若 π 被证明是有理数会对世界有何影响？

如果突然一天圆周率的值不是无理数，而是一个有理数，那说明你可能走错空间了。

问题 1：圆周率是什么？

就是圆的周长和直径的比值：

问题2：圆是什么？

圆就是平面上一条简单的闭曲线：这条线上的所有点到某给定的点（也就是圆心）的距离都是给定的长度（也就是半径）。

这里面涉及到两个定义——平面以及距离，简单起见，我们只考虑距离的问题：

问题3：距离的定义什么？

x-y平面上两个点 的距离定义为

问题来了，实变分析里面关于距离的定义跟所处的距离空间（又称范数空间）有关，在p-范数空间(即 空间)，的距离是

p=2就是我们所处的空间，半径为1的圆是

就是我们所熟知的圆：

p=1时， 空间里半径为1的圆就变成了

画出来是这个形状，竟然是个正方形：

这个时候，圆周率是多少？直接目测就能算出来是：4，（别告诉我算出了2√2）。

稍微解释一下，图中两个顶点A、B的坐标分别是 (0, 1) 和 (1, 0) ， 空间的直觉告诉我们AB的长度是√2，但是由于是在 空间，长度应该是 = 1+1 =2，所以周长是8，直径是2，对应的圆周率就是4.

看看，这时候圆周率不但是有理数，还是一个整数。

看看其他范数空间中的圆：

从里至外，p依次为0.1，0.6，1，1.5，2，3，10，50。p小于1 时已经不是严格的距离空间了，但不画出来感觉这个图都不完整哈哈。

更广泛的 空间内的圆周率也可以算出来，一点曲线积分的知识就可以搞定，但是比较繁琐，我查了一下，哈哈国外还真有人算过p范数空间圆周率的大小：p-范数空间里的圆周率，里面画出了圆周率随着p的变化曲线：

特别巧， 刚好在p=2，也就是我们所处的空间中取最小值。

em... 感觉这个可以给大一新生作为兴趣课题进行研究。

PS：-空间描述的世界会不会是这个样子的呢？？？

图片来自Minecraft官网

或者

PSS：圆的定义中，另外涉及到了平面的限定。在非欧几何中，圆的形状和性质会复杂一些，例如一个球面上的圆可以拥有两个圆心。

END

你点的每个好看，我都认真当成了喜欢