初中几何模型之：半角模型（1）

几何是初中数学中非常重要的内容，尤其是近几年中考题更注重考察图形的变换，如平移、旋转、翻折等，一般会在压轴题中出现，而掌握常见几何模型将有助于学生理清思路、节省大量时间。在平时教学过程中，若能抓住基本图形，举一反三，定能引领学生领略到“一图一世界”的风采.本文就中考常见的半角模型（1）——直角半角模型加以概括.

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原型再现

【条件】如图1，在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足∠EAF=45°，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N，AH⊥EF于点H.

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结论推导

上图，是近几年中考中常见基本图形之一，在此将其简称为“半角模型”，主要考察图形基本变换中的旋转变换，仔细研究发现此图蕴含了多条结论，现列举几条：

【结论1】BE+DF=EF.

简析：此结论是半角模型中最基本的结论，可以利用旋转法进行证明：

如图2，将∆ADF绕点A顺时针旋转90^O得到∆ABF’，然后证明∆AEF≌∆AEF’即可；

由结论1不难推出以下三个结论：

【结论2】C_∆ECF=2AB；  

【结论3】S_∆ABE+S_∆ADF=S_∆AEF;     

【结论4】AH=AB.

【结论5】BM²+DN²=MN².

简析：此结论仍可采用旋转方式加以说明，如图3，将∆ADN绕点A顺时针旋转90^O得到∆ABN’，连接MN’，并证明∆AMN≌∆AMN’，易知∆BMN’为直角三角形，然后利用勾股定理即可推出结论；

【结论10】A、M、F、D四点共圆（圆心为线段AF中点），A、B、E、N四点共圆（圆心为线段AE中点），M、N、F、C、E五点共圆（圆心为线段EF中点）.

【结论11】取EF中点G，则∆GMN为等腰直角三角形，且MG‖BC,NG‖DC.

如图7，连接NE、MF，再结合结论9、10可推出此结论.

【结论12】过点E作EP⊥BC交BD于点P，过点F作FQ⊥CD交BD于点Q，如图8，则点N为线段DP中点，点M为线段BQ中点.

此图是一个非常经典的几何模型，所能推导的结论远不止这些，有待补充和完善.

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经典例题

例1.（2016徐州）如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AB、CD上，∠EBF=45°则△EDF的周长等于____________。

简解：有结论2可知C_∆EDF=2AB=4.

例2.（2016西宁）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为______．

例5.（2014淮安）如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．

（1）、（2）题略

（3）如图2，过定点E（5，0）作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，求t的值．

这期整理的是直角类半角模型，下一期将对一般角的半角模型进行归类.