特别推荐丨老姚专栏：经典变量误差与衰减偏误：一个新的案例
在计量经济学实践中，并非所有的变量都是能被直接观测或者测量的。此时，我们可以采用代理变量（Proxy variable）方法，用代理变量代替无法观测的变量，并将之纳入实证模型。代理变量包含了被代理变量的一部分信息，但也含有噪音，而这种噪音就是所谓的测量误差。
实证模型中的因变量与自变量均可能含有测量误差。对于因变量中的测量误差，由于实证模型本身所含有截距项与误差项可以吸纳之，其一般不会对实证分析带来多大的困扰。比较麻烦的是，自变量含有测量误差。在计量经济学中，关于自变量测量误差的重要假定是：测量误差与无法观测的自变量不相关，这就是所谓的经典变量误差假定（Classical errors-in-variables，CEV）。
经典变量误差带来的困扰是，作为代理变量一个组成部分的测量误差将进入模型的误差项，成为所谓合成误差项的一个组成部分，而这个合成误差自然与代理变量相关，进而产生内生性问题，导致模型的OLS估计出现偏误。可以证明，在CEV假定下，代理变量所对应的系数估计偏向零，出现所谓的衰减偏误（Attenuation bias）。
关于衰减偏误的经典例子来自于对凯恩斯消费函数经验证据的解释。关于凯恩斯消费函数，经验研究表明：消费对收入的弹性即边际消费倾向（Marginal propensity to consume，MPC）小于1。但弗里德曼认为，具有前瞻性的消费会对持久收入作出反应。具体来说，消费对持久收入的弹性等于1，这就是著名的持久收入假说（Permanent income hypothesis，PIH）。那么，若PIH是对的，则如何解释关于凯恩斯消费函数的经验研究结果呢？在经典变量误差框架下，答案很简单——凯恩斯消费函数中的收入属于能观测的当前收入，我们可以将其视为无法观测的持久收入的代理变量。由于衰减偏误，凯恩斯消费函数中的MPC的估计值会小于1，向0趋近。
本文在此提供一个新的案例，以帮助大家更好地理解经典变量误差与衰减偏误。
👇
假如我们试图评估一个人的能力对其成绩的影响。由于当前的能力无法被直接观测，我们用过去的成绩作为其代理变量。显然，过去的成绩部分反映了能力因素，但也受到考试发挥情况的影响。考试发挥情况属于运气成分，亦是代理变量中的测量误差。鉴于运气的随机性，我们有理由假定测量误差与无法观测的能力不相关，亦即CEV假定成立。
基于上述分析，我们建立一个关于，成绩的一阶自回归模型（即AR（1）模型）来分析能力与成绩之间的关系，其中成绩的一阶滞后充当能力的代理变量。由于测量误差的存在，即使成绩与能力的真实关系是两者1比1地变动，也可以预期，该一阶自回归模型中的回归系数小于1，其直觉是：若过去的成绩很好，则表明当时的运气很好，而现在很难维持这样的好运，因此现在的成绩一般要比过去的好成绩更差；若过去的成绩很差，则表明当时的运气很差，而糟糕的运气一般也不会一直持续下去，因此现在的成绩一般要比过去的差成绩更好。总之，一阶自回归模型中的回归系数小于1表明成绩存在一个均值回复过程（Mean-reverting process）。
如果成绩的波动主要由运气决定，亦即成绩作为能力的代理变量会产生较大的测量误差，那么一阶自回归模型中的回归系数就更是会比1小。一种极端情况是，当成绩波动完全由运气所决定时，回归系数近似为零，表明现在的成绩与过去的成绩几乎不相关。在统计学中，当成绩的波动主要由运气所决定时，意味着成绩作为能力的衡量指标具有很低的效度（Validity）。
简而言之，当用过去成绩来作为能力的代理变量时，测量误差就是运气成分。若假定运气属于不具有自相关性的白噪声，则成绩将呈现均值回复性质，一阶自回归模型中的回归系数小于1，这进而会导致我们低估能力对成绩的影响。在经典变量误差框架下，这种低估就是衰减偏误。
作者简介 · 姚耀军
姚耀军，1976年出生，湖北利川人，浙江工商大学金融学院教授、博士生导师，浙江省高校中青年学科带头人，浙江省首期之江青年社科学者，浙江省“151人才工程”第三层次培养人员，杭州市“十三五”哲学社会科学应用经济学学科组评审专家。长期从事金融发展理论与实证研究，在《China & World Economy》《Frontiers of Economics in China》《金融研究》《数量经济技术经济研究》《财贸经济》《中国农村经济》等学术期刊上发表论文多篇，部分成果被《新华文摘》《中国法经济学研究》《中国经济的转型升级：新结构经济学方法与应用》《高等学校文科学术文摘》《人大复印资料》收录或者转载。主持教育部人文社科项目、浙江社会科学基金重点项目、浙江省自然科学基金项目等纵向课题多项。荣获中国制度经济学年会优秀论文奖、全国金融硕士教学案例大赛优秀案例奖、浙江省高校优秀科研成果一等奖、《金融研究》优秀论文奖、《财经研究》创刊60周年优秀论文一等奖等荣誉。担任《金融研究》《财经研究》等多个学术期刊的审稿专家。
你要的工具＆方法我都给你整理好了！
工具&方法 | 6张图，3分钟阅读即可掌握stata全部命令
工具＆方法 | 10个Python Pandas小技巧让你的工作更高效（附代码实例）
工具&方法 | 6行代码教你用python做OLS回归（内附CFPS实例）
工具&方法 | 小刘老师“再”出新招：JSON数据转为面板数据
听说你还在为数据呈现烦恼？看这里！
数据呈现丨好用易懂的matplotlib可视化，快来了解一下！
数据呈现 | Stata+R+Python：拨开数据迷雾，窥探可视化之“美”（工具书推荐，附PDF资源链接）
数据呈现 |Stata+R+Python：一文帮你解决Paper、PPT中的数据可视化问题
让我猜猜，或许你需要的还有这些！
数据Seminar
这里是大数据、分析技术与学术研究的三叉路口
欢迎扫描👇二维码添加关注