中被一再证实。1961年初夏，他的一次考察记录清楚说明了这一点：6月3日清晨，自阿坝出发，海拔3200米，树枝上见霜；行至某地，观察路边小河有冰，海拔3600米；至米亚罗，小麦半腰深，海拔2700米；傍晚至茂汶，小麦金黄，正在收割，海拔760米。他们一行人在一天之内就能从冬天走到夏天。还有，在同一地区各种物候现象发生的顺序是一定的，绝不会前后颠倒，如北京北海公园，一定是湖先解冰，然后草木先后出叶开花，开花顺序必是桃、杏、丁香，最后洋槐；燕群出现均在阳历4月21日前后，布谷鸟则在5月下旬……竺可桢这位敏锐的观测者，从万千人习以为常的自然现象中得出了极不寻常的科学结论，不愧是中国气象学界的“一代宗师”。END往期精彩回顾：数也有形状奇妙的小数点建筑中的数学美

更多内容，敬请关注：詹天佑，字眷诚，号达朝，中国铁路工程的先驱。铁路是现代交通运输事业的重要手段之一，它使得巨额数量的物资和人员的输送成为可能，它使一个国家各个地区之间得以形成最紧密的联系。如果说在世界上，铁路工程的先驱当推英国人史蒂芬森的话，那么在中国，铁路工程先驱的头衔，詹天佑则是当之无愧的。时代造英雄天佑成长的时代，正是国运日弱，世界列强开始侵略中国之时，西方的科学技术，也随着传入中国。詹天佑6岁入私塾就读，但他对四书五经并不感兴趣，倒是对西方的新科技、新知识颇感新奇。10岁那年，他考取了幼童赴美官费留学生。在大洋彼岸，从小学到大学，他接受了与国内完全不同的现代科学教育。这一经历使他成为近代史上最早运用现代科技以提高我国生产力水平的先驱之一。他先就读于美国康涅狄格州西海文海滨男生学校，15岁又考入该地文山房高级中学。他很早就显示出数学方面的才华，学习成绩在全班乃至全校经常名列前茅。他的体育也非常好，游泳、棒球、钓鱼，无所不能。高中毕业，他以全班第一、全校第二的成绩考进了耶鲁大学雪菲尔理工学院，专攻土木工程专业。那时的美国，到处是一片蒸蒸日上的景象，开发建设日新月异，发明创造层出不穷。这一切都强烈地刺激和震撼着詹天佑那颗拳拳的爱国之心，特别是1876年费城举办的美国独立百年博览会，更是给詹天佑留下了永生难忘的印象。他看到了蒸汽机、印刷机、电话，看到了无数的发明创造，他甚至看到了一列以蒸汽机车做动力的火车，在数英里长的环行轨道上飞速奔驰。强烈的自尊心和民族责任感，使詹天佑下定决心，学好科学技术，报效祖国。这同时也成为了他刻苦学习的强大动力。1881年,他以优异成绩完成大学本科学业，取得学士学位在耶鲁毕业。同年8月，他与众多同学一道，怀着激动的心情乘船返回阔别了10年的祖国。但是，腐朽没落的清政府，并没有真正认识到这批掌握了先进科技知识的学生的价值，只是随便给他们分配了工作就算完事，詹天佑也未幸免。1882年10月,詹天佑被分到了福州船政局。从那时起，他被先后调动数次，学过驾船，做过英文“教习”，还为当时的两广总督张之洞绘制过广东沿海险要图，但始终是用非所学，他的专长被埋没了。1887年3月,詹天佑回到老家，在父母主持下，与早年有婚约的谭菊珍结了婚，婚后的生活，倒也幸福美满，但最令他遗憾的是学了满肚子学问，却找不到报国之门。那时的中国，与欧美国家的繁荣景象比较起来，真是一个天上，一个地下。人家快马加鞭，拼命发展，拼命向世界扩张，而我们堂堂的“天朝大国”，却像一个步履蹒跚的老人，半睡半醒，还做着“我是天下第一强国”的美梦呢!早在19世纪60年代，铁路技术就已传入中国。但是，铁路工程遭到了顽固的当权者的反对。他们认为，开山凿路，会“破坏风水”；火车轰鸣，会“震动祖坟”。为此，争论持续多年，筑路之事进展缓慢。而西方从19世纪30年代起，就进入了建筑铁路的“疯狂岁月”。到了七八十年代，整个欧洲和北美，已初步形成了遍及大陆的铁路网。在铁路交通的促进下，欧美各方面的发展把中国抛得更远了。