为什么矩形面积等于长乘宽？
长方形的面积公式并不是定义，而是根据几个基本原理的推论。
首先全等的图形面积应该都相等，而长和宽对应相等的长方形是全等的，所以面积是长和宽的函数f(a,b)。这里我们不限定长和宽的大小关系，也就有f(a,b)=f(b,a)。
其次，面积是恒正的函数，不存在面积为负的情况，边长不为0时面积不为0。
第三，面积应该具有可加性，两个图形拼起来的面积是两者之和。对于长相等的长方形，将它们对齐长边，把宽边拼在一起，可以形成另一个长方形，宽是两者之和，这意味着f(a1+a2,b)=f(a1,b)+f(a2,b)
从这个式子中，可以进一步得出：
1. f关于a单调递增（作差利用恒正性）
2. 对于任意有理数q，有q f(a,b) = f(qa,b)
3. f关于a连续（即证明f(a,b)在a趋向于0时右极限为0，首先单调递减有下界所以极限一定存在，其次用第二条证明f(a,b)可以任意接近于0，因此就是0）
4. 对于任意实数u，有u f(a,b) = f(ua,b)
5. 因此，f(a,b)=af(1,b)
6. 同理，f(a,b) = bf(a,1)，因此f(a,b)=abf(1,1)
可以看出面积必须是ab的常数倍，为了使用方便可以规定f(1,1)=1，规定是其他的常数也不影响面积的根本性质。因此f(a,b) = ab。
在这其中主要运用的是面积的测度性质和欧式空间属于内积空间的性质。面积恒正可加是测度性质，面积在正交变换下保持不变是欧式空间的内积空间性质。在此基础上可以推出长方形面积的双线性特征。
1.边长为1的正方形面积是1
这个假设是很自然的…因为边长1的正方形总要有一个面积吧！定义成啥无所谓的…
2.如果一个矩形是几个内部不相交的矩形的并，那么大矩形的面积是那些小矩形面积之和
这个假设很自然吧…
那么现在边长是整数的矩形的面积等于我们期待的面积公式了
事实上边长有理数的也对，只要假设:
0.边长分别相等的两个矩形的面积相等
之所以用0是因为忘了这回事…
然后，边长分别为1/n，1/m的矩形面积是1/mn，从而对边长有理数的矩形，面积等于长•宽
3.两个矩形的长相等，则宽大的面积也更大，宽相等，则长大的面积也大
这样，对边长是实数的矩形，结论也成立了
事实上这个问题本质上是…Cauchy函数方程的单调解在规范化假设下是唯一的…就是线性的解
从数学术语来，确定是个测度问题。
但是这和用皮亚诺证明“1+1=2”是一回事，数学逻辑的严密性并不是用来证明原始定义的。
当然，这个原始定义不是定义长方形的面积(或体积)公式，而是定义单位正方形的面积(或体积)为1。
测度，形象的说法就是比较大小。一维线段比大小使用长度，二维平面比大小使用面积，三维空间比大小使用体积。
这些概念和“1+1=2”一样都是定义，来自生活，所以数学逻辑严密化，不但改变不了原始定义，还必须去符合原始定义。(这不是说数学严密化没意义，相反，严密化的意义很重大，每次严密化基本都会带来数学体系的拓展。)
我们对两个不同事物的大小进行比较，应该仅且仅有一种结果(大于或等于或小于)。
因为这涉及到资源的分配公正性。自然数概念最初来自分配果实和猎物，整体不够分又产生了分数的概念。
显然，我们的目的是使两个人收获一样(或不一样)。不能使用一种测度，结果却出现两人即一样也不一样。这样模棱两可的测度毫无公平性，也就不可能带来稳定的社会秩序。
所以自然数和分数的构造必然都满足这种性质，即任意两个数只存在等于大于小于三种关系的一种。
自然数构造使用的“1+1=2”这个定义，可以完美地保证这种性质。空元记0，单位元记1，任何数加单位元大于其自身。
数域从自然数扩展到分数小数实数后，这个单位元就没意义了。而且相反，这是一个错误观念，导致部分人理解不了0.9…=1。
我们继续说面积的定义，面积的概念来自土地的丈量和分配。
也是使用自然数的构造方法，选取定义一个单位面积元1，以此度量其他的面积，从而使面积和数相对应。
所以这里最重要的就是定义什么平面图形的面积为单位面积元1。
这种图形，应该有以下两个性质:
第一，边长为1，具有良好对称性。这样其自身的面积只和单位边长1有关。满足关系的是正n多边形和圆。
第二，一定可以用整数个单位面积的该图形无间隙组合成自身的放大图形。
因为n＞0时1^n=1，单独从单位面积1我们没法获得其自身的面积公式。组成位似图形则可以推断出其自身的面积公式。
结合只有正三角形和正方形。
4个边长1的正三角形可以组成1个边长2的正三角形；
4个边长1的正方形可以组成1个边长2的正方形；
选择正三角形，面积也一样满足边长平方关系。那么为什么选择正方形而不选择正三角形？
前面说了，丈量面积是为了分田。第一，同样边长的正方形面积比正三角形面积大，田埂浪费的土地就小。第二，从肉眼上分辨，90°角准不准比60°准不准要容易判断一些。
于是定义边长1的正方形为单位面积1。
在定义的同时，其实也确定了正方形的面积公式，S=a²。(边长每加1，增加部分的单位正方形的个数是一个公差为2等差数列，1+3+5+…+2a-1=a²)
其他规则图形的面积公式都是以此定义为基础推论的。
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