然而直接的利害关系和科技的优越性却使包括政府官员在内的许多中国人渐渐转变了看法，筑铁路逐渐被提上日程。首先是军事上的需要：帝国主义的侵略，利用坚船利炮在沿海行动迅速，打击凶狠。而我们则行动迟缓，粮草供应不上。偌大国家，从南到北上万里海防，内部却因无行动迅速、运载量大的交通网络，致使各地不能相互照应；另外，那时清廷已开始建立海军，然而军舰需要大量煤炭做燃料，从唐山开采的煤要大量运到塘沽港，岂是骡马大车所能承担的任务。要知道，一列拉1000吨货物的普通列车从唐山到塘沽港一天的运输量，用1000辆骡马大车一个星期恐怕也运不完呢!于是，尽管朝中顽固派极力反对，但随着时间的推移和一次次的军事失败，使得他们的声音越来越少，慢慢没有人听那一套了。还有一件十分有趣的小事，也足以说明科技优越性对人心的震撼。有一次，恭亲王因事去天津，先乘骡车出京城到丰台，15000米的路，慢悠悠走了多半天，不想从丰台乘上去天津的火车后(那时这段铁路刚通车)，120多千米的路竟只用了3个多钟头就到了，其速度和乘车的舒适，使亲王终生难忘。他回京后，毫不犹豫地下令把铁路从丰台筑到永定门。詹天佑是外国人已在中国建了数条铁路之后，在朝野对是否筑铁路的无休止纷争中，于1888年走上了他筑铁路的漫长道路。他那时只想，外国人能筑铁路，中国人也一定能。但他没想到，他日后的业绩，最终使他成为中国铁路史上人们永远不会忘记的伟大人物。中国铁路之父詹天佑参加修筑铁路，是经他的老同学邝孙谋举荐给“中国铁路公司”的。邝孙谋深知天佑才学出众，作风扎实。而现在却在干用非所学的工作，真是埋没了人才。因此，邝孙谋一向詹天佑提及此事，他立即答应了。从此，他一步一个脚印，一干就是30多年，为中国铁路建设耗尽了毕生的精力。在头10多年中，他从助手到工程师，再到总工程师，扎扎实实干了许多工程。凡他主持过的工程，几乎件件达到了很高的水平，并有独到的创新。他曾主持过天津——塘沽段的铺轨工程；也曾担任过天津——卢沟桥段铁路建设的工程师；他还承担过关外铁路极为复杂的“接收”和修复工作。其中，最出色的，要属主持滦河铁路大桥的建设和修筑西陵铁路了。滦河是我国北方一条颇大的河流。它水深流急，水文地质状况复杂。如果要修筑关(指山海关)里至关外的铁路，就非跨越滦河不可。滦河大桥因此成为建这条铁路的“卡脖子”工程。当时修筑此路的总负责人是一个叫金达的英国人。开始，金达把这个有很大“油水”的工程包给了另一个英国人。这个英国人采用打桩的办法建桥墩，结果由于勘察、钻探马虎，选址不当，打桩困难，而失败了。金达又去请日本人，然而日本人也无能为力。眼看工期一天天迫近，出于无奈，他抱着怀疑的态度，叫詹天佑试试。詹天佑勇敢地接受了这一挑战性的工程。他并不急于按英国人的老路干下去，那样成功的把握不大。他决定从了解情况入手，认真对桥址及其附近的水文、地质状况进行了深入的勘察、分析。最后，他做出了两项重要决策：第一，改变桥址，寻找更有利于建桥的地点；第二，采用压气沉箱法建水下基础和桥墩。这两项决策及其以后的施工，使滦河大桥终于如期建成。詹天佑因此而名声大震，大大长了中国人的志气，英国人也不得不对他另眼相看了。1894年,他被英国土木工程学会接纳为会员。1902年,慈禧太后忽然心血来潮，想于第二年春天坐火车去西陵(今河北易县梁各庄附近)谒陵祭祖。为此，需要从京汉线(北京至汉口)上的高碑店站至梁各庄筑一铁路支线。是年10月，慈禧把督办该路的任务交给了袁世凯。几经周折，才选中詹天佑为总负责人。此时，只剩下4个月的工期了。詹天佑仓促受命，在隆冬季节匆忙上阵。他率领部下，边勘察，边选线，边备料，边施工。当时，材料缺乏，冰天冻地，施工极为困难，但这却成了詹天佑充分展示才华的场所。他周密计划，精巧设计，全力以赴。他还大胆采用诸多非常规但又能保证安全运行的办法，终于在短短4个月内，建成了这条特殊的铁路。西陵铁路虽然不长，但它却揭开了中国人自己当总工程师主持修铁路的序幕，第一次从勘察、选线，到设计、施工，都是由中国人自己完成的，从而使中国人取得了建铁路的完整经验。从北京向西，有一条非常著名的铁路。它从广阔无垠的华北大平原突然开始爬坡，在短短几十里路内，一下升高数百米。火车到此，前面一个车头拉，后面一个车头推，轰轰然缓慢爬升。车旁，一边是巍峨壮观的八达岭的群山，八达岭上，雄踞着万里长城，一边是深不见底的山涧，使人有凌空飞跃之感。这就是京张(北京——张家口)铁路一个险峻地段。这条铁路所以著名，除了它的险峻，除了它与万里长城并肩而行，还有一个重要原因，那就是它与詹天佑——这位伟大的爱国工程师的名字联在一起。看到它，就看见了中国人民的才智。在旧中国，它使中国人增强了自信；现在，它则鼓舞着年轻一代为中华民族的振兴而奋发努力。京张铁路使詹天佑获得了极大荣誉，也大大提高了中国工程技术人员的地位。在以后的10余年中，天佑担任过许多重要铁路工程的最高职务。詹天佑在中国铁路史上留下了重重的一笔，他以无可辩驳的事实向世人证明，中国人不但以刻苦耐劳著称于世，在聪明才智和掌握现代科技方面也绝不在西方人之下。他终于打破了外国人总揽中国工程技术的垄断地位。自他以后，铁路工程到处都活跃着中国工程技术人员的身影。詹天佑，在中国当时还无工科大学培养自己人才的情况下，创造了在实践中培养人才的一整套方法。中国早期的铁路工程技术人员和组织管理者，相当多的人都出自于他的培养。詹天佑的许多思想，都成为后来工程专家们的宝贵精神财富。END往期精彩回顾：数也有形状奇妙的小数点建筑中的数学美

群论在结晶学、理论物理、量子化学、编码学、计算机科学及算子理论等领域都发挥着极其重要的作用。END往期精彩回顾：数也有形状奇妙的小数点建筑中的数学美

在学习数学的过程中，会接触到数学世界中有趣的名词，比如说：辛空间、酉空间、奇点、极点、正态、正交、正规、同伦、同胚、同调……每个学科可能都有学术名词翻译的问题，我国的翻译学家在翻译的时候遵从着信达雅的原则，在数学学科中，有许多像正合、流形、共轭、拓扑等等自然贴切的名词，但也出现了像辛空间、酉空间这样高深的术语，今天就让我们来聊聊数学中一些或让人啧啧称奇或让人想要刨根究底的名词翻译吧：1共轭（conjugate）共轭这个名词并非数学专有，在化学中也有共轭化学键。这是一个简单自然的直译，conjugate=common

。庞加莱认定面包师在制作过程中偷工减料，并果断举报给质检部门，但质检员却感到疑惑：这几个面包确实满足上面所说的条件，平均重量

删除或修改！END往期精彩回顾柏拉图的数学哲学平面椭圆，一个神奇的图形为什么人类想象不出四维的空间？我就知道你在看！

人类之所以想象不出来四维空间的样子，一个原因是因为人脑是三维属性的，另外一个重要原因就是人们从来没有接受到过四维空间物体的信息。我们生活在三维世界，所以我们接受到的信息都是三维的，人脑也是由三维的神经细胞组成，所以呈现在我们脑部的物体形状都是三维属性。四维空间的物体，从来没有进入过我们的三维宇宙，故而我们也没有从第四个维度接受过任何讯息，我们根本无法直接想象一个完全没有见过的物体，特别是这个物体还是四维的。当然了，虽然我们没有见过四维空间或者四维物体，但是从一些物理现象的蛛丝马迹，我们大致可以想象一下四维空间的样子。想象大家都听说过克莱因瓶，它就是一个出口和入口同处于一个空间维度的瓶子，也可以叫做升级版的乌斯莫比环。乌比莫斯环是一个二维面在第三个维度扭曲180度然后头尾相接，就做成了一个只有一个表面的园环。那么克莱因瓶就是一个圆柱体在第四个维度扭曲180度然后头尾相连而已，这样这个圆柱体就是入口和出口在同一个位置，没有内外之分。所以其实我们并不是不能够想象四维的样子，而是我们没有接受过真正四维物体的样子，无法画出四维物体。不过，我们通过爱因斯坦的相对论或许可以找到四维的蛛丝马迹。广义相对论认为引力是时空的几何凹陷导致的，而这种凹陷的方向就是朝向四维的。因为在三维中我们根本无法实现三个维度各项同性的扭曲，只有四维存在，才能够实现三个纬度空间的同时扭曲，而且扭曲的曲率还一致。所以说，四维物体就是三维物体加上一个看不见的维度，这个纬度可以让我们的三维物质扭曲到一个我们无法想象的样子。另一方面，引力波的发现，也隐约证明空间在第四个维度上是可以像波一样震荡的。一维线震荡产生二维，二维震荡产生三维，三维震荡产生四维。所以我们空间的振荡，就是四维空间的样子。只不过受制于我们大脑的维度，我们只能够把这种四维解析成三维想象，就像是我们常用的把天体压弯时空的示意图一样。

小时候的我，觉得椭圆就是一个普普通通的图形。直到我上了高中，接触了圆锥曲线，经历了一番摧残之后，我觉得我似乎认清了椭圆的真面目。而现在，我又碰到了椭圆积分，才发现我真的太天真了......所以，我现在对椭圆充满敬畏之情，不知道何时又会碰到与之有关的更为高深的知识。下面我们就从椭圆的周长开始，慢慢揭开椭圆积分的神秘面纱.....1.问题的引入：椭圆的周长如果我没记错的话求平面曲线的弧长应该是导数的基本应用之一吧。首先，我们来回忆一下计算平面曲线弧长的公式。设一连续可微的平面曲线

柏拉图的数学哲学作者：林夏水原发期刊《哲学研究》1996年第1期柏拉图是古希腊著名的哲学家,同时又是一个数学哲学家。他的数学哲学思想迄今仍影响着当代一些数学家和数学哲学家。现代数学研究对象的抽象性日益提高,使得数学对象的实在性或客观性成为数学家和数学哲学家关注的问题。本世纪三十年代以后,随着数学基础三大学派的争论渐趋平静,数学对象的实在性问题成为形式主义与自称柏拉图主义论战的焦点。为追溯现代数学柏拉图主义的思想渊源,本文就柏拉图的数学哲学作一探讨。时代背景柏拉图数学哲学思想的产生有其深刻的哲学和数学背景。在哲学方面,当时的哲学家都致力于寻找世界的本原。柏拉图跟随苏格拉底学习哲学。苏格拉底研究了伦理学中的普遍的东西、定义。例如,正义、美的本质。他继承他的老师从个别的事物中寻找普遍的东西,从现象中探求本质的传统。但他却把普遍的东西、定义与个别的东西分离开来,使之成为“单个的存在物”——理念。柏拉图还接受赫拉克利特关于“一切皆流”,无物常住的思想。但他又进一步认为,永恒变动的事物不能成为知识的对象;知识只能是对永恒不变的事物的认识。爱利亚学派的巴门尼德把可感事物的抽象归结为思想性的存在,并把它和非存在绝对对立起来。柏拉图则认为,永恒不变的存在是客观实在的,可感事物是处在存在与非存在之间。在解决理念与具体事物的关系时,他吸收了毕达哥拉斯的“摹仿说”。毕达哥拉斯学派认为,“万物皆数”,事物是“摹仿”数而存在的。柏拉图则认为事物是分有理念而存在的。这样,柏拉图就逐渐建立起他的理念论:理念与其同名的可感事物分属两个对立的世界,理念先于可感事物而独立存在;理念是本原、模型,它是永恒的、客观存在的,可感事物处于运动变化之中,它存在但不实在,它处于实在与非实在之间;可感事物是分有同名理念而存在的。如果说理念论产生的哲学背景带有思辨的性质,那么数学背景——第一次数学危机,就是一个科学事实问题。毕达哥拉斯学派发现了不可公度量,引起数学史上第一次危机。它迫使哲学家作出理论解释。可是这一重要事实常常被人忽略。这次危机及其解决,无论在数学方面还是在哲学方面都具有重大意义。就哲学意义来说,它首先动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数”的自然观。其次是它使人们认识到感性知识是不可靠的,只有理性知识才是可靠的。因为根据毕达哥拉斯学派的理论,任何事物都可以用正整数或正整数的比来表示,叫做可公度比(即具有公共度量单位)。就两条线段来说,从直观上看,总是可以找到一个公共量度单位,把两条线段都量尽,进而用整数比来表示它们,使得它们成为可公度比。但是,在数学中根据毕达哥拉斯定理却可以证明,等腰直角三角形的斜边与直角边之比却是一个无限不循环的数,也就是说,找不到一个公共量度单位使得它的整数倍等于斜边的值,或者说,等腰直角三角形的斜边与直角边是不可公度的。这一事实说明,感性直观的知识是靠不住的。作为跟随过毕达哥拉斯学派重要成员、数学家泰奥多鲁斯和阿启泰学习过数学的柏拉图是知道这次危机所引起的冲击的,所以他强调数学是研究抽象的,强调假设—演绎方法;而且他的学派的重要成员、大数学家欧多克斯建立的比例论在解决危机的过程中实现当时数学研究重心的转移方面作出重要贡献。正是感性直观知识的不可靠性,才促使柏拉图一心一意地追求可靠的知识,寻找实在的、永恒不变的知识对象——理念。另一方面,既然理念与可感事物是分立对立而存在的,它们作为认识的对象,心灵所获得的知识,一个是可靠的一个是不可靠的,那么,如何使不可靠的知识上升为可靠的知识呢?柏拉图正是在寻找知识的过渡形态过程中建立他的数学哲学理论——数学的居间性;数学对象分离独立存在于可感事物之外;理念数论及物质元素的几何结构。数学的居间性柏拉图认为,理念是客观实在的,而分有同名理念的具体事物虽然存在但不实在。因此,怎样使灵魂脱离变化的可见世界而进入可知的实在世界,成为他研究的重要课题之一。柏拉图正是在寻找知识的过渡形态中发现,数学不仅具有实用意义,它是“一切技术的、思想的和科学的知识都要用到的,它是大家都必须学习的最重要的东西之一”(〔1〕,522C),而且具有重要的理论意义,它是“把灵魂拖着离开变化世界进入实在世界的学问”(〔1〕,521D),即由可见世界进入可知世界的阶梯。为了说明数学的居间性,他从数学在认识论中的地位和存在不同等级的三种数来进行论证。数学在柏拉图认识论中的居间地位柏拉图在其认识的四阶段论中把数学定位于“比意见明确一些,但比知识要暧昧一些”的理智阶段(〔5〕,205)。他在“线喻”中阐明了这一思想。认识的四个阶段——“线喻”柏拉图在《国家篇》中根据知识的实在性和真实性的程度,通过“线喻”把知识分为四个等级。首先他把世界分为可见世界和可知世界两部分,然后在这两部分中按认识对象的不同再把可见世界分为:实物影象和实物本身;把可知世界划分为:以实物作影象和理念。这样,对应于不同的认识对象,就有四种不同的灵魂状态:想象、信念、理智、理性,而从可见世界获得的只能是一种意见,只有从可知世界才能获得真实的知识。其中:第1等级:以实物的影象为对象,它所对应的心理状态是想象。第2等级:以实际的东西(也就是我们周围的生物以及一切自然物和人造物)为对象,它所对应的心理状态是信念。第3等级:以实物作为影象的对象,是数学的研究对象,它是向第4等级过渡的中间阶段,它所对应的心理状态是理智。第4等级:以理念为对象,无论从实在性或真理性来说,都是最高等级的,是纯哲学研究的范围。它所对应的心理状态是理念。由此可见,柏拉图通过“线喻”不仅展现出认识的四个阶段(想象、信念、理智、理性),而且把数学的对象和知识确定为过渡性的中间阶段。数学处于理智认识阶段柏拉图认为,数学虽然属于可知世界,但它在研究的对象、方法、目的以及真实性等方面又不同于理性,所以它是处于从意见过渡到知识的理智阶段。在研究对象上。柏拉图认为,数学家研究的是各种图形,他把实际事物作为影象,这些“图形乃是实际的东西”,它们属于感性的事物;他们所研究的虽然不是所画的这些特殊的图形,而是图形本身,但他们所要看到的是,只有用思想才能认识到的理念。他说:“显然,他们利用各种可见的图形,谈到这些图形,但他们所思考的实际上并不是这些图形,而是这些图形所摹仿的那些东西。他们所研究的并不是他们所画的这个特殊的正方形和这个特殊的对角线等等,而是正方形本身,对角线本身等等。他们所作的图形乃是实际的东西,有其水中的影子和影象。但是他们现在又把这些东西当作影象,而他们实际要求看到的则是只有用思想才能认识到的那些理念”(〔5〕,200页)。理性的研究对象是理念,它不引用感性事物,而只引用理念。他说:“人的理性决不引用任何感性事物,而只引用理念,从一个理念到另一个理念,并且归结到理念”(〔5〕,201页)。在研究的方法和目的上。数学研究的方法是假设—演绎法,“由假设下降到结论”。例如,“研究几何、数学以及这类学问的人,在开始的时候要假定偶数与奇数、各种图形、三角形以及其他类似的东西,把这些东西看成已知的,看成绝对的假设,不觉得需要为他们自己或别人来对这些东西加以说明,而是把这些东西当作自明的。他们就从这些假设出发,通过一系列的逻辑推论而最后达到他们所要的结论”。“由于人的思想不能超出这些假设,因此人的思想不能向上活动而达到第一原理”(〔5〕,200页)。所以,几何学家所研究的东西“虽然确实属于我们所说的可知的东西一类,但是有两点除外:第一,在研究它们的过程中必须要用假设,灵魂由于不能突破与超出这些假设,因此不能向上活动而达到原理;第二,在研究它们的过程中利用了在它们下面一部分中的那些实物作影象——虽然这些实物也有自己的影象,并且是比自己的影象来得更清楚的更重的”(〔1〕,511)。而理性的研究方法是假设—辩证法,由假设上升到第一原理。他说:“至于讲到可知世界的另一部分,你会了解我指的是人的理性凭着辩证法的力量而认识到的那种东西。在这种认识活动中人的理性不是把它的假设当作绝对的起点或第一原理,而是把这些假设直截了当地当作假设,即是把它们当作暂时的起点,或者说当作跳板,以便可以从这个起点升到根本不是假设的某种东西,上升到绝对的第一原理并且在达到这种第一原理之后,又可以回过头来把握那些以这个原理为根据的、从这个原理提出来的东西,最后下降到结论”(〔5〕,201页)。正是由于在研究方法和目的上的不同,所以他“把几何学家和研究这类学问的人的心理状态叫做理智而不叫做理性,把理智看成介于理性和意见之间的东西”(〔5〕,201页)。在知识的真实性上。柏拉图认为:由于数学在研究方法和目的上的局限性,使得它不能真正理解其研究对象,不能给假设以合理的说明,所以它虽然在某种程度上认识到实在,但只能象做梦一样,不能算做真正的知识。他说:“研究这些科学技术的人在思考感官所不能感觉到的对象时,必得要用思想,但是,由于他们是从假设出发而不能回到第一原理。因此,你不会认为他们真正理解这些对象”(〔5〕,201页)。“只有几何学及与之相关的科学,才的确在某种程度上认识到实在。但是我们也看到就连这种科学,对于事物的认识也只能象做梦一样,因为它们只是假定它们所用的假设,而不能给这些假设以合理的说明。如果你的前提是你所不能够真正知道的东西,那么这种认识如何能够算得真正的知识或真正的科学呢?”(〔5〕,205页)而理性则不同,它把假设当作跳板,并且通过辩证法达到第一原理,所以它能够给假设以合理的说明,才真正认识到实在。因此,辩证法研究的可知的实在比把假设当作第一原理的所谓科学技术的对象,具有更大的真实性。他说:“当一个人根据辩证法企图只用推理而不要任何感觉以求达到每个事物本身,并且这样坚持下去,一直到他通过纯粹的思想而认识到善本身的时候,他就达到了可知世界的极限”(〔5〕,203页)。数学数处于可感觉数和理念数之间柏拉图在《国家篇》讲到算术的作用时谈到“纯数”和“可见物体的数”。他说:算术“用力将灵魂向上拉,并迫使灵魂讨论纯数本身;如果有人要它讨论属于可见物体或可触物体的数,它是永远不会苟同的”(〔1〕,525D)。他在《PHILEBUS》中讲到两类算术的区别时又说到计数的不同单位和相同单位。他说:“有些算术家计数不同的单位,例如,两支军队、两头牛、两件很大的东西或两件很小的东西。反对他们的一伙人坚决认为,在一万以内的每一个单位都必须与其他单位相同”(〔10〕,56)。这里的“可见物体的数”和“计数不同的单位”在数学中叫做名数,而亚里士多德把它叫做感觉的数;而“纯数”和“每一个单位都必须与其他单位相同”的数是指抽象的数学数。这说明柏拉图认为存在着两种数,即数学的数和可感觉的数。至于第三种数即理念数,那是他在后期把理念论与毕达哥拉斯学派的“万物皆数”相结合的产物。他的学生亚里士多德在《形而上学》中就说到他认为存在着另一类数——理念数。亚里士多德说:“抽象的众数与物质世界的众数是相同的数,抑或不相同的两类数呢?柏拉图说这是不相同的;可是他也认为数可以作事物之量度,也可以成事物之原因,其分别恰是这样,事物本身的数是感觉数,为之原因之数则是理知数”(〔4〕,990a29—34)。这里讲的“理知数”是抽象的、可作事物之量度,又是事物之原因。就其抽象性和作为事物之量度而言,它类似于数学数,就其“成事物之原因”而言,它又区别于数学数。所以它只能是一种新的数——理念数。亚里士多德还在《形而上学》(1080a17—37)一书中,按数的单位的可结合性把数分成三类:1.每一个数的单位无例外地都不能结合;2.各个数的单位彼此都能互相结合,如数学数;3.有些单位可结合,有些单位不能结合。并说“有些人(指柏拉图)说两类数都存在,其中先后各数为品种有别者等同于理念,数学数既不同于理念又不同于可感事物,但这两类数与可感事物相分离”(〔4〕,1080b10—14)。“那些最初断定数有理念和数学两类的人既没有说也不能说数学之数怎样存在和由什么组成。他们把数学数安置在理念数与可感觉数之间”(〔4〕,1090b33—35)。亚里士多德在这里不仅直接讲到理念数,而且指出它的特点是,不同的理念数在性质上是不同的,其单位是不能互相结合的,但它们都与可感事物相分离。以上说明,柏拉图确实认为存在着三种数:感觉数、数学数和理念数,而且数学数是处于中间位置的。关于数学数的居间性,除了在“线喻”中作了说明以外,这里还就数学数与理念数在生成和成为事物的原因方面的不同,作进一步说明。柏拉图在《巴门尼得斯篇》中详细地讲到数学数的生成过程:1.从“如若一是”推出`一’必然分有`是’。2.从“一”分有“是”引绎出“异”。因为“一”分有“是”说明“一”所分有的“是”与“一”自身是各异的。所以就产生“一”、“是”、“异”不同的三者。3.由一、是、异三者引绎出数:(1)从一、是、异中任选一个就产生1;(2)从一、是、异中任选一对就产生2;(3)由2加1就产生3;由于2是偶数,3是奇数,所以不仅有了奇数与偶数,而且也有了奇倍与偶倍。这样,就可通过偶倍偶数、偶倍奇数、奇倍偶数、奇倍奇数产生一切数了。所以柏拉图说:“如若一是,必然地有数”(〔2〕,143C—144A)。当然这其中还必须补充一加法才能真正产生所有的正整数(〔2〕,注249)。柏拉图的理念数论首先肯定理念是数,是事物的原因,然后指出理念数的生成原则(〔4〕,1081a14—17):一和不定的二(dyad)。既然理念数与数学数的生成不同,那么它们的计数法也不同:“数学数是这样计数的:1,2(由1与前一个1组成),3(由两个1和1组成),其余类似。而理念数是这样计数的:1,接着是不同的2(不包含第一个1),3(不包含2),其余类似”(〔11〕,1080a30—34)。正因为数学数与理念数存在着这些区别,特别是理念数是事物的原因,而数学数不是,这就决定数学数低于理念数。另一方面,感觉数是与事物的质相联系的,它的抽象程度自然比脱离事物的质的抽象的数学数低。所以,数学数必然处于中间体的地位。数学对象的存在方式在这个问题上,柏拉图把他在理念论中的分离说应用到数学对象上,认为数学对象分离独立存在于可感事物之外。亚里士多德认为,数学对象不可能分离独立存在于可感事物之外,并从七个方面作了反驳。这里只选取其中的四个来说明亚里士多德是怎样进行反驳和论证的。第一个论证以柏拉图关于理念的在先性、分离性和要素的非组合性为前提,推论出:如果在可感的立体之外存在一个先于并且与可感事物相分离的另一种立体,那末根据同样的道理,在可感的面、线、点之外,也应该独立存在着在先的面、线、点。也就是说,在可感的体、面、线、点之外还存在一组数学对象的体、面、线、点。根据组合物是由在先的、独立存在的要素组成的,以及面是由线组成的,线是由点组成的,就可以推出:存在两套体、三套面、四套线、五套点。那末数学家究竟研究其中那一套呢?(〔4〕,1076b13—40)第二个论证说,如果几何学的对象脱离可感事物而独立存在,那么作为数学的一部分的天文学,其对象也将脱离可感事物而独立存在,可是,天空及其各个部分怎么可能脱离可见的天空及其各部分而独立存在呢?同样,光学和声学的对象也将独立自存,否则,为什么有的对象能与可感对象相分离,有的就不能呢?(〔4〕,1077a1—9)第三个论证是,柏拉图认为,数学对象是处于理念和可感事物的中间体。根据这种观点,我们可以从理念与中间体之间再分离出另一类中间体,它既不是数也不是点,既不是空间量也不是时间。如果这是不可能的,那末数学对象也不可能与可感事物相分离而独立存在。(〔4〕,1077a9—14)第七个论证是,立体是一种本体,因为它在某种意义上已经具有完整性了。但是,线怎么能够成为本体呢?它既不是象灵魂那样作为一种形式,也不是象立体那样作为一种质料。因为我们没有关于把点、线、面放在一起的经验,如果它们也是一种物质实体,我们就应该看到把它们放在一起所组成的东西(〔11〕,1077a31—36)。他说:“假定点、线、面的定义在先,但并不是所有定义上在先的东西在本体上也在先。因为本体上在先的东西,当它与其他事物分离时,更具有独立存在的能力,而事物在定义上先于那些其定义是由事物的定义合成的事物;因此,这两种属性不是共同扩张的。因为如果属性不是脱离其本体而独立自存的(例如,`运动的’或`苍白的’),那末`苍白的’在定义上就先于苍白的人,而在本体上却不是在先的。因为它不可能分离独立存在,而总是跟随着具体事物,我所说的具体事物是指苍白的人。因此很清楚,抽象的结果并不是在先的,由于加上一些决定性因素而产生的那些东西,也不是在后的,因为我们所说的苍白的人,正是由于把一个决定性因素加给`苍白的’”(〔11〕1077b1—11)。亚里士多德通过七个方面的论证得出结论:“数学对象并不是比物体更高级的本体,它们在本性上并不先于可感事物,而只是定义上在先;它们不可能独立存在于某个地方”(〔11〕1077b11—14)。从而否定了柏拉图关于数学对象独立存在于可感事物之外的观点。理念数论及物质元素的几何结构柏拉图的理念论在学园内部引起争论,他自己也意识到其中的“分有说”遇到困难。所以他在晚年一方面在《巴门尼德篇》和《智者篇》中提出“通种论”,即最普遍的种有三对:存在与非存在、动与静、同与异,它们既互相区别又互相联系;它们可以互相连接而成为集体,连接越多内容越丰富,于是,`种”的集体就成为个别事物。这样,他就避免了`分有说’带来的困难。另一方面,他在“线喻”中讲到数学在认识论中具有阶梯的作用后,在《Philebus》中又明确地讲到两种算术和两种几何。他把研究“两支军队、两头牛、两件很大的东西或两件很小的东西”这类不同计数单位的算术叫做普通算术(Popular

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